不規則波中の係留構造物に働く長周期変動波漂流力 : 2次厳正理論の定式化および応用

1

論　 　文】 UDC ：627

．

24 ：517

．

9 日本建築学会構 造 系 論 文報告集 第 382号

・

昭和 62 年 12 月

不規則

波

_中

の

係 留 構 造 物

に

働

く

長 周

期変動 波

漂

流 力

一

₂

_次

_厳

_{正 理}

_論

_の

_定式化

_{お よ}

_び応

_用

一

正 会 員

松

　

井

　徹

　

哉

＊ 　

1．

緒 　 言 　不 規 則 波 中の係_{留 構 造 物}に は

，

波と同

一

の周期で変動 す る

1

次 波浪 外力に加えて

，

“_長周期 変動 波漂流 力” と して知ら れ る非常に 長い周期で変動す る

2

次 波 浪 外 力が 作 用す る。 こ の 2次 外 力は不規則 波に含ま れる互い に周 波 数の接 近し た

2

つ の成分波 が 非 線 形 的に：

F

_{渉す る結 果} 生 じ るもの で

，

その周 期 が比 較 的 長い係 留 構 造 物の水 平 モ

ー

ドの固有周期と

一

致して_， 浮体の大 振幅運 動 を励 起 し， 係留ライン に過 大な張 力 を発 生さ せ る可 能 性 が ある た め

，

定 量 的に は 1次 外 力に比べ _{てか な り小さ}い にもか か わ らず

，

係留式 海洋構造 物の_運動性能の_予測や係留設 計の観点か ら重要な外 力の要 因と な る。

　

長 周 期変動 波 漂 流 力が

_浮

体

一

係留ライン_系の_挙動に重 要な影 響を及ぼ すこと が指 摘さ れて以 来

，

その_{予 測 方 法} につ い て 多 く の 研 究 が な さ れ て き た。

Hsu

　and

Blenkarn3

〕_{は不規則 波を半波長 ご とに周 期お よび波高の} 異な る規 則 波の連な り と み な し， 半 波長ご とに定常 波 漂 流力を計 算し て， そ の時間的変 化か ら 長 周期 成分 を求め て 長 周 期 変 動波 漂 流 力 を 評価 し た

。Pinkster

‘）

，

Newman5

〕_は Hsu _らの_考え_方に基づ い て_{， 狭帯域 不規則} 波中に お け る長 周 期 変 動 波 漂 流 力 を 計 算し， 不 規 則 波の スペ _{ク トル分 布か ら長 周 期 変 動 波 漂 流 力}の ス ペ クトル分 布を求め る計算 式を提案し た。 これ らの研究はいずれ も 不 規 則 波が狭帯域で近 接 周波数の差が小さい と仮 定し て

，

_規則波 中での_{定常波漂流}力の知識から_長周期変動波

．

漂 流 力 を推 定しよ うとし た もの であ る。 こ の方 法は簡 便 で ある ため 現 行の設 計におい て も広く採 用さ れて い る が

，

長 周 期 変 動 波 漂 流 力 を過 小に評 価 する との実 験 結 果 も 報 告されており6）

，

そ の適 用 限 界を明 確にす る 必要 性 が指 摘さ れて いるη 。 　近年

，

ポテンシャル流れ 理論か ら導か れ る2次 波 浪 外 力の_厳正 な表 示 式に_基づ き長周期変動波 漂流力を評 価し よ う と す る試み が

Faltinsen

　and 　Lokens〕

，　Pinkster9

）

，

Standing，

　

Dacunha

　and 　

MatteniD

｝らに よって な されて 　本稿は既 発表の_文献1_）

，

2_）を骨 子と し て ま と め ら れ た もの である

。

　廓 名古屋大学　助 教授

・

工博 　 （昭 和 62 年 4 月8日原 稿 受 理1 い る

。

か れ らは波 浪の 作用 を受けて運 動する浮 体の応 答 をその_平均位置の周 りで摂動 展 開し， 瞬間 的な物 体の没 水 面に作 用 する流 体 圧 を積 分して得 ら れる流 体 力 を， 波 形こう配の

2

次のオ

ー

ダまで_厳正に評 価す ることに よっ て

，

2次 波 浪 外 力 の

一

般的な 表 示 式 を導き

，

長 周期 変動 波漂 流 力が浮体の 1 次_{運 動}や周 辺流れ場の 1 次速度ポテ ンシャル の み な らず

，2

次 速度ポテンシャル に も依存す るこ と を 明 ら かに し た

。

2次 波 浪 外 力の表 示 式に おいて， 1 次量の_積に よっ て表現さ れ る項は

1

次 ポテン シャ ル問 題に お け る既往の成果を用いて比較的容易に評価しうる が_， 2次 速 度ポ テン シ ャ ル に依 存する項を評 価す るには 2次ポ テンシャ ル問 題 を解かな けれ ば ならず

，

これ は境 界 条 件が複 雑であ るため容 易なことで はない

。

こ の困 難 を避ける た め_， 長 周 期 変 動 波 漂 流 力へ の 2次 速 度ポテ ン シャ ル の寄 与 を近似 的に評 価 する手 法 が 種々提 案 されて いる

。

た と え ば

，

Standing　et　al

．

　ioレ_はBowersi：）_{にな ら}

っ て

，

物 体の存 在に よる 2次入射 波の か く乱を無 視し

，2

次入 射 波による流 体 圧の み を物 体 表 面 上で積 分 する方法 を用い て い る。 Pinkster9｝は

2

次 回 折 波の影 響 を考 慮し てい る が

，2

次の 自 由表 面条件な ら びに物体表 面 条件に おい て 1次 回折波ポ テン シャルお よ び

1

次物体運 動を含 む項を省略す る近似化を行っ ている。 　 不 規 則 波 中の _{物 体}に働く長周 期 変 動 波 漂流力を

2

次 回 折 波の寄 与まで を含 めて厳正 に評 価した例と して は

，2

次 元 浮 体を扱っ た

Faltinsen

　and　

Loken8

｝の研 究が あ

る

。

か れ らは グリ

ー

ンの公式とハ スキン トの相 反 関 係 を 利 用す ることによっ て， 長 周 期 変 動 波 漂 流 力へ の 2次 速 度ポ テ ンシ ャ ル の寄 与 を厳 正に評 価し， New 皿an5 ，_の近 似 計 算 法が長 周 期 変 動 波 漂 流 力を予 測するうえ で の実 用 的 方 法である との結 論 を得て い る。 著 者 12）_はFaltinsen et　aL と_{同 様}の_{手 法}を_{適 用}して

，

ピン係 留 式

一

様円 筒カ ラムに働く長 周 期変動 波 漂 流モ

ー

メ ン トの陽 な 表 示 式 を 導き

，

不規則波の_{平均周 波 数}が 比較的低い場合に

_，

2次 速度ポ テン シャル が漂流 モ

ー

メン トに重要な寄 与を す る こ と を明ら かに し ている

。

　 本稿で は

，

前 報12）_{で の こ の よ う な成 果を踏えて}

_，

_不 規則波中の

3

次元任 意形状 浮体に働く長 周期 変動波漂流 力を ポテ ン シ ャ ル流れ理 論に基づい て厳 正に評 価 する手

一

₆₅

一

法 を提 案し

，

典 型的な係留 式海洋構造物に適用 してその 有 用 性 を 示 すと と も に

，

既往の_近似手法の_{適 用 限界}を 明 らかにすること を目的と し てい る。 　2

．

流 体力学的基礎式 　漂 流 力は波 面 上 昇や物体運動の_有限性に起 因する 2次 流 体 力であ り

，

これ ら の非線 形効 果を考慮し た流 体 力学 理論に基づい て評 価さ れ る 必要が あ る

。

こ の節では_， 後 の定式化に おいて必 要な流 体 力 学 的 基 礎 諸 式を文献よ り 引用 し て要 約してお く。 　

2−1

基 本 仮 定

　

波浪中の_物体に加わ る流 体 力を評 価 するに_際して_， 以 下の仮 定が導 入さ れ る。 　

i．

流 体は非 回 転 性の理想 流体で あ る

。

　

ii．

物 体は剛 体で

，

その_{運 動}は

6

自由度の _剛体モ

ー

ド

ー

_サ

ー

_ジ

_，

_{ス ウ} ェ イ

，

ヒ

ー

ブ， ロ

ー

ル， ピッチ， ヨ

ー一

に よっ て完 全に記述 さ れ る

。

　

iii

．

物 体の 平 均 位 置にお け る浮面心注 n _{は重 心と同}

一

鉛 直 線 上にある。 　2

−

2 座 標 系

　Fig．

1

に示す よ う な3種 類の座 標 系が採 用され る_{。 第} 1の座標系は空 間に固 定 され た右 手 直交座標 系

OX

、　

X

，

X

，で

，

静 水 面 上に原 点 を も ち

，

正の

OX

，軸が鉛直上向 き と な る よ う に設定さ れ る

。

第 2の座 標 系

GX

｛　

Xl

　

X

_： は物体の重心

G

に原 点 を も ち

，

物 体の運 動と と もに毎 の 原点は移 動する が

，

座 標 軸は常に

OX

、　

X ，

　

X 、

に平 行 で あ る

。

第3の座 標 系

GXI

　x ：　Xs は物体に固定され物体 の運 動 と と もに移 動 する座 標系で， その座標軸は物 体め 平 均 位 置に お い て GXI　XI　X_三に

一

致する

。

座 標 軸

GXI

X

；X…方 向の単 位ベ ク トル を ム （

k＝

1， 2， 3）， 座 標 軸

Gx

、　x、　x3 方 向の単位ベ ク トルを

i

，（

k ＝

・

1，　Z，3）に よっ て定 義 する。 物 体表面 上の

1

点は物 体 座 標 系

GXI

　x，　x3 に お け る位 置ベ ク トル x ＝ _エ羸注2［_{に よっ て} ， ま た物 体 上の面 要 素の方 向は物 体 座 標系に お け る外 向き単 位 法 線 ベ ク トル n＝ nititによっ て それ ぞ れ規定さ れ る

。

XS’ F3 x3 岡_3X3

’

θ₃ G u3 門_1Xl

’

F1 x1 吋L ムs xPu o SS ∈）1 Fig

_．

₁Systems　of　co

・

o【dinates

2

−

3 物 体の運 動 注 1＞ 静 水面に よって切り取 られ る物 体の横断 面を水線面と い いt その図 心 を浮 面 心という

。

注 2） テン ソ ル表記法の_規約に_従っ て_， 二重 指 標は総和を と るもの と す る

。

一

₆₆

一

Fig

．

2 USttOn x_｛ 1 　 　 　 　、 _Xi

，

　 Xl

Kinematic　relations 　for　a 　_point　on 　body　surface

　物 体は入射 波に応 答し て その平 均 位 置

M

°】の周りで微 小振 幅 運 動を行っ て い る

。

時 刻

t

に おける物 体 重心の 座標軸

Gx

、　x、・x3 方 向の移 動変位 ：サ

ー

_ジ

_，

_{ス ウェ イ}

_，

ヒ

ー

ブを U，（t）

，

U，（t ）

，

　

Us

（t）とし

，

座 標 軸

GXIx

，コc3 周りの回 転 変 位 ： ロ

ー

ル，ピッチ，ヨ

ー

をθ、（t ）

，

θ2（t）

，

θ，（

t

）とすれ ば

，

物 体上の 1点

P

の 瞬 間 的な位 置は， 固 定 座 標系

OX

、

XiX3

を基 準 として

，

　　　

X ＝

M

°Lx _＋

V

＋

Px

………・

・

……・

・

一 …

（1 ） に よって表さ れ る （

Fig．2

）

。

こ こに，

　　　U ＝Ukik・

・

…………・

・

・

……・

……一 …・

……・

（

2

）

P

＝ 　 COS θ2COS θ3 　 　cos θ，sin θ， 十sin θLsj 皿 θ2COS θ3 　 　sin θ，sin θs

−

_{COS θLsin θ2COS} θ3

　

一

COS θ2sin θ3

　 COS θ，COS θ，

−

_{sin θ}

，sin θ，sin θ，

　 sin θ且COS θ，

十COS θ1sin θ2sin θ3

　 　 　 　sin θ，

一

sin θ1COS θz COS θ1COS θ2 　 　 　 　　 　 　　 　

………・

・

…・

・

……・

・

……

（3 ） た だ し

，

有 限回 転 角 θ」

，

θ2， θ，はロ

ー

ル θ，， ピッチ θ，， ヨ

ー

θ，の順に回転する もの と し て定 義されて い る （付

録

1）］3） 。 　物 体の運 動を1次波浪 外 力に応 答し て生じる波 と 同

一

周波 数の 1次 運 動と

，

2次 波 浪 外 力に よっ て生 じ る2次 運 動 とに区 別して表 現す る た め に，

U

κ， θ， （

h＝

1， 2

，

3）をそ れ ぞれ波形 こ う 配に比 例する摂 動パ ラメ

ー

タε のべ き級 数に展 開し て

，

次 式の よ うに表 示する

。

　 　 　伍

＝

εσ穿十ε2［

1

響＋

…

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t−s4−・

・

・

・

・

…

　（4 ） 　 　 　θ鳶； εθ兄1十ε2θ躄〕十

…

式 （4 ）を 式 （1）

，

式 （2 ）

，

式 （3 ）に代入 し

_，

εの べ _{き乗ご と に整 理すれ}ば

，

X

は次 式の よ うに表さ れる

。

　 　 　

X

；　

xte

｝十ε

xtU

十εsズt）十 〇（εs） 　 　 　

Mi

〕 ＝

U

“ ）十θ〔1 ）× x 　　　　　　

・

・

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ） 　 　 　

Mt

〕_＝

ue

） 十

en

×x 十

u

【2 ）_x こ こ に

，

　 　 　σ帽

＝

σ

7

‘庵

，

　 7

’

＝ 1

，2 ・

・

・

…

　

一…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6a）

　　　

θm

＝

e

， ni ，，

　　

r

＝

1

，

　

2

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−t・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（6b ）

端

鵬

畷

_銭

1

漏

　 　　　 　　　 　　　

…・

・

…・

……・

…・

・

……・

…一

（6c ） 　物 体の運動に よっ て

，

固 定 座 標 系におけ る外向き単 位 法線ベ _{ク ト}ル N は 　 　　

rv＝Dn − …一 一 ・

一 ・

……・

t・

……・

・

…・

…

（

7

＞ に変 化する

。

式 （7＞に式 （3 ）

，

式 （4 ＞を代入 し

，

εのべ き乗ご とに整 理 すれば

，

N は次式の よ うに表され る

。

　 　　

N ＝

n十εlvo）十 e’_IV‘

T

’ 十 〇（ε3） 　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

一

（8） 　 　　1V〔1 ｝

＝

＝

_θo】_Xn ， 1Vl21 ＝ _θ〔2｝×n十

uc2

［_n 　2

−

4 速 度 ポテンシャ ル 　流 体の非回転 運 動 を特 徴づ ける速 度 ポテンシャ ルは次 式に よっ て定義され る

。

　 　　φ

＝

εΦω十ε〜φ〔2 レ

ー

ト

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9 ） ポ テン シャ ル 関 数 φ の展 開式の各 項は流 体 内で の連続 方 程 式

　　　

ワ2φ〔t

＝0，

　

r

＝

1， 2，

… ……一 一 ……

（10 ） 底 面 条 件

，X3

＝

−

h注 3，で

　　

　

器

一 _・

，

r

−

1

，

_・

，…・

…………・

一・

…・

…

_（11） 自 由表 面における運 動 学 的 条 件および 圧力 条 件

，

物 体 表 面 条 件な ら びに無 限 遠 方にお ける放 射 条 件を満 足しな け れ ばならない。 　時 刻 tにおける瞬 間 的な波 面上昇が

Xe＝

ζ（

Xi，

　

X

_，

，

t）に よっ て表さ れ る とすると_， X，

・

＝

ζにおけ る運 動 学 的 条件お よ び圧 力 条 件は次 式に よっ て与え ら れる 14， 。

　

　

　

・φ

・

・_ζ

一

謡

傷

一

・

…………一 ・

・

…

〔12・_）

　

　

　

・ζ・

讐

・

券

1

・ ・

1

・ 一 ・

・

……・

……・

・

……

（・

2b

） 式 （12a

，

　

b

）か ら_ζを消去す る と

，

次 式が得ら れ る

。

　 　 　 ∂2_φ 　 　 　 ∂Φ 　 　 　 ∂Φ

　　　

万

7

＋9 菰 ＋2ワΦ

’

7 蕊

　　　　　

・

壱

・・

t

・（7 Φ

・

・ φ）

一

・

・

一 ・

一 …

（12・_） 式 （12c ）に_{式 （9 ）}を代入 し_，　X3

＝

_ζに おける φ の 微分を

Xsニ0

の周 り で テ

ー

ラ展 開して表 現すれ ば」 平 均 水 面

X3

＝ 0で φ の展 開 式の最 初の 2項が満 足 すべ き 条件が次式の よ うに_導かれ る

。

　

　

　囃

・・

器

｝

一

・

一 一 ・

一

_・

・

…一

（13・_）

雑

・ ・

書

爰

；

L

一

毳

1

・φ・

1

・

噎署

義

（

∂∂2φ

t

・ロ〕　　＋9 ∂_∂

en

x

〕 ，

）

・

一

_（・3b） 注3） 水 深 hは

一

定であ る と仮定している

。

同様の_操作を式 （

12b

）につ いて行 う と， 波 面 上 昇 ζの 展 開 式が

X

、

＝

0に お け る φ の微 分 を用い て

，

次 式の よ うに表現さ れる

。

　　 　ζ＝ e_ζm＋ε2_ζ［：，＋

・

・

…

　

一

一

・

一・

・

一

一

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−s

（14_） こ こ に_，

　

　

　

劉

一

諤 罫

1

_為． _。

………・

・

…・

……・

_（15・）

　

　　

岬

一一

去

（

響

・

ム

i

ワΦ例・

　

　　

　

　

・_ζ・

鑑

）

X、一 。

・

一 …・

…・

……

_（・5b ） 　瞬 間 的な物 体 表 面

S

にお け る境 界 条件は次 式に よっ て表され る

。

　

　　

ワ Φ

・

N −

｛

｝

w

・

一 ……・

・

…・

・

…・

…………

（16 ） 式 （16 ）を平 均位置にお け る条件に表現し直す た めに

，

物 体表 面 上の

1

点の瞬間位置に お け る Φ を平 均 位 置の 周 りで テ

ー

ラ展 開して

，

次式の よ うに表 現す る。 　　 　Φ（

x ，

t

）

＝

φ（ズm

_，

　t_｝十［（

x −

− o， ）

・

7 ］φ（

xtO

）

_，

_t ） 　　 　　　 　　 十

…

　

・

・

……・

…一 ・

…一 …一 …・

（17） 式 （

5

）

，

式 （8 ）

，

式 （

9

）

，

式 （17）を 式 （16）に代 入 し， ε のべ き乗ご とに整理 すれば， 平 均位置における 物 体 表 面 条 件が次 式の よ う に表現さ れ る

。

　 　 　 　∂xti） 　 　 　7 φ【1〕

・

_n

＝

　　 　　　 　　 　　　

・

n

S

。上で

…・

・

……

（18a ） 　 　 　 ∂

t

　　

　

ワφ・

・

_{n −}

一

［〔

M

・）

・

_・ ）

・

ワΦ・ コ

・

n＋

（

馨

〕

　

　

　

　

　

　

　

　

一

_{・ が}

）

・

（

ell

× n＞＋

（

∂

Uf2

〕 ∂

t　

x

）

・

・ 　 　 　 　∂湿21 　 　 　

・

n　 　

S

。上で

……・

・

（18b ） 　 　 　 十 　 　 　 ∂t 　

l

次 速度ポ テンシ ャル

di

（1 ）_は

_，

通 例によれ ば

，

入 射 波 ポテン シャル Φり〕

，

回 折 波ポ テン シ ャ ル φ男1お よ び物 体 の 1次運動に よっ て生 じ る発 散 波ポテ ンシ ャ ル 鍔 の和 と し て表現さ れ る。 　 　　φ〔u_{畜 φ}  匚工 十φ器， 十 Φ巽 

・

…



一・

・

…



一…



一

・

・

・

・

…



r・

…

 （19） 入 射 波 ポ テンシャル は 既 知で ある か ら

，

問 題は次の物 体 表 面 条 件 を満足 す る 回折波ポ テン シャル お よ び発 散 波ポ テンシ ャルの解に帰 着さ れ る。 　 　　ワ φ

Bl

・

n；

一

ワdiy，

・

n ：　 　回 折_問題

…

（

20

　a_）

　　

　

・ φ量・

・

n

一

霧

L

・ ・ 嫐 黼

一 ・

・

（・・

b

） 　 2次 速 度 ポテ ンシャル Φt2） も

，

式 （

19

＞に対 応 して

，

次の

3

成分の和と して表 現さ れ る。

　　　di

（”

＝

_Φ 望， 十Φ蜜十φ賃1

・

…・

………・

・

……

（21 ） 第 1項 φ

P

は入 射 波に の み依 存する ポテンシャルで あ り， 非 斉 次 自由 表 面 条件

　

　

　

∂

雜

・_・

票

一一

妾

1

剛

・

　

　

　

　

　

・

謬

i

義

（

∂

1

笋

_{・ ・}

課

）

　 　 　 　

−

67

一

　 　　 　 　 　　 　 　

X3；0

で

………・

・

…・

………

（22） を満 足 する特 解であ る。 第 2項 Φ寰 1_{は物体と 入射波との} 干 渉に よっ て生 じ る ポ テンシャ ル で あ り

．

非 斉次 自由表 面 条 件

　　

　讐

＋ ・

票

尋

Xs−

・ で

…・

一

_（23 ） お よ び物 体 表 面 条 件 　 　　ワ φ宕1

・

n

；一

ワ φ_『〕

・

n 十Bt2）

S

。上で

…

（

24

） を満 足 する解と して得ら れ る

。

こ こ に

，

　

　

　

A・！_一 ∂

1

野

一

_・

票

一

_磊

₁

・・・…

11

　

　

　

　

　

　

　

　

・

吉署

義

（

∂ Zdi（1， 　　∂φtl， ∂

t

・ ＋9 ∂

x

。

）

　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

4−一・

・

・

・

・

・

…

　（

25

） 　 　　

B

（：）

＝一

［（

xt

，レ

・

₇ ）

・

ワ

di

“ ） ］

’

n

　　

　　　

＋

（

讐

L

・φ・

）

・

（σ・_×n ）・

（

署

・

）

・

n 　 　　 　 　 　　 　 　

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（26 ） であ る。 第

3

項 φ貿は物 体の静 水 中にお け る

2

次運 動に よっ て生じ る 発散 波 ポテン シャ ル であ る。 この ポテン シャル は1次発 散 波 ポテン シャルと 類 似の境 界 条 件 を満 足す る の で_， そ の解 を得る の に_特別の困難は生 じ ない

。

　2

−

5　 流 体 力 　速度ポテンシャル Φ が 固定 座 標 系

OX

，　

X

，

Xs

に おいて 定ま れば

，

流体内の 1点に作 用する圧 力 p はベ ル ヌ

ー

イ式

　　

　

・一

一

_・

（

_・

Xs

・

讐

・

去

i

・φ

t

・

）

…・

・

一 一

（・・） によっ て与え ら れ る

．

こ こに

，

p は流体 密度

，

　g は重 力 加 速 度で あ る。 式 （27） 中の Φの微 分は物 体の 瞬 間 位 置におい て評 価 され る

。

式 （5）， 式 （

9

）

，

式 （

17

｝ を 用い れば

，

物 体の瞬 間 位 置に作 用 する 圧力は

，

平 均 位 置 に おける φ の微 分を用い て

，

次 式の よ うに表さ れ る。 　 　　ρ

三

P〔の十εP〔、）十ε2P   十 〇（ε3）

・

・

『

¶

・

・

・

…

　

喞

・

・

・

・

・

・

…

　（28 ） こ こに

，

　　

　

・t・一 ρ鱗 ・・一 pgx9・）

一

・

響

　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（29a

，

　

b

）

　　

　

P… 一

一

毒

p　

1

　v 　

di

（ulz

−

_・

（

　　　　　∂φII｝ ズコ〕

・

_ワ 　　　 　　 ∂t

）

　　

　　　

一

_・

_響

一

_・gX ・ ；・

…………・

…・

・

……

（29・） 　 物 体に作 用 する流 体 合 力は

，

固 定 座 標 系

OX

、

X

，

X

，に おい て

　

　　

F ＝

＝

−

ff

．pNdS

…・

…………・

…・

……・

……

_（30） に よっ て表さ れ る

。

こ こ に

，

積分域は物 体の 瞬 間 位 置に お け る没 水 面

S

で あ る

。

S

は物体の_{平 均 位 置}にお け る 没水面

S

。と， 平均 水線 面か ら瞬間 的な波 面ま での変動 没 水 面

AS

とに区 分さ れ る （

Fig．

1）

。

　AS に作 用 する流

一

₆₈

一

体 合 力は

AS

上の面 要素を

dS ＝

＝

dX

，

dC

．．で近 似し

，

式 （

28

）， 式 （29 ）で与え ら れ る 圧力と 式 （

8

）で与え ら れ る法 線ベ _{ク ト}ル を代 入し

，

さ らに_{水 面 上}で は式 （15a ） が 成り立つ こ とを考 慮 すれ ば

，

次式の よ う に表さ れ る

。

　　

輪 一

一

∬

瓢

（

−

pgXs＋ ・9・

9

・’

bndX3dC

−L 　 　 　　 　十〇（ε3）

…・

…………一 ………一 …・

…

（31） こ こに

，C

肌 は物 体と静 水 面 との交 線で定 義さ れ る水 線 を

，

X翫 は

CWL

上の 1点の 1次 鉛 直 変 位を表す

。

式 （31 ） の

X

，方向の積分を評価すれば， 次式が導かれる。

　　　

F

・S−

一

圭

・ Zpgf ，

．

　

YRL

）’ ndCwL ＋ ・（・3＞

・

・

…一

（3・） こ こに

，

ζ

W

は

1

次相 対波 面 上 昇 を表し， 平 均 水 面か ら の波 面上昇と物 体の鉛 直 変 位との 差に よっ て定 義され る。 　 　 　ζ呈〕

；

_ζa）

− Xsill

，

・

喞

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（33） 平均 没 水 面

SD

に作 用す る流 体 合力 は 式 （28 ）

，

式 （29） お よび式 （8） を 代 入 して ε の べ き乗ご とに整理 し， さ らにガ ウス の発散 定理 お よびニ ュ

ー

トン の運 動 法 則 を 用い る こ とに よっ て評 価さ れ る

。

物 体に作用 する全 流 体 力は

，

これに_{式 （}32 ）を加え_合わ せ る こ と によっ て

，

次 式の よ う に表 示さ れ るコ3｝

_。

　 　 　

F ＝F

〔°1_＋ ε

F

（’）＋ε2F 〔21÷

0

（ε s ）

…・

…………・

（34） こ こ に

，

　 　 　FCOI

＝

ρ9　

VI

，

・

・

t・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

…

　

一・

一

…

　

一

（35）

　　　

F“_』 ・

∫

4

署

・

dS −

・94 胛 碑ム

・

t・

……・

（

36

）

　

　

　

FU

」

一

者

_・・

宏

ζ饗 

dC

肌 ・・

ff

、

。

（

響

　　　

　　

・

圭

1

ワφ・

1

・ ＋

x

・U

・

₇

讐

時

）

・

dS

　　　　　

十 θ匚且レ_× （mtim ）

一

ρgAwpugz ｝

_ls・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（37） で

，

V は物 体の排 水体 積を

，

　 A

．

．

は水 線 面 積 を

，

　 m は 質 量 を

，

uc

’）_は 物 体重心の

1

_次加速度ベ _{ク ト}ル を表 す。 Ftm は静 水 中での浮力 に，　

F

〔1〕 ，　

Ft2

）_は それ ぞれ 1次お よ び2 次の_変動 流体力に相 当す る

。

速 度ポテン シャ ル を式 （19 ＞

，

式 （

21

）の ごと く 分解すれ ば， Ft ，） ，　FU 〕 は そ れ ぞ れ波浪強制力

F

［

W

） ，

Fti

） お よび各 次の物 体 運 動に よ る 流体反力

F

胃

，F

響の項に分 離 されて

，

次 式の ように表 示さ れ る。 　 　 　 F 〔n

＝F

〔 ρ十

F

曽

，

　 　 r＝ 1 ， 2

………

（38） こ こ に_， ・

珂

五

（

1

／

？

e

‘’ ＋ …

饗

〕

）

・・…

…・

………

（39 ）

F

・

x

’_一 　

−

S

・・

五

ζ呈 

dC

・ ＋ ・

ff

、

。

（

響

　　

＋

響

＋

壱

17

φ・”

1

・ ＋

M

・1

・

₇

響

）

・

dS

　　

＋θ田_× （mO1 ） ｝

…・

…・

……・

一 ・

・

…・

…・

・

（40＞

　

　

　

鯉

イ

惹

響

・

dS

−

PgA ・ ・

ut

・ ・s

・

　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 r＝

1，

　

2 −・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（41） 　物体重心

G

の 周 り に作用 す る流体力の モ

ー

メ ン トは 次式に ょっ て表さ れ る

。

　　　

M −

一

_・

ル

（x

’

・N）dS

−

・

一 ……一

（・・） こ こ に

，

X

’

・

＝

X −

U は座 標 系

GX

｛鴻 鵡 における

S

上 の 1点の位 置ベ ク トルを表す

。

流 体 力の場 合と類 似の誘 導に よっ て_，モ

ー

メ ン トの表 示 式は次 式の ように なる 13〕 。 　 　 　

M

＝ _ε

Mtl

）十_ε2Mt ）十 〇（_ε3｝

・

・

・

・

・

…

　

「

・

・

一一・

・

…

　

一

…

　（43） ここ に

_，

　 　 　1曜国 ＝

1

_翩厂【む_十〃

7

，

　　　　　_γ； 1

，

　

2 ・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（44＞

　　　

MW −

・

憩

∂

罪

・

響

）

_噛

〉・

S ・

・

一

圃

　　　

雌

一

圭

・

9

五

ζ鮮 （x ×・）dC ・ ・

　　　

　　

・

礁

（

響

・

響

・

ム

1

・_群

　　　

　　

・ガ …

署

）

（x × n）dS ・

e

・） ・_（」

働

　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（46 ）

　　　

Mlan

−．

ρ

丿

厂

J9

．

∂

…

野

］

_{（x × n）〔}

_ls

　　　

　　

・ ・

9

∫

五

（・撫 ・

t

”

一

… 劉

x

・×・）

ds

　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 r

；

1

，

2

………

（47 ） で

，

1

は慣 性モ

ー

メ ン トテン ソ ル を

，

b

｛’， は物体の 1次 回 転 加 速 度ベ ク トル を表す。 　

3．

長 周 期 変 動 波 漂 流 力の

2

次伝達関数 　不 規 則 波が周波数 ω‘ （

i

＝

1，2，…，N

＞の規則波か ら成る規 則 波 群に よっ て近 似でき るものと す る と， 瞬間 的な波 面上昇は次式に よっ て表さ れ る

。

　　　

ζ嚇 ・

｛

象

益ε

一

囲

・

…・

・

………・

…・

・

（

48

） こ こ に

，

ζ‘は ランダムな位 相 を 含む複 素 振 幅で ある

。

　

1

次波浪 外力は波振 幅に比例し， 波 と同

一

_{の周 波 数 成} 分を もつ _。 これ ら は線形の伝 達関数 を用いて次 式の よ う に表 示さ れ る

。

　　　

・・卍ω一 ・_・

臨

_∫・

v

（・1）　e

−

・Wl ・

｝

・

………

（・・） 対 応す る

2

次 波 浪 外 力は2次 伝 達 関 数 を用い て次式の よ うに表 示さ れ る （付 録2）。

　　　

F

・

s

， （t）−

R

_・

1

鵡

幽

_∫・_訓 妬 ω ・

一

ゆ 一 ・

　　　　　　

・彑ζナ／・ 楓 ω ・）・

一

・・

囲 ｝

…・

・

〔・・） こ こ に

，

＊は複素 共役を示す。 式 （50 ）は 2次 波 浪 外 力 が波 振 幅の

2

乗に 比例し， 規 則波群 中の各 成分波の周 波 数の和お よび差に_等しい 周波 数 成分 を有す るもの である ことを示 して い る。 係 留構造物の水平モ

ー

ド （サ

ー

ジ， ス ウェ イ

，

ヨ

ー

〉の固有 振 動 数は主 要な波の振 動 数に比 べ てか な り低く な るのが通 例であ る。 そ れ ゆ え

，

浮 体の 慣性効果に よっ て波と同

一

周 波 数で変 動する 1次 運 動は 制 限さ れ

，

ま た周 波 数 和で変 動す る2次 波浪外 力の高 周 波 成 分に よっ て有 意な応 答は生 じ ない。

一

方

，

周 波 数 差 で変動す る長 周 期 成 分は

，

長 周 期 変 動 波 漂 流 力と し て知 ち れて い る もの で

，

そ の周 波 数 差が係 留 構 造 物の 水平 モ

ー

ドの 固有 振 動 数 と

一

致して浮 体の共 振 運 動 を励 起す る可 能 性が あ り

，

応 答 を支 配する重 要な外 力の要因 と な る

。

以 下で は_， こ の長周期成 分に のみ対象を限定す るこ とと し， 式 （

50

＞を 次 式の ように簡 略 化 して表 現 し て お く

。

　

　　

F・

a

’ （・）−

Re

｛

静

_{ζナ∫留（t・}

・

，

_{− tU} 」）・

一

一

｝

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（51＞ こ こ に

，

_∫1訳ω_‘， ω_」）は長周期 変 動波漂 流力の 2次 伝 達 関 数である

。

_／1訊ω‘， ωJ＞と／〔訳幼

，

eVt）と は共に同

一

周波数

1

ω‘

一

ω j1 の成分に寄 与す るの で

，

これ ら

’

を 次の 対 称 条 件を満 足する よ うに定め て も

一

般性は_失わ れ な い。

　　　

ノエ

S

）（tU‘

，

ω∫）

＝

∫留 串 （ω_丿 ， ω‘）

……・

………・

・

……

（52）

　

2次 伝 達 関 数∫CS， （　Wi

，

ω j）を主要な波 周波数 域にわ たっ て評 価 するには

，

か な りの計算労 力を必 要と す る。 こ の 困 難 を避 ける ために_， New 皿ansl は_{規 則 波 中}で の定 常 波 漂 流 力の 2次 伝 達 関 数 を 用い て長 周 期 変 動 波 漂 流 力を推 定 する次の近 似 式を提 案 して い る

。

　

　

　

・糊 一 ・_・

｛

酔

_ζ

蝋

碗

吉

劬

，

劬

吉

劬

）

　

　　　　

　

e

−

…

一

・・J ・・

］

・

一

∴

…・

…一 …一 …

_（

₅₃

_＞ 式 （

51

）と式 （

53

）の 比較が後に論じ ら れ る。 　

4．

長周 期 変 動波 漂 流力の評価 　 2

−

4 節で定義され たポテン シャルの_境界値問題 を解い て

1

次お よび

2

次の速度ポテンシャルの解が得ら れ た な らば

，

長 周期変 動波 漂 流力 お よ びモ

ー

メ ン トは そ れ ら を 式（40）

，

式 （46 ）で与え ら れ る2次 波 浪 強 制 力お よ びモ

ー

メ ン トの表示 式に_代入 す ること に よっ て評 価さ れ る

。

以 下で は

，

便 宜 上， これ ら の表 示 式を1次速 度ポテ ン シ ャ ル な らび に 1次 物 体 運 動の 積に よっ て表 現 さ れる項 F〔 論

，

砂

3

，と

．

，

2次 速 度ポテ ンシャ ル に依 存 する項 F跳

，

MCW，とに区 分し て

，

次 式の ように表 記す ることに す る。 　　 　

F

〔

S

）

＝17

留厚十

Fts

’ ．

，

　〃留

＝

丿閉「 〔 卍」

一

トノ歴詔πヂ

・

…

　

tt・

・

（54 ） 　

4−11

次ポ テン シャル問題 　物 体 が 式 （48）で 与 え ら れ る 規 則 波 群 中に あ る 場 合， 物体の 1 次運動お よび1 次速度ポテンシャ ル は次の_形に 表 示さ れ る

。

　　　

型 ｝ ω一

Re

｛

象

・｝・・

剄

一・

………・

…

（55）

　

　　

d

・・’ ｛

t

＞

−

Re

｛

毒

φり・

’

叫

………一 ……・

・

（・

6

）

一

₆₉

一

複素ポテンシャ ル φ

7

〕は

，

式 （

19

）に対応して

．

次の

3

成分の和 と し て表現 さ れ る

。

　　 　φ

2i

卜_．． 　

iPSi2

十_φ琶｝十_φ賢｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

_（57_） また は 　　 　

iPli

，_{． ．} φ〜￥十_φ

1

_蔓こ こ

1

こ

，

_φ魑｝； _φ蟹

i

_十φ巽

i

・

・

・

・

…

　（58 ＞ 入射 波ポテン シ ャ ル φ

1

？は_{既 知}で

，

次 式によっ て与え ら れ る

。

　

　

　

・

v

・

t

− 一

響

c°

…

畿

差

九

1

・一 一 … 　　 　 　　 　 　 　　

s−・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（

59

） こ こ に

，

k

‘は波 数 を

，

　 a は入 射 波の 伝 播 方 向が

OXI

軸 となす角 度 を表す

。

h，は周 波 数 ω‘と次の逸 散 方 程 式に よっ て関 係づけら れる。 　 　 　ω

1

／g

＝hitanh

　

h

_‘

h ……・

…



…・

…・

…



………・

_（60_） 回折 波ポテ ン シャル φ

B

｝お よ び発 散 波 ポテ ン シ ャ ル φ毘 は次の_{連 続 方 程 式}および境 界 条 件 を 満 足 しなけれ ばな ら ない

。

　　 　ワ2_φ鴇

1

＝ 0

，

_ワ2 φ艮

1

＝

0　 流 体 内で

………

（61a ） ・

豁

一

・

1

_φ

B

｝

一

・ ・

諜

一

・：

i

・

ki

｝

一

・

Xs＝

0で

・

一 一

（61　

b

）

　

　

諜

一 ・

畷

LU

−

− h

で

………

（… ）

　　　

ワ_φ

3

匝

；一

ワ鋤 ”

S

。上で

…．

＿

：（6、

d

） 　 　 　ワ_φ恥 π＝ づ _{ω ‘π？}1

・

_π φ

bl

お よ び φ賢｝は さ らに無 限 遠 方における放 射 条 件を満 足 しなけれ ば な ら ない。 　φ

3

｝お よ び φ鴇の境界値問題の _解は 既往の方 法に よっ て得ること がで き る。 回 折 波ポ テンシ ャル ¢

Sl

の解は 既 知の入射 波ポ テンシャ ル

illi2

と組み合わ さ れ て

1

次 波 浪 強 制 力およびモ

ー

メ ン トを与え る。

一

方

，

発散波 ポテン シャ ル _錫 からは物 体の各モ

ー

ドの 単 位 振 幅 運 動に よ る 流 体 反 力 係 数 （付 加 質 量

，

付 加 減 衰）が得られ る。 波浪 強 制 力， モ

ー

メ ン トお よび流 体 反 力 係 数が得ら れ れば

，

そ れ ら を運 動 方 程 式に代入 す ること に よっ て流 体の 1次 運動が決定さ れ

，

さ ら に式 （

15a

）お よび 式 （33） を用 いるこ とに よっ て 1次 相 対 波 面 上昇が求め ら れ る

。

こ れ ら の

1

次量 は すべ _て波と同

一

の周 波 数 成 分 を も ち

，

ポテ ン シャル と同 様

，

次の形に表 示 され るe σ・ ω一

R

_・

1

鶏

_・？・_・

一

娜

｝

θ・1 ω

一

R・

｛

盞

θ

91

・

囲

ζ聾， ω一 _・・

｛

象

・舞｝e・ …

｝

…・

・

………・

・

_{（62 ＞} 式 （

55

）

，

式 （

56

）

，

式 （

62

）を式 （

40

＞に代 入 し， 付 録 Zに示す関 係式 を 用いれ ば

，

長 周期 変動波漂 流 力の

1

次 量の積に よっ て表 現さ れ る項は次 式の よ う に表示さ れ

一

₇₀

一

る。

　　　

・71s…

＝Re

｛

蝦

一

瓢

  ・蹴 ）・

dC

・ ＋

9

　　　　

　

ff

、

。

（

者

・φ？］

tvipv

）・_＋ 届 ・_・ φ

9i

寧

）

ndS

　　　　

　

・

孳

曜

w

］

e

−

O…

−

w・・t

］

………・

（・・_） 類 似の表 示 式が波 漂 流モ

ー

メ ン トに対して も書き下さ れ る

。

　

4−2

　2次 ポテン シャ ル問 題

　

式 （40）， 式 （46）か ら明らか な よ うに

，

2次速度 ポ テン シャ ル の長 周 期 変 動 波 漂 流 力およびモ

ー

メ ン トへ の 寄 与 を 評 価 する ために は

，

2次 入 射 波ポ テン シャル Φ『｝ およ び 2次 回折 波ポテ ン シ ャ ル dib2，を 知 る必要が あ る

。

　 自 由 表 面 条 件 （22） を 満 足 する2次入 射 波ポ テンシャ ル は

，

高 周 波 項を除 外 すれ ば

，

次 式に よっ て与え ら れ る］1｝

_。

　　　

・

t

・・ （・）−

Re

｛

舗

_φ鴇_・

−

a

・

・

’

… ’t

｝

・・‘Mt

…・

（64 ） こ こ に_， 　 　　 ∫

₉

_藍ζナ φ％

＝一

・・一

［

　 　 　 十

ωtcosh2hth 　 ωJcosh2kjh 　　ω ttOJ

　 　 　 cosh 　

k

_（X_婁十

h

）

4d ・・

c。shEh

　 　 elM「icos α

＋

x

：

Sinot

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（65 ）

ki

　 　 　　 　 鰐 　　 　

2

石馬κ丿

　

　　　

　

（1＋ ・anhh ・

h

・ta・

h

艸

励 ・

一

万ta・

hl

・） 　 　 　

・

・

…

　

噛

9・

・

…

　

凾

曁

・

・

・

…

　（66） で

，

k

‘

，

島 は そ れ ぞ れ ωt

，

ω 」に対 応す る波 数 を示し

，

　　 　

h＝h

‘

− k

∫

，

　石｝＝ ω‘

一

ω∫

…………・

……・

・

…・

_（67） で ある。 式 （64 ）の最 終 項の定数 x （2 ）_は 入射 波の平 均 水 面が

X

，

；O

に

一

致す る条件

，

す な わち式 （15）で与え られ る波 面上昇 ζの_各展 開 項が振 動 成分の みと なる （定 常 成 分が0と な る）条 件か ら定め られ る_。

　

　

　

遭

一一

・

榔

_・

r

。

識

、

｝

・

・

…・

…

_（・

₈

_） こ の_最終項か ら得ら れ る ∂Φ野∂

t

＝・xエa〕 を式 （40｝

，

式（46 ） に代 入し

，

物 体の_{平均没水面}に わたっ て積 分すれば_， 次 式が得 られ る。 　　 　

Fla

］ n＝ _ρ

A

　wpxl2 ，

13，

　

Mlk

）n＝

0 …

　

一

一

…

　

一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（69｝ 式 （69 ）は式 （

64

）の_{最 終 項}が上下方 向の定 常 波 漂 流 力 に の み寄 与す ること を示し てい る。

　

2次 回折 波 ポ

it

’

ンシ ャ ル は

，

式 （64 ）に対 応 して

，

次 式の よ うに表 示さ れ る。

　

　　

卿

一R

・

｛

齲

φ雪

1

’・ 蜘 耀

｝

………・

・

…

（

7

・） 式 （

55

）

，

式 （56 ）， 式 （58 ）お よび式 （64 ）， 式 （70） を式 （10 ）

，

式 （

11

）

，

式 （

23

）

一

式 （26 ）に代 入し， 付 録 2に示す 関 係 式を用いれ ば

，

φ嬲 が 満 足 すべ _{き連 続 条} 件お よび境 界 条 件が次 式の よ うに書き下さ れ る。

　 　 　ワ2φ點

＝0

　　　 　　 　 流体 内で

・

・

……・

（

71a

）

　

　

・

響

一

礑

一

・

i

’）

X

・

一

・ で

…・

・

…・

（

71b

） 　 　 　∂φ蜜1‘∫ 　 　 　 　　

＝

O 　 　 　 X，

＝− h

で

………

（71c ） 　 　 　 ∂

x

， 　 　 　▽_φ皆し

・

n

＝一

ワ_φ覧

・

n＋_β留 　 　 　 　

S

。上で

………

（71d ） こ こ に，

　　

・

1

’」

一

撃

（・_φ

s

’

2

・

・_φ量狩・

叫

7φ男＊ ＋ ・_φ盟

　

　

　

　

　

・

・_φ量狩）

一

岩

［

_φ

職

（

_・

響

一

・

1

φ騨

）

　

　

　

　

　

・φ掻｝ 、

灸

（

・

響

一

_・

瑚

　　　　

　

・_φ

礁

（

_・

響

一

瑚

］

…・

一

（71・）

　　　

β留

一一

去

［（x7 ・

・

_ワ ）

・

・

ilY

” ］

・

n

一

蹇

蝋 ・

　　　　　

＋ _畍 ）

・

（θ_ワ1＊ × n）＋

撃

（媚π）¶ 　 　 　

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”

呷

’

鹽

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”

（71f） で

，

式 （

71f

）の最 終 項の _嬲 は次 式に よっ て与えられ る。

州

攤 髴

葬

：

　

　

　

　

　

　

　

！

_髴

編 講

_囎

］

　 　 　 　　 　 　　 　 　

…・

…・

一 一 …tt・

…・

……

∵（72） φ覧は さ ら に無 限遠 方に お け る放 射 条 件 を満 足し な けれ ば な ら ない

。

　式 （

71

）で与え ら れ る境界値問題を解い て 2次 速 度ポ テン シャル の完 全 解 を得る こ と は容 易な ことで は な い。 この 困 難 を 避 けて

，Lighthill15

｝は規 則 波 中の固定物 体 に働く 2次 波 浪 強 制 力を算 定す るに際して

，

グリ

ー

ンの 公式とハ スキン トの相 反 関係 を利 用 するこ とに よっ て

，

物 体 表 面 上の 2次 速 度ポ テンシャ ル の分布を求め ること な く， 2次 速 度ポテ ン シ ャ ル の 2次 波 浪 強 制 力へ の寄与 を評価す る方 法 を 提 案 して い る。 こ こで は

，

Lighthill の方 法 を拡 張して_， 不 規 則 波 中の浮 体に働く長 周 期 変 動 波 漂 流 力の 2次 速 度 ポテン シャルに依 存する項を評 価 す ること に す る

。

　澱 方向に_働く長周期 変動 波 漂 流 力の 2次 速 度 ポテン シャ ル に依 存す る 項 は， 式 （

40

）に式 （64）

，

式 （70） を代入 して

，

次 式の よ うに表され る

。

　　　

臨 …

−

F・＋F・

…

pfJf

，

（

響

1 ＋

響

）

n・

dS

　　　

−

_R・

｛

齲

［

一

呵

惹

（φ

v

’

z

＋φ窶｝・）n・・

dS

］・

’

tW ’

1

　 　 　

…

　

噛

曁

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一一・

・

・

・

・

・

…

　（73）

　　　

た だ し

，

式 （

64

）の最 終 項の寄 与は省 略さ れて い る。 φ點の_{寄 与}

E

は式 （65）を代入 する ことに よっ て容 易 に 評 価 さ れ る。 φ嬲 の 寄 与 F， を評 価す るた め に

，

Lighthillに ならっ て

，

物 体が x．方 向に

．

周 波 数thの単 位 振 幅 調 和運動を行っ た場 合の発 散 波ポテ ン シ ャ ル 　 　　 7k

＝Re

｛ψte

■

tWtl

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（74） を利 用する

。

_ψ魔は次の方 程 式 を 満足 する

。

ワ2_ψk＝ O ・

畿

一

礁 一 _・ ∂_ψ斥

alt

＝0

ワ_IOk

’

n

＝

nk 流 体 内で

………

（75　a）

X3

＝ 0_で

・

・

……・

（75b ） X3

；一

んで

・

…・

・

…

（75c ） 　

S

。上 で

………

（75d ） 式 （75d ）を用い る と

，

　 Fpは_{次 式}の ように書か れ る。

　　

凡 一 R_・

｛

顛

［

一

_緬

ル

跏_・ψ ・

・

n）・・

］

e

−

1 　…

｝

　 　 　　 　 　 　　 　

…………・

…・

…・

………

（76 ） グ リ

ー

ンの公 式よ り

　　　

∫

_惹

φ宕｝・（肱

・

n）

dS

　　　

　　

一

_伽

_{（囎 ・）}

_dS

・

∫

息

s

“

　　　　　　

［ψκ（7 φ蜜｝ズ n）

一

φ蟹し（ワψ髭

・

n＞］

dS

　 　 　　 　 　　 　 　

・

………・

…・

…・

…一 …・

（77 ） こ こ に_，

S。

。

は物 体 を 囲む半 径 R の仮想円筒 面を

，

　

SF，

S

。 は そ れ ぞ れ

S

．

で囲 まれた 自 由 表 面および底 面の部 分 を示す

。

式 （71d ）によ り

，

式 （77）の右 辺 第 1 項は

　　　

ル

・（・卿 ・）・・

　　　

　　

一

_伽

_［

一

_{（・伽 隅 ］}

_{dS ・}

・

……

_（78） と なる

。

式 （71b ）

，

式 （75　

b

）を用い る と

，

自 由 表 面 上の積 分は

　　　　　　　 广

　　　

∫

惹

　 　 　　 　［ψκ（ワφ岩

b

・

π〕

一

φ蟹｝丿（7ψκ

・

n｝］

dS

　

　

　

　

　

　

− 一

∫

五

謬

・・

…………・

・

………

（・

9

_） と

_晉

か れ る。 式 （

71c

）

，

式 （

75

　c）に よ り，　

SB

上の積 分は 0と な る。 さ ら に放 射条件に よ り

S．

上の積 分は

R

−・

QO の と き 0と な ること が わ か る

。

　以 上の結 果 を まと め れ ば

，

長 周 期 変 動 波 漂 流力の 2次 速 度 ポテンシャ ル に依 存 する項は最終 的に次式の よ う に 表 示され る

。

　　　

F・

Wn

−

・・

［

象か

（w・

一

… ｝

｛

ff

．

，

一

_［φ鴇・ ・ 　 　 　　 　 　

一

ψ配（7φ粘

・

n）ヨ

ー

ψ認響］dS

　　　

　　　

・

去κ

_醐 dS

｝

・

一

繊

一

螺

］

・・

　　　　　　

＋ ρ

A

曜px｛z）

13・

………・

……一 …・

……・

・

（

80

＞ ψκの代わ りに物 体が単 位振 幅 回 転 運 動 を行っ た場 合の 　 　 　

一 71 一

発 散 波 ポテン シャル を用い れば

，

波 漂 流モ

ー

メ ン トに対 し ても類 似の表 示 式が導か れ る

。

　式 （80 ）は1次速 度 ポテンシャ ルお よ び

1

次物体運 動 の解が得ら れ た な ら ば

，

長 周 期 変 動 波 漂流力へ の 2次 速 度ポテ ン シ ャ ル の寄 与が厳 正に評価されう ること を示す もの である。 　4

−

3 近 似 化 　式 （80）に基づい て長周 期 変 動 波 漂 流 力へ の 2次 速 度 ポテンシャ ル の寄与を評 価す る ためには

，

自由 表 面 上の 無限積分を計算す る 必要が あるが

，

こ れ に は被 積 分 関 数 が無 限 遠 方におい ても非 常に緩 やかに減衰す る振 動関数 で あるた め，か な りの計 算 上の困 難 が伴な うことにな る

。

Pinkster9

，

_，

　

Standing

　et　al

．

1°｝_{や著 者}12 ）の 計 算 結果が 示 す よ うに_， 2次 速 度 ポテンシャルが 長 周 期変動 波 漂 流 力 に重 要な寄 与 を するの は 1次 入 射 波の回 折 影 響の小さ な 低 周 波 数 域に お い て であ り

，

回折 影 響が顕著と なる高周 波 数 域では

，

1次量の_積に よっ て表 現さ れ る項の寄 与が 卓越し，

2

次速 度ポテンシャ ル の寄 与は相 対 的に減 少 す る

。

この こと は長周期変動波漂流力へ の 2次速度ポテ ン シ ャル の_{寄 与}を評 価す るに _際して は

，

1次 回 折 波ポテ ン シャル お よび

1

次 発散波 ポテンシャル を含む項を省 略 し う ること を示唆している。 この近 似 化の下では

，

式 （80） に_含ま れ る自 由 表 面上の_{積 分 項 （}o_留項）は省 略で きて_， 計算に要 する労 力は著し く軽 減 される

。

こ のよ うな考 察 から

，

以 下の数値 計算で は

，

式 （8  に おける 自由 表 面 上の積 分 項 を 省 略 し た 次式 を，

2

次 速 度 ポテ ン シャル の 長 周 期 変 動 波 漂 流 力へ の寄 与 を評 価す る近似式 として_採 用する ことにする

。

瑞

一Re

［

離

輪

一

吻）

｛

∫

惹

一

［φ泓・・

　　　

謝 ・_φ胴 ＋醐 ］

dS

｝

・

−

q・・1

−

e・・t

］

iin

　 　　＋

pAwpxti

）₁ ，

……・

…・

…・

………

（

81

） 式 （81 ）におい て

，

さ らに物 体の 1次 運 動が2次の物 体 表 面 条 件 に 与 え る影 響 （β署項）を 省 略 すれ ば_， Pinkster9，_{と等 価な近 似 式が得 られる}

_．

　

Bowersii

｝は 2 次回 折 波 ポテン シ ャ ル の寄 与 をすべ て省 略する より単 純 な近 似 式 を 採 用し てい る

。

これ らの近 似 式の精 度 が 後に 比較さ れ る

。

　

5．

計 算 例お よび考察 　上記の理論を適用 す れば，

1

次ポ テンシャ ル流れ 理論 の成 果 を用い て長 周 期 変 動 波 漂 流 力 を評価す ることが可 能で ある

。

1次 ポテンシャ ル問 題の解につ い て はす でに 種々 の理 論 的

，

数 値 的 手 法が提 案され て お り

，

こ れ らの 成 果が漂 流 力の評 価に際して も有 効に利 用さ れ る。 前 報 IZ）_で扱 っ た

一

様 円 筒カラ ム の場 合に は

，

円筒 座 標 系に お ける長 周 期 変 動 波 漂 流モ

ー

メ ン トの_陽な解を 導 出す る こと ができ た が， 複 雑な形 状の海 洋 構 造 物に対して は数

一 72 一

値 的 手 法が有効であ ろ う

。

以 下に は

，

特 異 点分布 法に よ る半潜水型構造物の計 算 例 を示す

。

　 計算の対象と し た構 造 物はFig

．

3お よび

Table

　1に 示す ような諸 元 を有す る半潜水型構 造 物で

，

石 油 堀 削用 リ グの典 型 的な形状で あ る。 この構 造 物の 2面 対 称 性 を 考 慮し て， 全 没 水面の

1

／

4

を

Fig．

4の よ うに 77個の平 面四辺 形 要素に分 割 し

，

特異点分 布 法を適 用し て定 常 波 漂 流 力お よ び長周期変動 波漂 流 力 を計 算した。 Fig

．

5は 規 則 向い波中に お け る サ

ー

ジ定常 波 漂 流 力の計 算 結 果 を

Pinkster9

） の_実験結 果と比較し て示 し た もの であるが， 計算値と計

廁

値と は比 較 的 良 く

一

致し て お り， これ よ り 計算 手 法の妥 当性を推 察 することが で きるe4 ｝ 。　

Fig．6

は不規則向い波 中に お け るサ

ー

ジ変 動 波漂流 力の 2次 伝 達関 数の 計 算 結 果 を 示 し たもの で あ る

。

周 波数 差が

O．

　

10

　rad_／sec の_{場 合の} 2_{次 伝 達 関 数の実 数 部}

，

_{虚 数部お}

よび絶対値が そ れぞれ平 均 周 波 数 を横 軸に して図 示 さ れ て お り， 2次 速 度ポ テン シャ ル の寄 与 を考 慮し た本 手 法 の結果の ほ か に， 定 常波漂流力の伝 達 関 数 （

Fig．

5） を 用い た

Newman5

｝の手 法

，2

次速 度ポ テ ンシャ ル の寄 与 ∈ 0

．

の H

　

　 　 　 　 　 　 　 巨 O

_．

O 臥

画

1 E  

．

NH

　

EOO →

i

匪

m 』 oo ユ EO

．

ON X3x1 ∈ 『 oり

呷

Fig

，

3

　Layout　of　the　semi

・

submersib 正e

Table　1　 Main　particulars　ef　the　serni

−

snbmersible

Description Value 　　Unit

Leng七hBreathDraftDispl

ε_呼bment volume

Centre　of　gravity 　above 　base

Metacentric　height

TranBver8e　gyradius 　in　air

Longitudinal　gyradiu5 　in　 air

Vertical　gyradiu8 　in　air

Mooring　stiffness 　coeff

．

insurge Vi8c。u8　damping 　ceeff

・

in　surge Natural 　frequency　in　surge Water depth 100

。

0076

。

OO20

，

0035r9257

．

9217

．

4830

．

5530

，

8941

，

746

．

40100

．

OO

．

0364e

．

00 mmm 皿3mm 田 皿 mt ／mt

．

s2／m2rad ！sm 　注4＞ 特異点分布法に よ る計 算手 続き の妥当性は

，

ビン係 留 式

一

様 円 筒カラム に働く長 周 期 変 動 波 漂 流モ

ー

メ ン トの計 算 結 果が理論 解lz）_{と非 常に良く}

一

_{致し ていることか らも 推 察さ れ} る2）

。