- 1 - 周 期 時 系 列 の 統 計 解 析 (3)移 動 平 均 と フ ー リ エ 変 換 nino 2017 年 12 月 18 日 移 動 平 均 は ，周 期 時 系 列 に お け る 特 定 の 周 期 成 分 の 消 去 や 不 規 則 変 動（ ノ イ ズ ）の 低 減 に 汎 用 さ れ て い る 統 計 手 法 で あ る ．こ こ で は ，周 期 時 系 列 を コ サ イ ン 関 数 で 近 似 し ，そ の 移 動 平 均 に よ り 周 期 成 分 の 振 幅 が ど の よ う に 変 化 す る の か 等 に つ い て 検 討 す る ． ま た ， 気 温 の 実 測 値 に 移 動 平 均 を 適 用 し た 結 果 に つ い て フ ー リ エ 変 換 も 併 用 し て 考 察 す る ． 単 純 移 動 平 均 の 計 算 式 移 動 平 均 に は ，単 純 移 動 平 均 ，加 重 移 動 平 均 ，指 数 移 動 平 均 ，三 角 移 動 平 均 な ど が あ る が ， こ の う ち 時 系 列 デ ー タ を 一 定 期 間 ご と に 期 間 を ず ら し な が ら 単 純 に 平 均 を と る 単 純 移 動 平 均 を 検 討 対 象 と し た ． 周 期 時 系 列 を y(t)と す る と ，時 点 t か ら 時 点 t＋ (n-1)ま で の 単 純 n 項 移 動 平 均（ nMA）は ， 次 式 で 表 さ れ ， 時 点 は t＋ (n-1)/2 で あ る ． 例 え ば ， 項 数 が ３ の 場 合 に お け る 時 点 t か ら 始 ま る 移 動 平 均 の 最 初 の 式 は ， で あ り ， 時 点 は t＋ 1 で 整 数 と な る ． 以 下 同 様 に ， ２ ， ３ ・ ・ 番 目 の 値 の 時 点 は １ 単 位 ず つ 移 動 し て い く ．た だ し ，上 式 が 成 り 立 つ の は ，移 動 平 均 の 項 数 n が 奇 数 の 場 合 で あ る ． 偶 数 項 数 ， 例 え ば 項 数 が ４ の 場 合 に お け る 時 点 t か ら 始 ま る 移 動 平 均 の 最 初 の 式 は ， で あ る が ，時 点 は t＋ 1.5 と な り ，0.5（ 半 期 ）ズ レ て い る ．こ の 半 期 の ズ レ を 解 消 す る た め ， 通 常 は ， 中 心 化 移 動 平 均 （ cMA） を 使 う ． こ れ は ，n 項 移 動 平 均 を と っ て ， 再 度 そ の ２ 項 移 動 平 均 を と る 方 法 で あ る ．例 え ば ，時 点 t か ら 始 ま る 最 初 の ４ 項 移 動 平 均 と ２ 番 目 の ４ 項 移 動 平 均 の ２ 項 移 動 平 均 は ，
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- 2 - で あ り ，時 点 は t＋ 2（ 整 数 ）と な る ．同 様 に ，以 降 の 移 動 平 均 の 時 点 は １ 単 位 ず つ 移 動 し て い く ．結 局 ，偶 数 項 数 の 場 合 は 両 端 の 時 点 の 重 み を 半 分 に し た 加 重 平 均 と な る ．こ の よ う に ， 移 動 平 均 の 計 算 式 は ， 奇 数 項 数 と 偶 数 項 数 の 場 合 で 異 な る ． 項 数 に よ る 移 動 平 均 の 振 幅 変 化 実 際 の 周 期 時 系 列 は ，気 温 の 月 別 変 化 や 季 節 別 (4 半 期 毎 )変 化 あ る い は 時 間 変 化 等 ，周 期 が 12 か 月 ，４ 回 /年 ，24 時 間 な ど 偶 数 で あ る 場 合 が 多 い の で ，主 と し て 周 期 が 12 の 場 合 に つ い て 検 討 す る ． 時 系 列 図 に は ， 項 数 に 違 い に よ る 移 動 平 均 の 振 幅 の 変 化 に つ い て 例 示 し た ． 周 期 時 系 列 と し て 平 均 0，振 幅 １ お よ び 周 期 12 の コ サ イ ン 関 数 y(t)＝ cos(2πt/12)を 用 い ，そ の 4 項 中 心 化 移 動 平 均（ 4cMA），7 項 移 動 平 均（ 7MA），12 項 中 心 化 移 動 平 均（ 12cMA），15 項 移 動 平 均 （ 15MA）， お よ び 24 項 中 心 化 移 動 平 均 （ 24cMA） で あ る ．
振 幅 は 4MA， 7MA の 順 に 小 さ く な り ， 12cMA と 24cMA で は 振 幅 は 0 す な わ ち 平 滑 化 さ れ て い る ． し か し ， 15MA の 位 相 は y(t)の 逆 位 相 と な っ て い る ． こ の よ う に ， コ サ イ ン 関 数 を モ デ ル と し た 周 期 時 系 列 の 移 動 平 均 に よ る と ， 振 幅 は 周 期 と 項 数 に よ っ て 変 化 し ， 元 の 関 数 y(t)の 逆 位 相 と な る 場 合 が あ る ．な お ，項 数 が 大 き い ほ ど ，両 端 の 欠 測 数 は 多 く な る ． コ サ イ ン 関 数 の 移 動 平 均 周 期 時 系 列 を 次 の コ サ イ ン 関 数 で 近 似 し ， そ の 移 動 平 均 を 求 め る ．
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- 4 - (2)偶 数 項 数 の 場 合 偶 数 項 数 の 移 動 平 均 はn項 中 心 化 移 動 平 均 ， す な わ ち ， 時 点 tか ら 時 点 t＋ (n－ 1)ま で と 時 点t＋ 1か ら 時 点 t＋ nま で の ２ つ の ｎ 項 移 動 平 均 の ２ 項 移 動 平 均 で あ る か ら ， と な る ．右 辺 の 第 一 項 は 前 述 し た 奇 数 項 数 の 移 動 平 均 で あ り ，そ れ に 第 二 項 が 加 わ る ．第 二 項 は ，先 の 三 角 関 数 を 含 む 有 限 級 数 の 公 式 の 表 示 形 式 と 和 積 公 式 を 用 い て ま と め る と ， と な る ．こ れ を 先 のn項 中 心 化 移 動 平 均 の 式 に 代 入 し ，積 和・和 積 公 式 を 用 い て ま と め と ， こ こ で ，x＝ 2πt/T， θ＝ 2π/T と お く と ，
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- 5 - が 得 ら れ る ． 時 点 はt＋ n/2で あ り ， 項 数 nが 偶 数 の 場 合 に 整 数 と な る ． こ の 式 に よ る と ， 偶 数 項 数 の 振 幅 比 は 奇 数 項 数 の 振 幅 比 のcos(π/T)倍 に 相 当 す る ． 周 期Tの 成 分 が 消 去 さ れ る 条 件 は ，分 母 の tan(π/T)＞ 0で あ る か ら ，分 子 の sin(nπ/T)=0を 満 た す こ と で あ る ．こ れ は ，奇 数 項 数 の 場 合 と 同 じ で あ り ，T＝ n/kを 満 た す こ と で あ る ． 例 え ば ， 12項 中 心 化 移 動 平 均 の 場 合 は ，k＝ 1と お く と T＝ 12/1＝ 12の 基 本 周 期 ，k＝ 2と お く とT＝ 12/2＝ 6の 周 期 ， k＝ 3で は T＝ 12/3＝ 4の 周 期 ， k＝ 4で は T＝ 12/4＝ 3の 周 期 が 同 時 に 消 去 さ れ る ． 項 数 と 周 期 に よ る 振 幅 比 の 変 化 こ れ ま で の 結 果 か ら ， 振 幅 比 は 奇 数 項 数 の 場 合 はsin(nπ/T)/ nsin(π/T)， 偶 数 項 数 の 場 合 はsin(nπ/T)/ ntan(π/T)で 表 わ さ れ た ．そ こ で ，n項 移 動 平 均 に よ っ て 振 幅 比 が 周 期 に 対 し て ど の よ う に 変 化 す る の か を ５ 例 のn項 移 動 平 均 に つ い て 調 べ た ．（ 図 ） 振 幅 比 は 周 期 が 大 き く な る に し た が い １ に 漸 近 し ， そ の 立 ち 上 り は 移 動 平 均 の 項 数 が 小 さ い ほ ど 顕 著 で あ っ た ．ま た ，先 述 し た よ う にT＝ n/kを 満 た す 周 期 で 振 幅 比 は 0と な っ た ． 例 え ば ， 12cMAで は ，T＝ 12， 6， 4， 3の ４ つ の 周 期 成 分 が 消 去 さ れ て い る ． 一 方 ，移 動 平 均 に よ り 振 幅 比 が 負 と な る 周 期 が 存 在 す る ．振 幅 比 が 負 と い う こ と は ，元 の 関 数y(t)の 逆 位 相 に な る こ と で あ る ．振 幅 比 が 負 と な る 条 件 は ，奇 数 項 数 の 場 合 も 偶 数 項 数 の 場 合 もsin(nπ/T)＜ 0を 満 た す こ と で あ る ． j＝ 1， 2， 3，・ ・ と す る と ， (2j－ 1)π＜nπ/T＜ 2jπ す な わ ち n/2j＜ T＜ n/(2j－ 1) が 満 た す 条 件 と な る ． 例 え ば ，12cMA（ n＝ 12） の 場 合 は ， j＝ 1と お く と 6＜ T＜ 12と な り ， 周 期T＝ 7， 8， 9， 10， 11の ５ つ の 周 期 が 逆 位 相 と な る ． j＝ 2と お く と 3＜ T＜ 4と な り ， 条 件 を 満 た す 周 期 は 存 在 し な い ． ま た ， 逆 位 相 と な る 周 期 の ほ ぼ 中 間 の 周 期 は ， 例 え ば ， 12cMAで はT＝ 7～ 11の な か の T＝ 8，9の 周 期 の 振 幅 比 は 0.2程 度 だ が ，そ の 前 後 の 周 期 成 分 の な か で 最 も 大 き か っ た ．周 期 が 12以 上 に お い て は ，周 期T＝ 20の 振 幅 比 は 0.50で 元 の 振 幅 の 半 分 ， 周 期T＝ 48の 振 幅 比 は 0.90， そ し て ， そ れ 以 降 は 振 幅 比 は １ に 漸 近 し て い く ．
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-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 振幅比 周期 T 4cMA 7MA 12cMA 15MA 24cMA- 6 - 気 温 デ ー タ へ の 移 動 平 均 の 適 用 お よ び フ ー リ エ 変 換 に よ る 検 証 長 期 間 の 気 温 時 系 列 に 移 動 平 均 を 適 用 し ，コ サ イ ン 関 数 で 得 ら れ た 結 果 と 比 較 検 討 し た ． 用 い た デ ー タ は ，気 象 台（ 横 浜 ）の 1930年 １ 月 か ら 2015年 12月 ま で（ 86年 間 ）の 月 平 均 気 温 （ 1032個 ） で あ る ． 図 に 86年 間 の 気 温 と そ の 12か 月 中 心 化 移 動 平 均 （ 12cMA） を 示 す ． 気 温 に つ い て は 12か 月 の 周 期 が 大 き い が ， 年 に よ っ て 高 低 が あ り ， 数 年 か ら 十 年 程 度 の 周 期 の 循 環 変 動 が み ら れ た ．12cMAで は ，循 環 変 動 が 顕 著 に 現 れ ，そ れ に 数 か 月 程 度 の 短 周 期 が 重 畳 し て い る ． ま た ， 上 昇 傾 向 が 明 確 に 認 め ら れ た ． 気 温 と 12cMAの 時 系 列 の 周 期 特 性 を 調 べ る た め ，Excelの「 分 析 ツ ー ル 」の「 フ ー リ エ 解 析 」 を 用 い て フ ー リ エ 変 換 を 行 っ た ． な お ， フ ー リ エ 変 換 で は デ ー タ 数 を 2のn乗 個 に す る 必 要 が あ る た め ， 最 初 か ら 21 0(＝ 1024)個 の デ ー タ を 対 象 に し た ． ま ず ，気 温 の フ ー リ エ 変 換（ 図 ）に つ い て は ，振 幅 は 12か 月 周 期 が 最 も 大 き く ，次 い で 4， 6，3か 月 周 期 の 順 で あ っ た ．そ の 他 の 周 期 も 広 い 範 囲 で 認 め ら れ ，振 幅 は 短 周 期 側 よ り も 長 周 期 側 で 大 き い 傾 向 を 示 し ， 最 大 で 長 周 期 側 は 約 0.2， 短 周 期 側 は 約 0.1で あ っ た ． 次 図 に は ，気 温 の 12cMAの フ ー リ エ 変 換 結 果 を 振 幅 比 の 理 論 曲 線 と 併 せ て 示 し た ．振 幅 は 長 周 期 で 大 き く ， ま た ， 12か 月 や 6か 月 ， 4か 月 ， 3か 月 の 周 期 は ほ ぼ 消 去 さ れ た ．こ の 振 幅 の 変 化 は 振 幅 比 の 理 論 曲 線 と 良 く 対 応 し て お り ，振 幅 比 が 1に 近 い 長 周 期 の 振 幅 は 大 き く ， ま た ， 振 幅 比 が 0の 周 期 は ほ ぼ 消 去 さ れ ， そ の 前 後 の 周 期 の 振 幅 は 小 さ か っ た ． 例 え ば ，205か 月 ，128か 月 ，53.9か 月 等 の 長 周 期 の 振 幅 は 0.2前 後 あ っ た ．こ れ は 気 温 時 系 列 の 場 合 と ほ ぼ 同 じ 値 で あ り ，そ れ ら の 振 幅 比 が １ 弱 で あ る こ と と 一 致 し た ．ま た ，8 か 月 前 後 の 周 期 の 振 幅 は 0.02程 度 で あ っ た ．そ の 時 の 気 温 の 振 幅 は 約 0.1，振 幅 比 は 約 － 0.2で あ る か ら ， ほ ぼ 予 測 通 り と な っ た ． た だ し ， 振 幅 比 は 負 な の で ， 逆 位 相 で あ る ． 12 13 14 15 16 17 18 19 0 5 10 15 20 25 30 35 1 93 0 1 93 1 1 93 2 1 93 3 1 93 4 1 93 5 1 93 6 1 93 7 1 93 8 1 93 9 1 94 0 1 94 1 1 94 2 1 94 3 1 94 4 1 94 5 1 94 6 1 94 7 1 94 8 1 94 9 1 95 0 1 95 1 1 95 2 1 95 3 1 95 4 1 95 5 1 95 6 1 95 7 1 95 8 1 95 9 1 96 0 1 96 1 1 96 2 1 96 3 1 96 4 1 96 5 1 96 6 1 96 7 1 96 8 1 96 9 1 97 0 1 97 1 1 97 2 1 97 3 1 97 4 1 97 5 1 97 6 1 97 7 1 97 8 1 97 9 1 98 0 1 98 1 1 98 2 1 98 3 1 98 4 1 98 5 1 98 6 1 98 7 1 98 8 1 98 9 1 99 0 1 99 1 1 99 2 1 99 3 1 99 4 1 99 5 1 99 6 1 99 7 1 99 8 1 99 9 2 00 0 2 00 1 2 00 2 2 00 3 2 00 4 2 00 5 2 00 6 2 00 7 2 00 8 2 00 9 2 01 0 2 01 1 2 01 2 2 01 3 2 01 4 2 01 5 12cM A （ ℃ ） 気温（ ℃ ） 年 気温 12cMA 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1 ,0 2 4 .0 2 04 .8 1 13 .8 7 8. 8 6 0. 2 4 8. 8 4 1. 0 3 5. 3 3 1. 0 2 7. 7 2 5. 0 2 2. 8 2 0. 9 1 9. 3 1 8. 0 1 6. 8 1 5. 8 1 4. 8 1 4. 0 1 3. 3 1 2. 6 1 2. 0 1 1. 5 1 1. 0 1 0. 6 1 0. 1 9 .8 9.4 9.1 8.8 8.5 8.2 7.9 .77 7.5 7.3 7.1 6.9 6.7 6.5 6.4 6.2 6.1 5.9 5.8 5.7 5.5 5.4 .35 5.2 5.1 5.0 4.9 4.8 4.7 4.6 .64 4.5 4.4 4.3 4.2 4.2 4.1 .04 4.0 3.9 3.9 3.8 3.8 3.7 3.6 .63 3.5 3.5 3.4 3.4 3.4 3.3 3.3 3.2 3.2 3.2 3.1 3.1 3.0 3.0 3.0 振幅 周期（月） 8.5→
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12cMAの 時 系 列 を さ ら に 平 滑 化 す る た め ，54か 月 移 動 平 均（ 54cMA）を 行 い ，12cMAと 比 較 し た（ 時 系 列 図 ）．54cMAの 周 期 成 分 に は ，12cMAの 周 期 成 分 と 同 位 相 の 場 合 と 逆 位 相 の 場 合 が 認 め ら れ た ．例 え ば ，1979年 前 後 や 1991年 前 後 な ど は 同 位 相 で 周 期 は 10年 弱（ 約 120 か 月 弱 ） だ が ， 1995年 前 後 や 2001年 か ら 2007年 の 間 に は 逆 位 相 で 3か 年 程 度 （ 約 36か 月 ） の 周 期 が 認 め ら れ た ．ま た ，約 3か 年 程 度 の 周 期 よ り も 10年 弱 の 周 期 の ほ う が 振 幅 は 大 き い 傾 向 を 示 し た ． コ サ イ ン 関 数 の 振 幅 比 の 正 負 を 54cMAに つ い て 調 べ て み る と ， 振 幅 比 が 正 と な る 周 期 は 4.5年 以 上 と 1.6～ 2.1年 な ど で あ り ，負 と な る 周 期 は 2.4～ 4.3年 な ど で あ っ た ．こ れ ら の 周 期 は 54cMAと 12cMAの 時 系 列 の 位 相 の 違 い と ほ ぼ 一 致 し た ． 12cMAと 54cMAの 時 系 列 で は 上 昇 傾 向 が 認 め ら れ た こ と か ら ， 単 回 帰 分 析 に よ り そ れ ぞ れ の ト レ ン ド を 求 め た ．そ の 結 果 ，両 者 は わ ず か に 異 な る が ，有 効 数 字 ２ 桁 で は と も に 同 じ 値 （ 0.0023℃ /月 ） を 示 し ， こ の 86年 間 で 気 温 は 約 2.4℃ 上 昇 し た と 推 察 さ れ る ． 単 純 移 動 平 均 に つ い て 検 討 し た が ，そ の 中 身 は 必 ず し も 単 純 で は な い ．し か し ，中 身 を 熟 知 し て お け ば ， 周 期 時 系 列 の よ り 正 確 な 評 価 や 予 測 な ど が 容 易 と な る ． な お ， 本 報 告 で は ， 気 温 の 12か 月 周 期 が 明 確 で あ る た め 12か 月 移 動 平 均 を 行 っ た が ， 本 来 は 事 前 に フ ー リ エ 変 換 し て 他 の 周 期 成 分 も 把 握 し て お く こ と が 望 ま し い ． 参 考 文 献 1) 岩 波 数 学 公 式 ２ 級 数 ・ フ ー リ エ 解 析 ， 森 口 ほ か ， 岩 波 書 店 (1987) 2) 気 象 統 計 学 ， 鈴 木 栄 一 ， 地 人 書 館 (1979). 3) Excelの ﾌｰﾘｴ解 析 http://godfoot.world.coocan.jp/fourier-transform.htm 13 14 15 16 17 1 93 0 1 93 1 1 93 2 1 93 3 1 93 4 1 93 5 1 93 6 1 93 7 1 93 8 1 93 9 1 94 0 1 94 1 1 94 2 1 94 3 1 94 4 1 94 5 1 94 6 1 94 7 1 94 8 1 94 9 1 95 0 1 95 1 1 95 2 1 95 3 1 95 4 1 95 5 1 95 6 1 95 7 1 95 8 1 95 9 1 96 0 1 96 1 1 96 2 1 96 3 1 96 4 1 96 5 1 96 6 1 96 7 1 96 8 1 96 9 1 97 0 1 97 1 1 97 2 1 97 3 1 97 4 1 97 5 1 97 6 1 97 7 1 97 8 1 97 9 1 98 0 1 98 1 1 98 2 1 98 3 1 98 4 1 98 5 1 98 6 1 98 7 1 98 8 1 98 9 1 99 0 1 99 1 1 99 2 1 99 3 1 99 4 1 99 5 1 99 6 1 99 7 1 99 8 1 99 9 2 00 0 2 00 1 2 00 2 2 00 3 2 00 4 2 00 5 2 00 6 2 00 7 2 00 8 2 00 9 2 01 0 2 01 1 2 01 2 2 01 3 2 01 4 2 01 5 気温（ ℃ ） 年 12cMA 54cMA -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.04 0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 1 ,0 2 4 .0 2 04 .8 1 13 .8 7 8. 8 6 0. 2 4 8. 8 4 1. 0 3 5. 3 3 1. 0 2 7. 7 2 5. 0 2 2. 8 2 0. 9 1 9. 3 1 8. 0 1 6. 8 1 5. 8 1 4. 8 1 4. 0 1 3. 3 1 2. 6 1 2. 0 1 1. 5 1 1. 0 1 0. 6 1 0. 1 9 .8 9 .4 9 .1 8 .8 8 .5 8 .2 7 .9 7 .7 7 .5 7 .3 7 .1 6 .9 6 .7 6 .5 6 .4 6 .2 6 .1 5 .9 5 .8 5 .7 5 .5 5 .4 5 .3 5 .2 5 .1 5 .0 4 .9 4 .8 4 .7 4 .6 4 .6 4 .5 4 .4 4 .3 4 .2 4 .2 4 .1 4 .0 4 .0 3 .9 3 .9 3 .8 3 .8 3 .7 3 .6 3 .6 3 .5 3 .5 3 .4 3 .4 3 .4 3 .3 3 .3 3 .2 3 .2 3 .2 3 .1 3 .1 3 .0 3 .0 振幅比 振幅 周期（月） 振幅 振幅比
