不規則波 の周期分布 における対数正規性 とその相似性
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(2) 122. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第55巻(2008). と な り,2次. 3. 不 規 則 波 浪 の周 期 分 布. な い.な. 無 次元 波高z(不 規 則波 の包絡線 を √2m0で 除 した も の)と位 相角 の微係 数 φの結合 確率密度関数 は,. モ ー メ ン トが 発 散 し,周 期 の 分 散 が 存 在 し. お,1次. モ ー メ ン トは収 束 し,τ の 期 待 値 は1. で あ り,平 均 周 期 はT01に 一 致 す る. 波 高 を 条 件 とす る周 期 の 確 率 密 度 は,結 合 確 率 密 度 を 波 高 の周 辺 確 率 密 度 で 除 す こ と に よ り得 られ る.こ の 場. (4) と 与 え ら れ る(Longuet‑Higgins,1975).こ 均 位 相 角 速 度(2π/T01;平. こ で,δ. 均 周 期T01=√m0/m1)で. 合 は,次 式 に 示 す よ うな正 規 分 布 と な る.. は平. (10). あ り,. 式(6)に お い て,周. vは 次 式 に 示 す 帯 域 幅 パ ラ メ ー タ で あ る.. 期 は 負 の 値 を含 む よ う に 定 義 され て. い る こ と が理 論 上 の 難 点 で あ る.. (5) 北 野 ら(2007)が 多 くは,式(4)に. (2) Longuet‑Higgibns(1983)に. よ る理 論 分 布. 周 期 τと位 相 角 の微 係 数 φ を. 指 摘 す る と お り,既 往 の 理 論 研 究 の. (11). お け る位 相 角 の 微 係 数 φ に波 の 周 期T. を 関 係 づ け る こ とに よ り,波 高 と周 期 の結 合 確 率 密 度 関 数 を 誘 導 して い る.た だ し,そ の 際 の 関係 式 が 異 な る.. で 関係 づ け る こ とに よ り,波 高 と周 期 の結 合 確 率 密 度 関 数 を誘 導 して い る.こ の 場 合,波. 高 の 密 度 関数 は,. 以 下 で は,既 往 の 周 期 分 布 の 裾 特 性 に つ い て 相 互 比 較 を. (12). 行 うた め に,密 度 関 数 を整 理 す る. (1) Longuet‑Higgins(1975)に. と な る.こ. よる理論分布. こ で,. 無 次 元 周 期 τ(周 期 を平 均 周 期T01で 除 した もの)と 位 (13). 相角 の微係数 φを. (6) と して 関 係 づ け る こ とに よ り,波 高 と周 期 の結 合 確 率 密 度 関 数 を 誘 導 して い る.こ の時,結. 合 確 率 密 度 関数 にお. いて,一 方 の 変 数 を積 分 す る こ と に よ り消 去 す れ ば,他 方 の 周 辺 確 率 密 度 関 数 を 得 る こ と が で き る.波 高 の 密 度 関 数 は,次 式 に示 すRayleigh分. で あ る.誤 差 関 数Fの. 変 数 に波 高zが. も は や 波 高 はRayleigh分. 含 ま れ る た め,. 布 に 従 わ な い.こ. 上 の 欠 点 と考 え る.な ぜ な ら,Rayleigh分. れ は,理 論 布 か らの現 実. 的 な ズ レを 式(12)が 表 現 で き て い るか 疑 問 が 残 る.む. し. ろ,数 式 の表 現 を 複 雑 に して い る と い うデ メ リ ッ トが大 きい と考 え る.. 布 と して 得 られ る.. 波 高 を 条 件 とす る周 期 の確 率 密 度 は,. (7) (14). ま た,周 期 の密 度 関 数 は,. (8). と得 られ る.ま た,周 期 の 周 辺 確 率 密 度 は,. と得 られ る.し た が って,周 期 分 布q1の 裾 は,. (15) (9). と な る.周. 期 分 布q2お. よ びf2の. 裾 は,い. ず れ も,. (16) と な り,1次. モ ー メ ン トが 発 散 す る.そ. の た め,周 期 分. 布 か ら平 均 周 期 を 求 め る こ とが で き な い. (3). Stansellら(2004)に. よ る理 論 分 布. 式(11)の 関 係 式 に加 え,. (17) の関 係 も用 い る こ とに よ り,平 均 周 期 が ゼ ロ ク ロス に よ る平 均 周 期T02(=√m0/m2)に 図‑3. 周 期分 布 の裾特 性. 一 致 す る よ うな工 夫 を 行. い,次 式 に 示 す よ うな結 合 分 布 を導 い て い る..
(3) 不規 則波 の周 期分布 にお ける対数 正規 性 とその相 似性. 123. で あ る.式(10)と 比 較 す る よ う に,こ の理 論 は,Longuet‑. (18). Higgins(1975)の しっ っ,そ. こ こ で,g2(z,τ)はLonguet‑Higgins(1983)の 波 高 と周 期 の 結 合 分 布g2(z,τ)と. 理論 によ る. 理 論 に お け る欠 点(負. の 周 期)を. 克服. の長 所 で あ る正 規 分 布 で あ る と い う簡 便 さ を. 残 した もの に な って い る こ と に 注 意 され た い.. 次 式 の 関 係 に あ る.. (5) Cavanie(1976)に よ る理 論 分 布 この 理 論 は式(4)に 基 づ く も の で は な い.Ochi(1998) に示 され る と お り,ク. (19). レス ト ・ トゥ ・ク レス ト波 を 対 象. に して い る.波 高 と周 期 の 結 合 分 布 は,. こ の時,波 高 と周 期 の周 辺 確 率 密 度 は,そ れ ぞ れ以 下 の. (26). よ う に導 か れ る. と な る.こ. こ で,係. 数 α お よ び β は,. (20) (27) で あ る.周 期 の周 辺 確 率 密 度q5(τ)お よ び 条 件 付 確 率 密 度f5(τ￨z)の. 裾 は,次. の よ うに な る.. (21). (28) した が って,こ 波 高 を 条 件 と す る周 期 の確 率 密 度f3(τ￨z)は,g3(z,τ) をp3(z)で 除 す こ とに よ り得 られ る.周 期 分 布 の裾 は,. (22) とな る の で,2次. モ ー メ ン トが 発 散 す る.な. す る が,1.で. の場 合 は,平 均 お よ び 分 散 は分 散 は 存 在 指 摘 す る とお り,ε に難 が あ る.. 図‑3は,周 期 の確 率 密 度qi=1,2,3,5(τ)に つ いて,両 軸 を 対 数 目盛 りで 描 い た もの で あ る(ν=0.42,ε=0.84).. お,こ の 場. 4. 対 数 正 規 性. 合 は,τ の期 待 値 が 存 在 す る こ とを 意 図 して 理 論 を 構 築 して お り,1次. 周 期 分 布 の 裾 が ベ キ 関数 分 布 で あ る か 否 か の検 討 だ け. モ ー メ ン トは 収 束 す る.. (4) 北 野 ら(2007)に. で な く,周 期 の 条 件 付 確 率 分 布 の対 数 正 規 性 も 同 時 に 検 よ る理 論 分 布. 周 期 τ と位 相 角 の 微 係 数 φ は,波. 高 に依 存 す る量 ち. を新 た に導 入 して,次 式 で 関 連 づ け る も の で あ る.. 討 す る に は,対 数 周 期 の 条 件 付 確 率 密 度hi(logτ￨z)を 用 い る の が都 合 よ い.hi(logτ￨z)とfi(τlz)は,. (29) (23). と い う関 係 が一 般 に成 り立 つ.な. お,. この 時,周 期 の対 数 変 換 量logτ の条 件 付 確 率 密 度 は,. (30) と表 さ れ るベ キ 関 数 分 布 に対 し,対 数 周 期logτ の 確 率. (24) と して 正 規 分 布 で与 え られ る.こ. 密 度 関 数hは,次. 式 の よ う に表 せ る.. こで,. (31) (25). し た が っ て,loghi=2 kの. 図‑4. ,3に 対 す るlogτ. 直 線 に 漸 近 す る.他. 波 高 を条件 とす る周期 分布 の対 数正 規性 と裾 特性. 方,周. は,裾. 部 で 傾 き が‑. 期 分 布 に対 数 正 規 性 が あ.
(4) 124. 海. れ ば,式(24)を. 岸. 工. 学. 論. 変 形 して,. 文. 集. 第55巻(2008) Longuet‑Higgins(1983)お. (32). よ びStansell(2004)の. 理 論 で. は,式(16)お. よ び(22)を. 見 る と お り,V(τ￨z)が. る た め,分. 散V(τ)を. 得 る こ と は で き な い.ま. Longuet‑Higgins(1975)の. 発散 す た,. 場 合 は,. と な り,放 物 線 で 描 か れ る た め,勾 配 は常 に変 化 し,直 線 部 は存 在 しな い.図‑4は,PMの シ ョ ンに よ る結 果(約277波. (37). 不 規 則 波 浪 シ ミュ レ ー. ×20試 行=5499波. を 対 象). を 示 す.. とな り,式(34)の. 被 積 分 関 数 がz=0で. 発 散 す る.被 積. 分 関 数 が 発 散 して も,積 分 が収 束 す る こ と もあ る た め, 注 意 が 必 要 で あ る.超 過 確 率P(=1‑P)を. 5. 周 期 の 平 均 と 分 散. (34)を 変 形 す れ ば,次 個 別 の分 布 関 数 ご と に積 分 を 実 行 して平 均 や 分 散 を議 論 す る よ り も,で き る限 り一 般 的 な議 論 と して,予. 用 い て,式. 式 の よ う に指 数 積 分 関 数E1で 表 さ. れ,結 局,周 期 の分 散 は発 散 す る こ とが わ か る.. め変. 形 した 数 式 で議 論 す る と,分 布 の 裾 特 性 に よ る違 い が 明 確 に で き る.そ. (38). こで,波 高 を 条 件 とす る周 期 の 期 待 値 そ の 一 方 で,北. (33) を導 入 す る.こ. の時,周. 期 の分 散V(τ)は,以. 野 ら(2007)の. 場 合 は,対 数 正 規 分 布. の 特 性 か ら,波 高 を条 件 とす る周 期 の 期 待 値 と分 散 は,. 下 に示 す. よ うな 分 解 が で き る.. (39) と 得 ら れ る.μ. お よ び δ は,式(25)に. zに 依 存 す る τpが 含 ま れ る.こ. 示 す と お り,波. (40). (34) た だ し,V(τ￨z)お. よ びB(z)は 波 高 を 条 件 と す る周 期. の分 散 お よ びバ イ ア ス で あ り,そ れ ぞ れ,. 高. こ で,. と変 形 して お く と後 の計 算 に 便 利 で あ る.現 時 点 で は, ち を ど の よ う に と るべ き か の 最 適 な 公 式 は存 在 し な い. 北 野 ら(2007)が. (35). 提 案 す る一 例 は,ス. ペ ク トル 形 状 に 依. 存 す る定 数 αを 含 む,次 式 の よ う に表 さ れ る も の で あ る.. (36) と定 義 さ れ る.ま た,P(z)は. 波 高 の 累 積 確 率 で あ り,広. (41). 義 積 分 に し な い工 夫 の1つ と して,有 限 区 間 で の積 分 と な る よ うに,式(34)の. 積 分 変 数 にPを 用 い る.. 北 野 ら(2007)の る た め,発. 理 論 は,Longuet‑Higgins(1975)と. 類似 す. 散 の 可 能 性 が あ る の はz=0(P→1)で. あ る.. (42) と な り,V(τ￨z)はz=0で. 有 限 値 ゼ ロ に 収 束 す る.ま. た,. (43) と な り,B(0)も. 有 限 値 に 収 束 す る.被. 領 域 全 体 で 発 散 しな け れ ば,そ 図‑5. 波高 を条件 とす る周 期 の分散. 積分 関数 が積 分. の積 分 値 も発 散 しな い こ. と は 当 然 で あ り,北 野 ら(2007)が. 提 案 す る よ う に,周. 期 の 条 件 分 布 を 対 数 正 規 分 布 で 与 え れ ば,周 期 の分 散 は 有 限 な値 と して 算 出 で き る こ とが 示 さ れ た. 図‑5お よ び6は,観 年8月8日. 測 波 浪 デ ー タ(渥 美 半 島 沖,2006. の 波 形 記 録;喜. 岡 ら,2007)を. 対 象 に,波. 高. を 条 件 とす る分 散 お よ び バ イ アス を示 す.図 中 の 破 線 は, 式(41)の 関 係 を 用 いず に,デ. ー タか ら直 接 的 に計 算 した. もの で あ る.若 干 の 違 い は あ る もの の,い ず れ の 場 合 も 発 散 す る傾 向 は見 られ な い. 図‑6. 波高 を条 件 とす る周 期 のバ イ アス.
(5) 125. 不 規則 波 の周期 分布 にお ける対数正 規性 とその相 似性. 7. ま と め 不 規 則 波 の周 期 特 性 につ い て,ロ. ング テ ー ル を もっ既. 往 の 理 論 分 布 と は異 な り,対 数 正 規 性 を導 入 す れ ば,周 期 の 分 散 は収 束 値 が 得 られ る こ と を示 した.ま. た,周 期. 分 布 は,条 件 に よ り対 称 で あ っ た り,歪 ん だ り,双 峰 型 図‑7. に な っ た り,変 化 に非 常 に 富 ん で い る.波 高 階 級 ご と に. 重 ね合 わせ によ る周 期分 布(波 群 性 の弱 い場合). 相 似 な分 布 を 重 ね 合 わ せ る と い う単 純 な 表 現 で,そ. のよ. う な周 期 分 布 を 適 確 に記 述 で き る こ と も示 した.. 謝 辞:本 研 究 は,科 学 研 究 費(代 表:喜 岡 一 部 で あ る .大 島一 剛 氏((株)大 島 組,今. 渉)の 成 果 の 春 よ り)お よ. び川 上 健 太 郎 君(名 古 屋 工 業 大 学 大 学 院)に は,図 面 の 作 成 に協 力 い た だ い た. 図‑8. 重 ね合 わせ に よ る周期 分布(波 群性 の強 い場 合) 参 喜岡. 6. 相 似 な 分 布 の 重 ね 合 わ せ 表 現 波 高 分 布 は,Rayleigh分. 北 野 利 一 ・森 下 和 帆 ・喜 岡. 布 で表 現 して も多 くの場 合 に. 不 都 合 が見 られ ない よ うに,ス ペ ク トルの 帯域 幅パ ラメ ー タ に依 存 しな い(た とえ,依. 存 した と して も大 き な 変 化. を与 え な い)単 峰 の 密 度 関 数 で あ る.他 方,周. 期 分 布 は,. 変 化 に 富 ん だ 分 布 で あ る こ と は,Sobey(1992)が. 数値シ. ミ ュ レー シ ョ ンに 基 づ い て,中 村 ら(1995)が. 現 地 波浪. デ ー タ に基 づ い て報 告 して い る. 図‑7お よ び8は,観 年8月8日. と9月12日. 測 波 浪 デ ー タ(渥 美 半 島 沖,2006 の 波 形 記 録;喜. 岡 ら,(2007))を. 対. 象 に,波 高 の 階 級 毎(こ こ で は,P=0,1/3,2/3,5/6,1 で分 割 して い る)に 相 似 な対 数 正 規 分 布 を 重 ね合 わ せ る こ と に よ り,周 期 分 布 の 非 対 称 性 が2種 類 に分 類 さ れ る こ とを 例 示 した もの で あ る.す な わ ち,波 高 の 小 さ な 階 級 に お け る短 い 周 期 が 卓 越 す る場 合(図‑7,左)に. は,. 波 高 の 小 さ い 階 級 か ら大 きい 階 級 へ と い う順 で 重 ね合 わ せ て 周 期 分 布 を 形 成 され て い る と解 釈 に都 合 が よ い(た だ し,こ の場 合 は,周 期 分 布 が 対 称 に近 い の で,図‑7右 と して,逆 向 きの 順 序 で 重 ね 合 わ せ て も解 釈 に困 らな い). そ の一 方 で,波 高 の大 きな 階 級 に お け る有 義 波 周 期 が 卓 越 す る場 合(図‑8,右)に. は,波 高 の大 き い階 級 か ら小 さ. い階 級 へ とい う順 で重 ね 合 わ さ れ る と見 れ ば,変 化 に富 ん だ非 対 称 な 周 期 分 布 を 理 解 しや す い.こ. の よ うな 密 度. 関 数 の 非 対 称 性 は,中 村 ら(1995)に お け る波 群 性 の 分 類 に用 い られ て い る.な お,図‑8の. 場 合 は,短 い周 期 に第. 2の ピ ー ク が 現 れ る可 能 性 を示 唆 して お り,こ の よ う な 双 峰 性 はSobey(1992)も に よ るq5も 含 め,既. 指 摘 して い る.Cavanieら. の理論. 往 の 理 論 分 布qi=1 ,2,3,5は,どの よ. うに ス ペ ク トル ・パ ラ メ ー タを 選 ん で も,こ の よ う な双 峰 型 の 形 状 を表 現 で き な い.. 考. 文. 献. 渉 ・加 藤 寛 之 ・北 野 利 一 (2007): 高 波 浪 時 の 波 群 特 性 に 関 す る 現 地 観 測, 海 工 論 文 集, 第54巻, pp.161‑165. 率 分 布 の 近 似 的 表 現,. 渉. (2007):. 海 工 論 文 集,. 中 村 聡 志 ・加 藤 一 正 ・望 月 徳 雄 計 量 に よ る 波 群 性 の 推 定,. (1995):. 波 高 と周 期 の 結 合 確 第54巻,. pp.91‑95.. 波 群 の 統 計 と波 浪 統. 海 工 論 文 集 ,pp.281‑285.. Anderson, C. (2006): TheLongTail: Why the Future of Business is Selling Less of More, Hyperion, 238p.(ロ ン グ テ ー ル, 早 川 書 房, 篠 森 ゆ り こ訳, 2006). Cavanie, A., Arhan, M. K. and E. Ezraty (1976): A statisticalrelationship between individual heights and periods of storm waves, Proc. Conf. Behaviour Offshore Structure, Vol.2, pp.354-360. Huang, N. E., Long, S. R., Tung, C. C., Yuen, Y. and L.F. Bliven (1981): A unified two-parameterwave spectral model for a general sea state, J. Fluid Mech., Vol.112,pp.203-224. Kitaigorodskii,S. A. (1962): Applicationsof the theory of similarity to the analysisof wind-generatedwave motion as a stochastic process, Geophys. Ser. Acad. Sci., USSR, Vol.1, pp.105117. Longuet-Higgins,M. S. (1975): On the joint distributionof the periods and amplitudeof sea waves, Jour. Geophys.Res.,Vol.80, pp.2688-2694. Longuet-Higgins,M. S. (1983): On the joint distributionof wave periods and amplitudes in a random wave field, Proc. Roy. Soc. Lond. A 389, pp.241-258. Ochi, M. (1998): Ocean Waves, Cambridge Univ. Press, 319p. Phillips, O. M. (1958): The equilibriumrange in the spectrum of wind-generated ocean waves, J. Fluid Mech., Vol.4, pp.426434. Sobey,R. J. (1992): The distributionof zero-crossingwave height and periods in a stationary sea state, Ocean Engng., Vol.19, pp.101-118. Stansell, P., J. Wolfram and B. Linfoot (2004): Improved joint probability distributionfor ocean wave heights and periods, Jour. Fluid Mech., Vol.503, pp.273-297. Toba, Y. (1973): Local balance in the air-sea boundary processes III, on the spectrum of wind waves, J. Oceanogr.Soc. Japan, Vol.29,pp.209-220..
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