練習問題＋解答

図形と計量

１

右の図の h を求めよ。

解答

△ADC において，DC：AC＝1： 3 から DC：h＝1： 3 これから DC＝ 3 h ＝ 3 3 h △ABC において，AC：BC＝1： 3 から h： _      h 3 3 5＋ _{＝1： 3} これから 5＋ 3 3 h＝ 3 h 3 3 2 h＝5 より h＝ 3 2 15 ＝ 2 3 5

別解 △ABD が AD＝DB＝5 の二等辺三角形であることを用いて，AD：AC＝2： 3 から求めることも できる。

２

次の三角比を求めよ。ただし，sin70°＝0.9397，cos70°＝0.3420 である。

(1) sin20° (2) sin110° (3) cos160°

解答

(1) 90°－70°＝20° であるから sin20°＝sin(90°－70°)＝cos70°＝0.3420 (2) 110°＝180°－70° であるから sin110°＝sin(180°－70°)＝sin70°＝0.9397 (3) 160°＝180°－20° であり，20°＝90°－70° であるから cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－cos(90°－70°)＝－sin70°＝－0.9397 5 h A B _C D 30° 60°

2

３

0° ≦θ≦180° のとき，次の問いに答えよ。 (1) tanθ＝ 7 1 のとき，sinθ，cosθの値を求めよ。 (2) sinθ＝ 17 15 のとき，cosθ，tanθの値を求めよ。

解答

(1) 1＋tan2θ＝ θ 2 cos 1 から θ 2 cos 1 ＝1＋ 2 7 1       ＝ 49 50 cos2_θ＝ 50 49 0° ≦θ≦180° ，tanθ＝ 7 1 ＞0 であるから 0° ＜θ＜90° よって cosθ＞0 したがって cosθ＝ 50 49 ＝ 10 2 7 また sinθ＝tanθ∙cosθ＝ 7 1 ∙ 10 2 7 ＝ 10 2

(2) sin2θ＋cos2θ＝1 から cos2θ＝1－sin2θ＝1－

2 17 15       ＝ 289 64 (ⅰ) cosθ＞0 のとき cosθ＝ 289 64 ＝ 17 8 また tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 17 15 ÷ 17 8 ＝ 8 15 (ⅱ) cosθ＜0 のとき cosθ＝－ 289 64 ＝－ 17 8 また tanθ＝ θ θ cos sin ＝ 17 15 ÷       17 8 － ＝－ 8 15 (ⅰ)，(ⅱ)から (cosθ，tanθ)＝       8 15 17 8 ， ，       8 15 17 8 － ， －

４

0° ≦θ≦180° のとき，次の問いに答えよ。 (1) sinθ＋cosθ＝0 を満たすθを求めよ。 (2) 2sinθ－1＞0 を満たすθの範囲を求めよ。

解答

(1) sinθ＋cosθ＝0 から sinθ＝－cosθ (ⅰ) cosθ＝0 すなわち θ＝90° のとき 1＋0≠0 より不適。 (ⅱ) cosθ≠0 すなわち θ≠90° のとき θ θ cos sin ＝－1 tanθ＝－1 右の図のように，直線 x＝1 上に 点 T(1，－1)をとり，直線 OT と 半径 1 の半円の交点を P とすると， ∠AOP＝135° である。 したがって θ＝135° (2) 2sinθ－1＞0 から sinθ＞ 2 1 半径 1 の半円上で，y 座標が 2 1 となる 点を P，Q とすると ∠AOP＝45° ，∠AOQ＝135° よって，右の図から sinθ＞ 2 1 を満たす θの範囲は 45° ＜θ＜135° 2 1 P A －1 1 1 －1 θ A P Q 1 －1 45° 135° T 1

4

５

0° ≦θ≦180° ，sinθ＋cosθ＝－ 4 1 のとき，sin3_θ＋cos3_{θの値を求めよ。}

解答

(sin2θ＋cos2_{θ)(sinθ＋cosθ)＝sin}3_θ＋sin2_{θcosθ＋sinθcos}2_θ＋cos3_θから sin3θ＋cos3_{θ＝1∙(sinθ＋cosθ)－sinθcosθ(sinθ＋cosθ)}

＝(1－sinθcosθ)∙       4 1 － ＝－ 4 1 (1－sinθcosθ) また，sinθ＋cosθ＝－ 4 1 の両辺を 2 乗すると sin2_{θ＋2sinθcosθ＋cos}2_θ＝ 16 1 1＋2sinθcosθ＝ 16 1 から 2sinθcosθ＝－ 16 15 より sinθcosθ＝－ 32 15 以上から sin3_θ＋cos3_θ＝－             32 15 1 4 1 － － _＝－ 128 47

別解 sin3_θ＋cos3_{θ＝(sinθ＋cosθ)(sin}2_{θ－sinθcosθ＋cos}2_{θ) や}

sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)3－3sinθcosθ(sinθ＋cosθ) を用いて求めてもよい。

６

0° ≦θ≦180° のとき，y＝－sin2θ－cosθの最大値，最小値を求めよ。また，そのときのθも求めよ。

解答

sin2θ＝1－cos2θより y＝－sin2θ－cosθ＝－(1－cos2θ)－cosθ＝cos2θ－cosθ－1 cosθ＝t とおくと，0° ≦θ≦180° のとき －1≦cosθ≦1 であるから －1≦t≦1 y を t を用いて表すと y＝t2－t－1＝ 2 2 1       － t － 4 1 －1＝ 2 2 1       － t － 4 5 t＝ 2 1 で最小値－ 4 5 ，t＝－1 で最大値 1 をとる。 t＝ 2 1 すなわち cosθ＝ 2 1 を満たすθは θ＝60° t＝－1 すなわち cosθ＝－1 を満たすθは θ＝180° よって，θ＝60° のとき最小値－ 4 5 ，θ＝180° のとき最大値 1 4 5 － －1 －1 1 1 2 1

７

△ABC において，次のものを求めよ。 (1) ∠A＝120° ，a＝6 のときの外接円の半径 R (2) a＝ 2＋ 6 ，∠B＝30° ，c＝2 2のときの∠A，b，∠C

解答

(1) 正弦定理により，  120 sin 6 ＝2R から 2 3 6 ＝2R よって R＝ _       2 3 6 × 2 1 ＝ 3 6 ＝2 3 (2) 余弦定理により b2＝( 2＋ 6 )2＋(2 2)2－2∙( 2＋ 6 )∙2 2∙cos30° ＝2＋2 12＋6＋8－4 2( 2＋ 6 )∙ 2 3 ＝16＋4 3－4 3－12＝4 b＞0 から b＝2 正弦定理により，  30 sin 2 ＝ C sin 2 2 から 2 1 2 ＝ C sin 2 2 よって sinC＝2 2× 2 1 × 2 1 ＝ 2 2 2 2 ＜ 2＋ 6 より，∠C＜∠A であるから ∠C＝45° ，∠A＝180°－30°－45°＝105° したがって (∠A，b，∠C)＝(105° ，2，45° ) 6 A B C R 120° A 30° B C 2 2 6 2 ＋

6

８

cosAsinC＝sinB が成り立つとき，△ABC はどのような形の三角形か。

解答

与えられた式に cosA＝ bc a c b 2 2 2 2_{＋ －} ，sinC＝ R c 2 ，sinB＝ R b 2 をそれぞれ代入すると bc a c b 2 2 2 2_{＋ －} ∙ R c 2 ＝ R b 2 両辺に 4bR を掛けると b2_＋c2_－a2_＝2b2 _{これから a}2_＋b2_＝c2 よって，△ABC は∠C＝90° の直角三角形である。

９

次の空欄を埋めよ。

△ABC において，a＝ 7 ，b＝2，c＝1 のとき，cosA＝(ア) ， すなわち ∠A＝(イ) よって，△ABC の面積は(ウ) である。さらに，∠A の二等分線と BC の交点を D としたとき， AD の長さは(エ) である。

解答

cosA＝ bc a c b 2 2 2 2_{＋ －} ＝ 1 2 2 7 1 4   － ＋ ＝－ 2 1 0°≦∠A≦180° であるから ∠A＝120° △ABC＝ 2 1 ∙1∙2∙sin120°＝ 2 1 ∙1∙2∙ 2 3 ＝ 2 3 △ABD＋△ACD＝△ABC であるので，それぞれ面積の公式から 2 1 ∙1∙AD∙sin60°＋ 2 1 ∙AD∙2∙sin60°＝ 2 3 これから 4 3 AD＋ 2 3 AD＝ 2 3 4 3 3 AD＝ 2 3 よって AD＝ 2 3 ∙ 3 3 4 ＝ 3 2 （ア） － 2 1 ，（イ） 120°，（ウ） 2 3 ，（エ） 3 2 A C B _D 7 1 ● ● 2

１０

△ABC において，∠A＝45° ，b＝8，c＝ 2のとき，内接円の半径 r を求めよ。

解答

△ABC の面積を S とすると S＝ 2 1 bcsin∠A＝ 2 1 ∙8∙ 2∙sin45° ＝ 2 1 ∙8∙ 2∙ 2 1 ＝4 また a2_＝b2_＋c2_{－2bccos∠A＝8}2_＋( 2)2－2∙8∙ 2∙cos45° ＝64＋2－2∙8∙ 2∙ 2 1 ＝50 a＞0 から a＝5 2 S＝ 2 1 r(a＋b＋c) にそれぞれの値を代入すると 4＝ 2 1 r(5 2＋8＋ 2) 4＝(4＋3 2)r から r＝ 2 3 4 4 ＋ ＝(4 3 2)(4 3 2) ) 2 3 4 ( 4 － ＋ － ＝6 2－8

研究１

円に内接する四角形 ABCD において，AB＝6，BC＝7，CD＝2，DA＝3 のとき，対角線 AC の長さ， 四角形 ABCD の面積 S をそれぞれ求めよ。

解答

△ABC において，余弦定理により AC2＝62＋72－2∙6∙7∙cos∠ABC ＝85－84cos∠ABC ……① △ADC において，余弦定理により AC2＝22＋32－2∙2∙3∙cos∠ADC ＝13－12cos(180° －∠ABC) ＝13＋12cos∠ABC ……② ①，②から 85－84cos∠ABC＝13＋12cos∠ABC これを解いて cos∠ABC＝ 4 3 ①に代入すると AC2_{＝85－84∙} 4 3 ＝22 B A C D 6 2 2 A C B 8 45° 3 7

8

研究２

右の図のような，正三角錐 ABCD の体積を求めよ。

解答

頂点 A から底面△BCD に垂線 AH を引くと △ABH≡△ACH≡△ADH これから，BH＝CH＝DH であるので，点 H は△BCD の外心である。 よって，BH は△BCD の外接円の半径であるから  60 sin 2 ＝2BH これから BH＝ 3 3 2 △ABH は直角三角形であるから，三平方の定理により AH＝ 2 2 BH AB － ＝ 2 2 3 3 2 3 _      － ＝ 3 69 また △BCD＝ 2 1 ∙2∙2∙sin60° ＝ 3 以上から，正三角錐の体積は 3 1 ∙△BCD∙AH＝ 3 1 ∙ 3 ∙ 3 69 ＝ 3 23 A D C B 3 2