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練習問題解答例1.

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Academic year: 2021

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(1)

練習問題解答例

1. f (x, y) = x

2

− 2xy

2

+ y

3 とする．

(1) y = 1

と固定するとき

f (x, 1)

の

x

に関する導関数もとめなさい．

f(x, 1) = x

2

− 2x + 1

となるので，

f

′

(x, 1) = 2x − 2

．

(2)

上の結果をつかって，

(x, y) = (1, 1)

における

x

に関する偏微分係数をもとめ なさい．

f

′

(1, 1) = 0

となるので，

f

x

(1, 1) = 0

．

(3) f

x

(x, y)

をもとめなさい．この偏導関数をつかって

(x, y) = (1, 1)

における

x

に関する偏微分係数をもとめなさい．

f

x

(x, y) = 2x − 2y

2．よって

f

x

(1, 1) = 0

．

(4) x = 1

と固定するとき

f (1, y)

の

y

に関する導関数もとめなさい．

f(1, y) = 1 − 2y

2

+ y

3 となるので，

f

′

(1, y) = − 4y + 3y

2．

(5)

上の結果をつかって，

(x, y) = (1, 1)

における

y

に関する偏微分係数をもとめ なさい．

f

′

(1, 1) = − 1

となるので，

f

y

(1, 1) = − 1

．

(6) f

y

(x, y)

をもとめなさい．この偏導関数をつかって

(x, y) = (1, 1)

における

y

に関する偏微分係数をもとめなさい．

f

y

(x, y) = − 4xy + 3y

2．よって

f

y

(1, 1) = − 1

．

2. f (x, y) = x

y

とする．

(1) y = 2

と固定するとき

f (x, 2)

の

x

に関する導関数もとめなさい．

f(x, 2) = x

2

．よって

f

′

(x, 2) = 1 2

(2)

上の結果をつかって，

(x, y) = (1, 2)

における

x

に関する偏微分係数をもとめ なさい．

f

′

(1, 2) = 1

2

なので，

f

x

(1, 2) = 1 2

．

(3) f

x

(x, y)

をもとめなさい．この偏導関数をつかって

(x, y) = (1, 2)

における

x

に関する偏微分係数をもとめなさい．

f

x

(x, y) = 1

y

．

f

x

(1, 2) = 1 2

(4) x = 1

と固定するとき

f (1, y)

の

y

に関する導関数もとめなさい．

f(1, y) = 1

y

なので，

f

′

(1, y) = − 1 y

2．

(5)

上の結果をつかって，

(x, y) = (1, 2)

における

y

に関する偏微分係数をもとめ なさい．

f

′

(1, 2) = − 1

4

なので，

f

y

(1, 2) = − 1 4

．

1

(2)

(6) f

y

(x, y)

をもとめなさい．この偏導関数をつかって

(x, y) = (1, 2)

における

y

に関する偏微分係数をもとめなさい．

f

y

(x, y) = − x

y

2．

f

y

(1, 2) = − 1 4

3.

以下の関数に対して，

f

x

(x, y), f

y

(x, y)

をもとめなさい．

(1) f(x, y) = x

2

+ y

2

f

x

(x, y) = 2x, f

y

(x, y) = 2y (2) f(x, y) = ax

2

+ 2bxy + cy

2

f

x

(x, y) = 2ax + 2by, f

y

(x, y) = 2bx + 2cy (3) f(x, y) = x

13

y

23

f

x

(x, y) = 1

3 x

−23

y

23

, f

y

(x, y) = 2

3 x

13

y

−13

(4) f(x, y) = exp( − x

2

+ y

2

)

f

x

(x, y) = − 2x exp( − x

2

+ y

2

), f

y

(x, y) = 2y exp( − x

2

+ y

2

) (5) f(x, y) = ln x + ln y

f

x

(x, y) = 1

x , f

y

(x, y) = 1 y (6) f(x, y) = x ln y

f

x

(x, y) = ln y, f

y

(x, y) = x y

2

参照

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