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練習問題解答例
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/index.html
練習問題 2.3 二つの集合 A, B が等しい事を示すには A⊃B かつA ⊂B を言う．A⊂B を示すには， Aの勝手な要素 ω∈Aが ω∈B を満たすこ とを言う．
A⊂Ωのとき，
Ac ={ω∈Ω;ω̸∈A}
と定義するとき，
(A∩B)c =Ac∪Bc を証明してみよ．
解答 ベン図を使うと簡単なのに，言葉で言うと難しいですね．次のように 議論します．
• (A∩B)c⊂Ac∪Bc について：
ω∈(A∩B)c としてω∈Ac∪Bc を言う．結論を言うには，ω∈Aな らばω ∈Bc を言えば良い．（このとき ω∈Ac∪A∩Bc ⊂Ac∪Bc．） そこで，ω∈Aとしよう．仮定からω∈(A∩B)c なので，ω∈Bなら ばω∈A∩B となるので矛盾．つまりω∈Bc でなくてはいけない．
• Ac∪Bc⊂(A∩B)c について：
最初にA⊃A∩BだからAc⊂(A∩B)cに注意する．（実際，ω∈A∩B ならばω∈Aとなるが，いまω∈Ac としているので，これは不可能．
つまりω∈(A∩B)cでなくてはならない．）同じようにBc⊂(A∩B)c も成り立つので，
Ac∪Bc⊂(A∩B)c
（実際，ω ∈Ac∪Bc ならば ω ∈Ac またはω ∈Bc となっているが，
どちらの場合も上で言ったようにω∈(A∩B)c となっているから．）
講評 数学科の学生は論理の練習をしているのでなれていますね．他の人た ちもベン図はかけているので，分かってはいるようです．
練習問題 2.4 Ωの部分集合の集合族 Aが algebraであるとは，
1. Ω∈ A,
2. A∈ Aならば Ac∈ A. 3. A, B∈ Aならば A∪B ∈ A.
となるときに言う．Aが algebra のとき，次を示せ．
A, B∈ A ならば A∩B∈ A
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解答 A, B∈ Aとすると，algebraの条件(ii)からAc, Bc ∈ Aがでる．
するとalgebra の条件 (iii)を使うとAc∪Bc ∈ Aとなるが，上の問題の 結果からAc∪Bc= (A∩B)c なので(A∩B)c∈ Aが分かる．
そうするともう一度algebraの条件(ii)を使ってA∩B ={(A∩B)c}c∈ A となる．
講評 こういう推論の問題は，まったく初めからやることは少ないので，何 を仮定して何を使っていいのか分かりにくいのが欠点です．まったく何も知 らないところから積み上げれば誰でも分かるのですが，時間がかかるので講 義ではなかなかできませんね．分からなかった人は，どこが分からなかった か確かめておいてください．そこが，こういう論理の問題であなたがよく知 らないところのはずです．
