練習問題 205 解答例

練習問題205解答例

1. 以下の関数f(x, y)について,f(x, y) = 0から関数g(x)が定まるとして，g^′(x)を陰 関数定理を使わないやり方と陰関数定理を使うやり方でもとめなさい．

(1) f(x, y) = 3x−4y+ 2 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

3x−4g(x) + 2 = 0

両辺をxで微分して

3−4g^′(x) = 0 よって，g^′(x) = 3

4^． 陰関数定理を使う．

f_x(x, y) = 3, f_y(x, y) =−4なので

g^′(x) =−f_x(x, y) fy(x, y) = 3

4

よって，g^′(x) = 3 4^．

(2) f(x, y) =x²+ 4y²−4x+ 8y+ 10 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

x²+ 4{g(x)}²−4x+ 8g(x) + 10 = 0

両辺をxで微分して

2x+ 8g^′(x)g(x)−4 + 8g^′(x) = 0 (2x−4) + (8y+ 8)g^′(x) = 0 よって，g^′(x) =−2x−4

8y+ 8 =− x−2 4y+ 4^． 陰関数定理を使う．

fx(x, y) = 2x−4, fy(x, y) = 8y+ 8なので g^′(x) =−fx(x, y)

f_y(x, y) =− x−2 4y+ 4

よって，g^′(x) =− x−2 4y+ 4^．

(3) f(x, y) =x⁴−2x²+y²+ 15 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

x⁴−2x²+{g(x)}²+ 15 = 0

両辺をxで微分して

4x³−4x+ 2g^′(x)g(x) = 0 (4x³−4x) + (2y)g^′(x) = 0

よって，g^′(x) =−4x³−4x

2y =−2x³−2x

y ^．

陰関数定理を使う．

f_x(x, y) = 4x³−4x, f_y(x, y) = 2yなので g^′(x) =−fx(x, y)

f_y(x, y) =−2x³−2x y

よって，g^′(x) =−2x³−2x

y ^．

(4) f(x, y) =x³+ 2xy²+x²y³ 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

x³ + 2x{g(x)}²+x²{g(x)}³ = 0

両辺をxで微分して

3x²+ 2{g(x)}²+ 4xg^′(x)g(x) + 2x{g(x)}³+ 3x²g^′(x){g(x)}² = 0 (3x²+ 2y²+ 2xy³) + (4xy+ 3x²y²)g^′(x) = 0

よって，g^′(x) =−3x²+ 2y²+ 2xy³ 4xy+ 3x²y^{2 ．} 陰関数定理を使う．

fx(x, y) = 3x²+ 2y²+ 2xy³, fy(x, y) = 4xy+ 3x²y² なので

g^′(x) =−f_x(x, y)

fy(x, y) =−3x²+ 2y²+ 2xy³ 4xy+ 3x²y²

よって，g^′(x) =−3x²+ 2y²+ 2xy³ 4xy+ 3x²y^{2 ．}

(5) f(x, y) =x²+y³ −xy² 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

x²+{g(x)}³−x{g(x)}² = 0

両辺をxで微分して

2x+ 3g^′(x){g(x)}²− {g(x)}² −2xg^′(x)g(x) = 0 (2x−y²) + (3y²−xy)g^′(x) = 0

よって，g^′(x) =− 2x−y² 3y²−2xy^． 陰関数定理を使う．

f_x(x, y) = 2x−y², f_y(x, y) = 3y²−2xyなので g^′(x) =−fx(x, y)

f_y(x, y) =− 2x−y² 3y²−2xy よって，g^′(x) =− 2x−y²

3y²−2xy^． (6) f(x, y) =xy+x²y²−y⁴

陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

x{g(x)}+x²{g(x)}²− {g(x)}⁴ = 0

両辺をxで微分して

g(x) +xg^′(x) + 2x{g(x)}² + 2x²g^′(x)−4g^′(x){g(x)}³ = 0 (y+ 2xy²) + (x+ 2x²−4y³)g^′(x) = 0

よって，g^′(x) =− y+ 2xy² x+ 2x²−4y^3． 陰関数定理を使う．

fx(x, y) =y+ 2xy², fy(x, y) =x+ 2x²y−4y³ なので g^′(x) =−f_x(x, y)

fy(x, y) =− y+ 2xy² x+ 2x²y−4y³ よって，g^′(x) =− y+ 2xy²

x+ 2x²y−4y^3．

(7) f(x, y) =xe^y

陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

xe^g(x) = 0

両辺をxで微分して

e^g(x)+xg^′(x)e^g(x) = 0 e^y +g^′(x)xe^y = 0

つねにf(x, y) =xe^y = 0なのでg^′(x)は定まらない．

陰関数定理を使う．

f_x(x, y) =e^y, f_y(x, y) =xe^y.

f(x, y) = xe^y =なので，つねにfy(x, y) = xe^y = 0となり陰関数定理から，

関数y =g(x)は定まらない．

(8) f(x, y) =xexp(xy) 陰関数定理をつかわない．

y=g(x)として

xe^xg(x) = 0

両辺をxで微分して

e^xg(x)+xg(x)e^g(x)+x²g^′(x)e^xg(x) = 0 (e^xy +xye^y) +g^′(x)x²e^xy = 0

つねにf(x, y) =xe^xy = 0なのでx²e^xy = 0となるのでg^′(x)は定まらない．

陰関数定理を使う．

fx(x, y) =e^xy +xye^xy, fy(x, y) =x²e^xy.

f(x, y) = xe^xy =なので，つねにfy(x, y) = x²e^y = 0 となり陰関数定理か ら，関数y =g(x)は定まらない．

2. 以下の関数f(x, y)が極値をとる可能性がある点をもとめなさい．

(1) 効用関数がu(x, y) =xy²のとき，(x, y)における限界代替率をもとめなさい．

u_x(x, y) =y², u_y(x, y) = 2xy．よって限界代替率は

M RS = ux(x, y) uy(x, y) = y

2x

(2) 効用関数がu(x, y) = 2xy^0.5 + 10のとき，(x, y)における限界代替率をもと めなさい．

u_x(x, y) = 2y^0.5, u_y(x, y) = 2xy^−0.5．よって限界代替率は

M RS = ux(x, y)

uy(x, y) = 2y^0.5 2xy^−0.5 = y

x

(3) 効用関数がu(x, y) = x³y² のとき，(x, y) における限界代替率をもとめな さい．

ux(x, y) = 3x²y², uy(x, y) = 2x³y．よって限界代替率は

M RS = u_x(x, y)

uy(x, y) = 3x²y² 2x³y = 3y

2x

(4) 効用関数がu(x, y) = 4x³y² + 5のとき，(x, y)における限界代替率をもとめ なさい．

ux(x, y) = 12x²y², uy(x, y) = 8x³y．よって限界代替率は

M RS = ux(x, y)

u_y(x, y) = 12x²y² 8x³y = 3y

2x

(5) 生産関数がF(x, y) =x^0.4y^0.6のとき，(x, y)における技術的限界代替率をも とめなさい．

F_x(x, y) = 0.4x^−0.6y^0.6, F_y(x, y) = 0.6x^0.4y^−0.4．よって技術的限界代替 率は

T RS = Fx(x, y)

F_y(x, y) = 0.4x^−0.6y^0.6 0.6x^0.4y^−0.4 = 2y

3x

(6) 生産関数がF(x, y) = (

x¹² +y¹² )¹₂

のとき，(x, y)における技術的限界代替率 をもとめなさい．

F_x(x, y) = 1 4x⁻¹²

(

x¹² +y¹² )₋¹₂

Fy(x, y) = 1 4y⁻¹²

(

x¹² +y¹² )₋¹₂

T RS = F_x(x, y) Fy(x, y)

= 1 4x⁻¹²

(

x¹² +y¹² )₋¹₂

1 4y⁻¹²

(

x¹² +y¹² )₋¹₂

=

√y

√x