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資料の概要
レイリー分布(Rayleigh distribution)について
周波数が一定で、振幅及び位相が不規則に変動する多重波(正弦波)の合成受信電界強度の確率 分布はレイリー密度分布に従う。 多数の反射波やダクト伝搬路による多重波が到来して合成される場 合、この分布に従うことになる。 マイクロ波無線通信や移動無線通信における伝搬路の解析には、主 としてこの分布が使用されている。 マイクロ波回線設計で使用される「レーレ分布」はレイリー振幅分布を電力を変数とする分布に変換し たもので、確率分布としては指数分布に分類されるものである。 分布の変数については、真値で表さ れるもの、デシベルに変換したもの、真値をデシベルで表示したものなど、さまざまな分布形が使用され、 混乱を招いている。 本資料では、レイリー分布の理論的解説を行なった上、確率変数の変数変換に伴う各種分布形、更 にはマイクロ波回線の設計にレイリー分布が使用されるようになった歴史的背景などについて記載し た。2
レイリー分布(
Rayleigh distribution)について
植田正紀 1.レイリー密度分布の導出 周波数が一定で、振幅及び位相が不規則に変動する多重波(正弦波)の合成受信電界強度の確 率分布はレイリー密度分布に従う。電界強度
E
( )
t
を( )
=
∑
(
+
)
=
∑
−
∑
N k k k N k k k N k k kt
a
t
a
t
a
t
E
cos
ω
θ
cos
θ
cos
ω
sin
θ
sin
ω
(1) とし、
θ
kが互いに独立で0~2πの間に一様に分布し、x
及びy
は独立で、多重波の波数N
が 十分多いとき、x
とy
は中心極限の定理により結合正規分布に従う。 〔以上、安達三郎、米山務「電波伝送工学」コロナ社 より〕 平均0、分散σ2である変数x,
y
がそれぞれ正規分布に従うとき、結合分布は( )
+
−
=
2 2 2 22
exp
2
1
,
σ
pσ
y
x
y
x
f
(2) となる。 これをx
=
A
cos
( )
θ
,
y
=
A
sin
( )
θ
として直交座標f
( )
x
,
y
から極座標p
( )
A
,
θ
に変換する。A
は正弦波(余弦波)の最大値であり、包絡線 (envelope) と呼ばれる。
−
=
⋅
=
2 2 22
exp
2
1
)
,
(
)
,
(
σ
pσ
θ
θ
J
f
A
J
A
A
p
f f (3) fJ
はヤコビアンであり、次の値となる。( )
( )
A
A
(
)
A
A
A
y
x
J
f=
−
=
+
=
∂
∂
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2 2sin
cos
sin
sin
sin
cos
,
,
(4) 従ってp
( )
A
,
θ
は次式となる。( )
−
=
2 222
exp
2
,
σ
pσ
θ
A
A
A
p
(5) レイリー分布はこの結合分布における振幅A の周辺分布であり、式(4)をθ
について0~2πま で積分して得られる。(2πが消去される。)( )
−
=
2 222
exp
σ
σ
A
A
A
p
(6) この分布のパラメータはσであるが、特性値は次のようになる。 〔「電波伝搬ハンドブック」REALIZE INC. より〕 ・平均値:σ
p
1
.
25
σ
2
≅
・標準偏差:σ
p
σ
0
.
655
2
2
−
≅
(7) 〔レイリー確率密度分布〕 ・最頻値:σ
・中央値:σ
2
ln
2
≅
1
.
18
σ
平成8 年 2 月作成 平成25 年 7 月(追加修正)( )
t
t
y
( )
t
t
x
cos
ω
+
sin
ω
≡
3 図1 にレイリー密度分布
f
( )
x
、レイリー累積分布F
( )
x
及びレイリー密度分布の平均値、中央 値及び最頻値を示す。なお、F
( )
x
=
∫
xf
( )
t
d
t
0 (8) である。 この分布は、ビルの反射等による多重伝搬路(マルチパス)の影響を受ける移動無線通信の解 析などに利用されている。しかし、マイクロ波固定通信においては受信波を電力で扱うため、受 信電圧の包絡線の分布であるレイリー分布を直接利用することはほとんどない。 2. 受信電力真値のレイリー分布(指数分布) レイリー分布は正弦波を対象としているので、式(6) をx
=
A
2/
2
として受信電力分布に変 換すると、A
=
2
x
であり、
−
⋅
=
−
⋅
=
2 21
2exp
22
2
exp
2
)
(
σ
σ
σ
σ
x
x
x
dx
dA
x
f
(9) となり、平均値がσ2の指数分布となる。 平均値を1として規格化した分布(相対受信電力真値の分布)は次の指数分布となるが、マイ クロ波回線の受信電力を表す場合、この分布もレイリー分布(又はレーレー分布)と呼んでいる。 xe
x
f
(
)
=
− (10) この分布の平均値は1、中央値はlog
e(
1
/
2
)
=
0
.
693
である。 この分布はマイクロ波回線において、レーレーフェージングが発生している時間における受信 〔相対受信電力真値の分布(指数分布)〕 図1 レイリー密度分布及び累積分布 〔「電波伝搬ハンドブック」REALIZE INC. より〕 (注) (注) Mean :平均値 Median :中央値 Mode :最頻値4 電力の変動分布として利用される。この分布は最頻値が0(何も受からない状態)となっており、 最悪の受信電力変動分布と呼ばれている。 3.デシベル指数分布 式(10)の分布を
y
=
10
log
x
としてdB 単位の分布に変換すると次のようになる。
−
=
H ye
H
y
H
y
g
(
)
1
exp
(11)343
.
4
log
10
10=
=
e
H
− = H y e H y H y g( ) 1 exp 図3 デシベル指数分布( )
dB
→
y
最頻値 = 0 dB 平均値 = ‐2.5 dB 図2 レイリー電力真値の分布(指数分布)x
( )
xe
x
f
=
− 平均値=1 中央値 =0.693 最頻値= 05 4.低確率部の指数分布 ディジタルマイクロ波回線においては、確率の大きい部分についてはあまり問題とならず、10% 以下の低確率部に注目すれば十分である。(FM マイクロ波回線では、熱雑音の累加やダイバシテ ィ効果の検討のために高確率部も重要であった。)(補注1 参照) 式(10)の指数分布をマクロ―リン展開すると次のようになる。
( )
( )
!
1
!
3
!
2
!
1
1
3 2n
x
x
x
x
e
x
f
n n x=
−
+
−
⋅
⋅⋅
+
−
=
−x
の値が0.1 以下(‐10dB 以下)とすると、第 1 項に比較して第 2 項以下は無視することが できるので、この分布は0
≤ x
≤
0
.
1
の範囲において近似的に( )
x
≅
1
f
(13) の一様分布となる。このことは図4 において、中央値の 0.1 以下を近似的に 1 とするこを意味し ている。 累積分布は次のようになり、変数の値と関数の値が等しくなる。F
( )
x
=
∫
xd
x
=
x
01
式(14)から、x
をdB で表した場合、-10、-20、-30 dB 低下する確率が、それぞれ、10%, 1%、 0.1%となる意味が理解できる。なお、受信電力を dB で表した場合は、指数分布でなく、図 3 の dB 指数分布で表すべきであるが、例えば、確率分布f
( )
x
をg
( )
y
に変換する場合、累積分布関 数については、常に( )
x
G
( )
y
F
=
(15) が成立するので、式(14) のx
の値を真数でなくdB で表しても差し支えない。(補注 2 参照) (12) (14) 中央値 (0 dB) 0.1×中央値 (-10 dB)x
( )
x
≅
1
f
としたカーブx
1.0( )
xe
x
f
=
− 図4 レイリー受信電力分布(指数分布)6 われわれは長時間分布がガンマー分布で近似され ることを機会あるごとに主張していたが、これらの実 測分布をみると今までの主張には十分な根拠がない ことを感ずる。1 ヵ月程度の長時間の雑音分布につい て論議する場合には、1%値だけでは不十分で、0.1% あるいは 0.01%程度の短時間に超過する雑音につい ても知る必要があるが、長時間分布を特定の分布関数 で近似することにより生ずる推定誤差は非常に大き くなる。 森田和夫、柿田潔、「マイクロウェーブ波回線のフェ ージング」電気通信研究所、研究実用化報告第7 巻第 9 号(1958)
補注
1 受信電力レイリー分布(指数分布)導入の歴史
昭和 30 年代に電電公社電気通信研究所(通研)において、森田和夫、柿田潔氏らによってマ イクロ波受信電力分布の研究が精力的に進められた。その結果、様々な受信電力変動がガンマー 分布によって精度よく近似できることを明らかにした。ガンマー分布にはλとβの二つのパラメ ータがあるが、ラムダは形状のパラメータで分散の値に関係し、βは位置のパラメータで中央値 の位置に関係するが、この二つのパラメータを変えることにより、どのような変動分布にも対応 できることを示したものである。相対受信電力を dB で表した場合のガンマー密度分布は次式と なる。〔森田和夫、柿田潔「マイクロウエーブ回線のフェージング」研究実用化報告第7 巻第 9 号(1958 年)〕( )
( )
−
Γ
=
H xe
H
x
H
x
f
λ
β
λ
β
λexp
H
=
10
log
10e
=
4
.
343
(16) 図5 にλ=1、2 の場合でβを 1 から 10 まで変化させたガンマー分布を示す。λが形状を表 し、βが位置を表していることがわかる。 しかし、その後森田氏らはフェージング発生 時期の短期間の変動を含む分布を1 種類のガン マー分布で近似すると、低確率部において大き な誤差を生じることに気付いている。このとき の発見について、森田氏らは右の枠内に示す表 明を行っている。すなわち、瞬断率等の計算に 必要なフェージング発生時の短期分布について は、長期分布とは別に推定する必要があること を新たに主張し、これを「レーレー分布フェー ジング発生頻度」として検討している。この時 点では、まだレーレーフェージング発生確率の実験式を確定していないが、次の実験式を提示し ている。 図5 dB ガンマー受信電力変動分布 0.10 0.15 0.05 相対受信電力 (dB)7
D
p
10 106
.
08
3
.
5
log
log
=
−
+
(17) p:レーレー分布で近似される時間のパーセンテージ(%) D:伝ぱん距離(km)、ただし 40 km<D<150 km この実験式ではフェージングの発生が距離の3.5 乗に比例することを明らかにしているが、周 波数については、4GHz と 6GHz の間で大きな違いはないとして、実験式に取入れていない。 その後森田氏らは、「見通し内伝ぱん路の約 100 区間におけるぼう大なフェージングデータを 整理、解析して、任意の中継区間におけるレーレーフェージングの発生確率および長期受信電力 分布の標準偏差等に関する実験式を求めた。」として次の実験式を示している(注) 3.5 2 . 14
Q
d
f
K
P
R
⋅
⋅
⋅
=
(18) (注)森田和夫、「マイクロ波および準ミリ波回線のフェージングならびに熱雑音電力分布の推定」電気 通信研究所成果報告第2433 号(1965 年 3 月)より。 この成果報告を要約した内容が森田和夫「見通 し内マイクロ波回線におけるレーレーフェージングの発生確率の推定」研究実用化報告第 18 巻第 9 号 (1969)で報告されている。 その後、森田氏は大地反射(海面反射を含む)のある区間についてのレーレーフェージング発 生確率の推定式を導出した。〔森田和夫「大地反射波区間の等価レーレーフェージング発生率の推定」研究 実用化報告第21 巻第 4 号(1972)〕 その後更に精度を向上させた推定式を1979 年に発表している。 〔大井哲雄、森田和夫「レイリーフェージングおよび等価レイリーフェージング発生確率の推定式」研究実用化 報告第28 巻第 5 号(1979)〕 これらの推定式は現在電波法関係審査基準で用いられている。 レーレーフェージング発生確率モデルでは、式(18)で示される低確率部のみに着目して伝搬路 信頼度を評価するが、分布の大部分を占める高確率部については無視してよいのか、との疑問が 生じる。ディジタルマイクロ波回線では、再生中継方式が主流であるため、ガンマー分布フェー ジングによって受信電力が低下しても、回線瞬断や符号誤りが生じない限り無視してよいことに なる。しかし、非再生中継(直接中継等)を行う場合はガンマー分布フェージングの影響を考慮 する必要がある。補注
2 確率変数の変数変換
ある確率変数X
の確率密度関数をf
( )
x
、その累積分布関数をF
( )
x
とし、これをy
=
ϕ
( )
x
なる 関係により確率変数Y
に変換する場合を考える。Y
の確率密度関数をg
( )
y
、累積分布関数を( )
y
G
とする。この場合、あるx
の値とそれに対応するy
の値に関して次の式が成立する。Pr
.
(
Y
≤
y
)
=
Pr
(
X
≤
x
)
K:係数(5.1×10-9) f:周波数(GHz) Q:伝ぱん路係数の相対値 d:伝ぱん距離(km)8 即ち