Kiepert双曲線について ： 射影幾何学の考え方を用いて

平成

27年

度

学 位 論 文

―

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兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 科 内容 。方 法 開発 専 攻

M 1 4 1 4 6 D

学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 中

川

麻

衣

第

0章

問題提起

目 次

第

1章

1。1 1.2 1.3 1.4 1.5 第

2章

2.1 2.2 第

3章

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 第

4章

4。1 4.2 4。3 射影平面 チ ェバ の定理 の拡 張 射影平面 の導 入 式の斉次化、非斉次化 について 射影 変換 につ いて 共線 性について

2次

曲線 の分類

2次

曲線 の式 と射影変換 対称行 列 の対 角化

2.3 2次

曲線 の分類 2.3.1 射影変換 による分類 2.3.2 アフィン変換 による分類 2.3.3 _{無限遠直線 と}

2次

曲線の交点の個数 による分類 . 重心座標 ‐と三線座標 ３３ ３３ ３５ ４３ ４３ ４７ ５４

7

10

10 14 17 21 27

59

59 63 71

96

96 99 107 線 分 の 内分 の拡張 重心座標 と 重心座標 と 重心座標 三線座標 △ に対す る位置関係 面 積 ４  ０   ５ ７   ８   ８ 向 きのある角度

Kiepert双

曲線 直線 ス民

3o,σ

Rの

共点性 の証明 馬 の軌跡 の式 Kiepert双曲線

4.4 Kiepert双

曲線 の通 る点

.…

… … … ・ 付 録

A

A.1上

三角行列 参考文献 おわ りに 2 110

112

112

114

115

3

は じめ に

研 究の 目的

平面 内の任意 の △

ABσ

において、各辺

Bθ

,σ4,ス

3を

一辺 とす る二 等辺三角形 を辺 の外側 または内側 につ くる。 その新 たな頂点 をそれぞれ

D,E,Fと

す る。 この とき、直線 ス

D,3E,σ

Fは

一点で交わる。 この事実

は、

Ludwig Kiepert国

によって示されたことから、Kiepertの 定理とよ

ばれている。

二等辺三角形の底角の角度をいろいろと変えていくと、その交点の軌

跡は双曲線になることがわかってお り、Kiepert双 曲線 とよばれている。

図

1:Kiepert双

曲線 図1を見 る と、Kiepert双曲線 は △

ABσ

の各頂点 を通 つていることが 分か る。 また、△ス

Bσ

の周 りの二等辺三角形の底角が

0の

とき、

3直

線 ス

D,BE,σ

Fの

_{交点 は車心であることか ら、重心 も}Kiepert双曲線上 にあ ることが分かる。Kiepert双曲線 は他 にどの点 を通 ってい るのだろ うか。 本論 文 で は、射影幾何 学 の考 え方 を用 いて、

Kiepert双

曲線 の式や、 Kiepert双曲線 の通 る点 について調べ ることを目的 とす る。

4

研 究の 内容

射影平面と射影変換について

高等学校 までの学習で扱 う幾何 は、平面幾何 であ り、「

2本

の平行線 は 交わ らない」 としている。 しか し、空間上の視点か ら見れ ば、平面上の

2本

の平行線 は地平線で交わ るように見 える。 この ことか ら、

2本

の平行 線 の仮想 的な交点 を考 えるとい うのが射影幾何 の出発点 とな る。 本論文で は、初 めにチェバの定理の拡張 を考 えることか ら、

2本

の平行 線の交点や、線分 を「

1:1に

外分」す る点の必要性 を示唆 し、通常の平面 を拡張 した射影平面 について考 える。1。

1節

の内容 は高等学校 で扱 うチェ バの定理の発展的な内容 として位置づ けることもで きる。 射影平面 を扱 うため には、先 ほ ど述べた ように地平線 まで見渡せ るよ うな空間 を設定 したい。そのために、

z軸

を下向 きに とった

R3内

の

z=1

平面 を地平 とし、原点か ら見下 ろす ように地平 を見 る。原点 を通 る直線 を射影点 といい、全ての射影点の集合 を射影平面 と定め る。地平 と交わ らない射影点、つ ま りπ夕平面 内に含 まれる射影点のことを無限遠点 とよ ぶ。次 に、原点 を通 る平面 に含 まれ るすべての射影点の集 ま りを射影直 線 と定 める。す る と、射影直線 は地平上 の直線 に無限遠点 を加 えたもの であることが分か る。 また、地平 と平行 な平面 は全ての無 限遠点の集合 となってお り、 これを無限遠直線 とよぶ。 この ように、射影平面 は、通常 の平面 に無限遠直線(地平線)を加 えたものである。 図

2射

影平面 また、1.4節で は、射影平面で重要 となる射影変換 について定義す る。 射影変換 で不変な性質 として、

3点

が一直線上 にあること(共線性)、

3本

5 の直線が

1点

で交わ ること(共点性)、

2次

曲線 と直線 の交点の個数 な どが あげ られ る。 これ らの性質 は、本論文で も非常 によ く利用 してい る。本 論文では述べていないが、共点性や共線性 を仮定 とす る定理 (例えばデザ ルグの定理やパ ップスの定理)は 、普通の平面 よ り射影平面で考 えた方が よ り簡単 に証 明がで きることがある。 さ らに、射影幾何 での証 明の有用 性 を感 じられ るのは次 に述べ る

2次

曲線 を扱 う場合である。

2次

曲 線 の 分 類 に つ い て 第

2章

では、

2次

曲線の分類 について まとめている。射影平面上の任意 の

2次

曲線 は、ある射影変換 を用 いて、ある数種類の

2次

曲線 の うちの1 つに移す ことがで きる。特 に空でな く、非退化 とよばれる

2次

曲線 は射影 変換で単位 円に移 され る。さらに射影変換 を合同変換やアフィン変換 に限 定す ることで、

2次

曲線全体 をよ り詳 しく分類す ることを考 える。 また、 射影変換の性質 を利用 して、

2次

曲線 と無限遠直線の交点の個数 によって

2次

曲線の特徴 づ けを行 っている。 この こ とは、Kiepert双曲線が双 曲線 であることを判定す るの に用 いてい る。 楕 円、双 曲線、放物線 といった

2次

曲線 については、高等学校の学習の 範 囲でも扱われている内容である。数学 Ⅲ の教科書 には、単元の とび ら に射影幾何 によって円錐 曲線 (2次曲線

_)が

統 一的に理解 された こ とが触 れ られているもの もあ り、高等学校 で も発展的な内容 として授業 で紹介 す ることもで きる内容 となっている。

2次

曲線が統一的に扱われ るこ とに よって、特定の

2次

曲線 に関する定理 を、別の

2次

曲線 に対 して拡張す る ことがで きる。例 えば、パスカルの定理 は円に内接す る六角形 について の定理 だが、 円だ けでな く

2次

曲線全体 に拡張 して も成 り立つ こ とが射 影変換 を用い ることで示す ことがで きる。 重 心 座 標 と 三 線 座 標 に つ い て 第

3章

で は、重心座標 と三線座標 について定義 してい る。 どち らも射 影幾何の考 え方 を用 いてお り、△

ABθ

を基 に して定 まる座標 である

:さ

らに、内分 について概念 を拡張 した り、線分の長 さや三角形 の面積 に向 きの考 えを導入す る。 これ に よ り、重心座標や三線座標 を幾何 的な量 と 関連付 けて理解 す るこ とがで きる。 ある点

Pの

△

ABσ

に対 す る重心座

6 標 は、△

PBθ

,△Pθ■,△

PABの

面積比で表現 で きる。 また、点

Pの

三 線座標 は、

Pと

直線

Bθ

,θ

A,ABと

の距離 の比で表現で きる。 例 えば三角形 の五心 を直交座標 で考 える と、直交座標 は三角形 の

3頂

点の取 り方 と無 関係 で あるため、点 と三角形 との対応 関係 が読 み取 りに くい。重心座標や三線座標 を用 い る と、直交座標 に比べて、三角形 に対 応 して定 まるような点の位 置 を扱 うことが容易 となる。実際、三角形の 五心 について、重心座標 と三線座標 を求め る と、対称的な式の組み合わ せ によって表現 されてお り、幾何 学の美 しさを体感す ることもで きるだ ろ う。

Kiepert双

曲 線 につ いて

第 4章 では、

Kiepertの

定理や

Kiepert双

曲線について、証明を与えて

いる。第3章 までに準備 した事柄を用いると、見通 しよく証明できるだけ

でなく、例えば

Kiepert双

曲線の三線座標に関する式が、以下に示す対称

的な三角関数の式によって表される。

(α,β,γ

は△

ABσ

の内角の大きさ

)

yz sin(β _γ_{)十 ZX Sin(γ}

_一α

_{)十 Xy sin(α}

_β

)=0

Kiepertの

定理によって現れる双曲線が、このような美 しい式によって表

されていることに、筆者は驚 きを感 じた。

Kiepe革

_{双曲線は車心や垂心}

のほか、三角形に関するいくつかの点を含んでいる。似たような図形に、

Euler線

や九点円がある。このように、三角形に関する多 くの点を含み、

かつ美しい図形が他にも存在するのだろうか。

Kiepert双

曲線はさらなる

幾何への好奇心を促す題材ではないかと筆者は考える。

第

0章

問題提起

平面 内の任 意の △

ABσ

において、各辺

Bθ

,CA,A3を

一辺 とす る正 三角形 を辺の外側 にそれぞれつ くり、その新たな頂点 をそれぞれ

D,E,F

とす る。この とき、直線

AD,3E,σ

Fは

一点で交わる。この交点はフェル マー点 とよばれている(図

1参

照)。 図 1:フエルマー点 しか し実 はこれは外側の三角形が正三角形の場合だけでな く、各辺

Bσ

, σ■,ス

Bの

を一辺 とす る三角形が、∠

BDσ

,∠σ

EA,∠

AFBを

頂角 とす る 互い に相似 な二等辺三角形 であ る ときも、 同様 に直線

AD,3E,σ

Fは

一 点で交わ ることが知 られている(図

2参

照)。 さらにそれぞれの二等辺三 角形 を △

ABθ

の外側ではな く、内側 につ くってもや は り

AD,3E,σ

Fは

1点

で交わ るのである(図

3参

照)。

この事実は、

1869年

に

Lemoine,Ё .に

よって書かれた『

QueStiOn 864』 [劉

内の問いに対して、

Ludwig Kiepertが

証明した

(μl)際

に、定理化さ

れ、

Kiepertの

定理とよばれている。

この ように、二等辺三角形の底角の角度 をいろいろ と変 えてい くと、そ

第

0章

問題提起 図

2:二

等辺三角形が △ス

Bσ

の外側 図

_3:二

_{等辺三角形が △}

ABσ

の内側

の交点の軌跡はどうなるだろうか。実はその軌跡は双曲線になる。この

ことについても、

Kiepert国

によって示されており、

Kiepert双

曲線とよ

ばれている

(図

4参 照

)。 図

4 Kiepert双

曲線 図

4は

、Cinderella 2と い うアプ リケーシ ョンによって作成 されたもの であ り、これを見 る と、Kiepert双 曲線 は △

ABθ

の

3つ

の頂点を全て通 っ

第

0章

問題提起

9

ていることが分か る。

3直

線

AD,3E,σ

Fの

交点 はフェルマー点であるこ とか ら、_フ ェルマー点 もKiepert双曲線上 にあることが分か る。Kiepert 双 曲線 は他 に どの点 を通

_?て

いるのだろ うか。 本論文では、射影幾何の考え方 を用いて、Kiepert双 曲線の式や、Kiepert 双 曲線 の通 る点な どを調べ る。調べ るための準備 として、第

3章

で は重 心座標 と三線座標 について述べ る。 これ らは、第

1章

で述 べ る、射影幾 何 の考 え方 を用 いてお り、△

ABσ

を基 に して定 まる座標 である。重心座 標 と三線座標 を、幾何 的な量 と関連付 けることで、例 えば三角形 の五心 の ように、三角形 に対応 して定 まる点の位置 を示す ことが容易 となる。

10

第

1章

射影平面

この章で は、チ ェバ の定理 の拡張か ら射影平面 の必要性 を示 し、射影 平面 の定義、射影変換 の定義 を述べ る。特 に射影変換で不変の性質であ る共線性 と共点性 の うち、共線性 について定理化す るも 1。

1

チ ェバの定理 の拡張

高等学校 の数学

Aの

単元 「平面 図形」で、チ ェバの定理 を取 り扱 う。 定理 ■.1.1(チエパの定理

_)△ABσ

お よびその内部 の点

Pに

対 して、

1.点

Dを

直線 五

Pと

直線

Bθ

の交点

2.点

Eを

直線

BPと

直線 σスの交点

￨

3.点

Fを

直線 θ

Pと

直線 ス

Bの

交点 とす る と次が成 り立つ。

%。

綴・

毎

=1

(1。 1) 定理 1.1.1では、点

Pが

三角形の内部 にあることを条件 としているが、 三角形の外部 にある場合でも成 り立つのではないか。例 えば、図1.2のよ うな場合 は、式(1.1)が成 り立つ。 しか し、次の ような場合 は成 り立たない。 例

1.1.2図

1.3の ように、ス

Pと

Bσ

が平行 な場合 は、ス

Pと

Bσ

が交わ らないので点 ρ が存在せ ず、式_(1.1)が成 り立たない。 我 々はここで、点

Pが

どこにある場合で もチ ェバの定理 が成 り立つ よ うに、平面幾何 を拡張 したい。

第

1章

射影平面 図 1.1:チ ェバの定理

(Pが

内部) _{図 1.2:チ エバの定理}

(Pが

外部) 図 1.3:ス

Pと

Bσ

が平行 ユーク リッ ド幾何学では、平行線 とは交わ らない

2直

線 の ことだか ら、 平行 な

2直

線 には交点がない。 しか し、

APと

Bσ

が平行な場合 にもそれ らの仮想 的な交点

Dを

考 え、 さ らに点

Dは

無限 に遠 くにある と考 えて、 この とき、

BD:Dσ =1:1

とした らどうなるであるろ うか(図 1.4参照)。 (1.2)

△五

EPと

△σ

EB、

△

AFPと

△

BFσ

はそれぞれ相似である。よって

対応する辺の比は

１ ■ １ ■ 五

E:Eσ

=五

P:θ

B=AF:BF

第

1章

射影平面 図1.生 平行線 が交わ ったチ エバの定理 であるか ら、

多・

傷

=1

となる。 また、式_(1.2)を仮定 したので、

需・

器・

傷

=1

とな り、式 _(1.1)が成 り立つ。 よって、式 (1.2)の ように考 える と、点

P

が平面上の どこにあって もチ ェバの定理 が成 り立つ といえそ うである。 この ように、平行 な直線 に対 して もその交点が存在で きるように平面 を拡張 し、 また、 その とき拡張 された点 に対 して も外分 とい つた概念 を 適用で きるようにす ることを考 えたい。 拡張す るにあた り、い くつかの問題 がある。 まず

1つ

は、平行 な

2直

線 は どち ら側 に延長 した先で交わ る と考 えれば よいのか。双方で交わ る とす るな らば、交点 は

2点

となって しまう。 よって、平行 な

2直

線の交点 は、 どち ら側 とは決め られず、ただ

1つ

とす る必要 がある。

2つ

目は、

3本

以上の平行線 に対 して、それ らの交点 は1つとして よい のだろ うか。 そ こで、チ エバの定理 の逆 を用 いて考 える。 図1.5のように、△ス

Bσ

において、

1.直

線

Bσ

上 に点

D

2.直

線 θス上 に点

E

3.直

線 ス

B上

に点

F

12

第

1章

射影平面 図 1.5:チエバ の定理 の逆 を、

AD,BE,σ Fが

平行 にな る よ うにお く。△

Bσ

Fに

おいて、

ADと

Fθ が平行 なので

ス

F Dσ

FB

σ

B

とな る。 また、 △

Bσ

Eに

おいて、

ADと

EBが

平行 なので、 σ

E

σ

B

EA BD

となる。よって、式

(1.1)が

成り立つ。ここでチェバの定理の逆を成立さ

せるためには、平行な

3直

線

AD,3E,σ Fは

1点

_{で交わると考える必要}

がある。

チェバの定理 の拡張のために次 が要請 され る。 1。 すべての直線 に 「ある無限遠点」 を

1つ

加 える。

2.直

線 の無 限遠点 は、直線 上 の

2点

■

,3を

「1:1に 外分す る」 と定 める。

3.互

いに平行 な直線 の無 限遠点 は一致す る。 こ うした要請 を満 たす よ うな平面幾何 の拡張 として、次節以降で述べ る 射影幾何 がある。 13

第

1章

射影平面 1。

2

射影平面の導入

前節 の要請 を満 たす ように平面 を拡張 したい。 図

1.6射

影点 図

1.7射

影直線 定義

1.2.l R3内

の原点 を通 る直線 ′を 射影 点 とい う。全ての射影点の 集合

RP2を

射影平面 とい う。 以下

R3を

図示す る際、図1.6のように、

z軸

を下 向 きに とる。そ して、

z=1平

面 の こ とを地平 とよぶ こ とにす る。す る と、以下 に述べ る よ う に、 ほ とん どの射影点 は地平上の点 と一対一 に対応す る。す なわち、地 平 と平行 でない射影点 ′に対 して、イが地平 の交わ る点P(″_,ν,1)を対応 させ る。 また この とき、 この対応 の逆 を考 えれば、地平の点

Pに

対 して、 点

Pと

原点 を通 る直線 ′とい う射影 点が対応 す る。 よって、地平 と平行 でない射影点 と地平 の点 は一対一対応 を してい る。 射影点 ′に対 して対応す る地平の点P(■_{,ν,1)を ″υ平面の点}Pr(.,ν_)と 考 える。(″ ,ν)で表 され る点Prを射影点 ′の 非射影化(または非射影化 し た点_)とい う。 逆 に "υ平面上の点(を,υ)に 対 して、地平 の点 P(■_{,ν,1)を 考 え、}

Pと

(0,0,0)を通 る射影点 を ″υ平面の点(■ ,υ)の 射影化 とい う。

地平上の点と対応 しない射影点、つまり

zυ

平面内に含 まれる射影点を

無限遠点とよぶ。地平の点 と射影点の対応で考えれば、

RP2は

地平に無

限遠点を加えたものと考えることができる。

14

第

1章

射影平面 定義 1.2.2π を

R3内

の原点 を通 る平面 とす る_(図 1.7参照)。 この とき、

RP2に 含まれるL={′ ∈

RP21′

⊂π

_}を

、射影直線という。このよう

に

N内

の原点 を通 る平面 に対 して、射影直線 が1つ定 まる。 ″ν平面 も1つ_{の射影直線 を定めるが、 これ を 五∞ と表す。いま、}L∞ と 異なる射影直線 五を1つとる。

Lを

定める平面 と五∞ を定める平面(■ν平 面)の 共通部分 は、″ν平面内の1つの交線 となるか ら、

Lは

無限遠点 を1 つだけ含む。 また、zν平面の定める射影直線 五∞ は、すべての無限遠点 の集合と なってお り、 これ を無限遠直線 とよぶ。 命題 1.2.3五_{∞ と異な る射影直線 五について、五内の無 限遠点以外 の点} を非射影化 した点の集合 は πυ平面上の直線 となる。 証明 非射影化 とは地平 との交点 を と り、

z座

標 を取 り除 くこ とで ある。 平行でない平面 同士の交線 は直線 なので、五と地平 の交線 も直線 とな り、 非射影化す る と″ν平面上の直線 になる。

□ 命題 1.2.3における、″ν平面上の直線 を射影直線 んの非射影化 とい う。 またzν_{平面上の直線}

mに

対 して、 これ を_{(を ,υ}

_)⇔

_{(・ ,υ,1)の 対応で地平} 上の直線 π′と考 え、 この ときπ′と原点を通 る平面で定 まる射影直線 を π の 射影化 とい う。 命題 1.2.4″ ν平面上の平行 な直線 π,η に対 して、π,π を射影化 した射 影直線 を ν,Ⅳ とす る と、

Mが

含 む無 限遠点 とⅣ が含む無 限遠点 は一致 す る。 証明 (π ,υ

)⇔

(π ,ν,1)の 対応 で、π,η と対応す る地平上の直線 を π′,η ′ とす る。原点

0と

地平上 の直線 π′を通 る平面 を α、原点

0と

地平上の 直線 η′を通る平面 をβとする(図 1.8参照)。 この とき、

2直

線 π ′ ,η′は平 行である。″ν平面 をπ、地平 を π′とすると、命題 1.2.4は、 α∩π

=β

∩π

が示せればよい。πノπ′より、

(α

∩π

)//(α

∩″′

) (β

∩π

)//(β

∩π′

)

である。仮定より、π7η′、つまり

(α

∩π′

)ノ (β

∩π′

)で

あるので、

(α

∩

π

)ノ (β

∩″

)で

ある。この

2交

線α∩πとβ∩πはどちらも原点を通るの

で、一致する。

□

15

第

1章

射影平面 図 1.8:π′とπ′が平行 以上 よ り、

RP2は

前節 の要請 1と

3を

満 たす ように平面 を拡張 した も の となってい る。 また、

RP2で

は次が成 り立つ。 定理 ■

.2.5 1.2点

を通 る射影直線 は唯

1つ

である。

2.2つ

の射影直線 は

1点

で交わ る。 証明

R3内

の原点 を通 る

2直

線で定め られ る平面 は唯1つである。 また、

R3内

の原点 を通 る

2つ

の平面 の共通部分 は、原点 を通 る1つの直線で あ る。 よって、定義1.2.1、 定義1.2.2よ り示 された。

□ 次 に、

RP2に

おける座標 について定義す る。

定義

1.2.6 RP2∋

′は、原点を通る直線であるので、

0で

ないベクトル

aを

用いて′

={λ

a lた

∈

R}と

表せる。α

=(α

l,α 2,α3)の

とき、イを

レ

1,α 2,α

」と表して、これを″の斉次座標という。

定義1:2.1よ り、

p,0,qで

表 される射影点 は存在 しない。 また、斉次座 標 による表示 は一意的でない ことに注意す る。実際、定義 よ り、

0で

ない 実数 たと

0で

ないバ ク トル α=(αl,α 2,α3)に対 して、 [αl,α 2,α31=[たαl,んα2,んα31 16 とな る。

第

1章

射影平面

17

命題

1.2.71X,xZ]が

無限遠点であるための必要十分条件 は、

Z=0で

ある。 証明 無限遠点 は ″υ平面上の原点 を通 る射影点の ことである。その射影 点の

z座

標 は

0で

あるので、定義1.2.6よ り無 限遠点の斉次座標 は

Z=0

である。逆 に、斉次座標

lX,xZ]が

Z=0の

場合、その射影点 は αν平面 上 にあるので、無 限遠点である。

□

命題

1.2.8 1.″

_{ν平面の点}

_(",ν)を

_{射影化した射影点の斉次座標はレ}

,ν,司

である。

2.逆 に

r≠

_{0の 斉次座標 レ}

_,9,」

の射影点を非射影化 した″ν平面の点

の座標は、

(;,;)で

ある。

証明

zγ

平面の点

_{(″ ,ν)を}

射影化した射影点の斉次座標については、射

影化の定義及び、定義

1.2.6よ

り明らかである。また、レ

,9,」

の射影点と

地平との交点は

_暉

,;,1)で

あることから、射影点を非射影化した点の座

標は

_(子

,;)と

なる

。

□

″

_{ν平面の点の座標}

_(z,υ)を

、対応する射影点の斉次座標

[π,ν,11に

変換

することを、座標

(″ ,ν)の

斉次化という。またt射影点の斉次座標レ

,9,可

を対応する″

υ平面の座標

_(;,:)に

変換することを、斉次座標レ

,9,rlの 非斉次化 とい う。

1.3

式の斉次化、非斉次化 について

次にπ

_{ν平面上の図形の式を斉次座標で表していく。中学・高等学校の}

数学では、式で表される図形について扱う。例えば

(α,b)≠ (0,0)の

とき

α

_″十り

+Cと

いう式に対して

′

={(・,ν)∈ R21α

″十り

+C=0}

とぃ ぅ

R2内

の集合 ′を考 えると、これは法線ベク トル(α,b)で原点か らの

これを射影平面内で考えてみる。つまり、

≠oで、非斉次化するとα

″十り十

C=0

距副

:が

7睾

昌雨戸

の直線となる。

RP2内

の点

_{lX,x Zlの}

うち、

Z

第

1章

射影平面 を満たす ものの集合 を考 える。

[X,xZ]を

非斉次化す る と、 あるので、求め る集合 は ・

{lX,4Z]∈

RP21z≠

0,α

'+:り

十

C=0}

であ り、条件 式の両辺 に

Zを

か ける と、

五′

={lX,К

Zl∈

RP21z≠

0,α

X+by tt cZ=0}

となる。ここで、α

X+by+cZ=0は

Xyz空

間での原点を通る平面の

式である。また、

L′

は地平のα

z+り

十

C=0上

の各点と原点を結んでで

きる全ての射影点の集まりとなっていて、

L′

の条件から

Z≠

0を

除 くと、

直線 ′の射影化 となる。

、

,

逆に、射影直線

Mを

考え、平面上の点のうち射影化すると

M上

とな

る点の集合 π を考える。射影直線 ν は原点を通る平面で決まるので、

(α,b,C)≠ (0,0,0)を

用いて、

ν

_{={lX,X Zl∈}

RP21α

_ィ十

by ttcZ=0}

と表せる。点の″

ν座標

(″ ,ν)を

斉次化するとレ

,υ,11で

あるので、

mの

式 を求 め るには、 これ を α

X+by+cZ=0に

代 入 すれ ば よい。つ ま り

m

は 、

π

={(・,ν)∈ R21α

″+り 十

C=0}

とい う集合 になる。

Mが

五∞でない とき、 これは前節で述べた射影直線 の非射影化である。 上記 の射影化、非射影化 をよ リー般化 して考 えよう。つ ま り、″とυの 実数係数の π次多項式

∫

し

,の

=Σ

α

″

♂ノ

t+J≦π

を考え、∫

(″ ,υ

)=0で

決まる図形

r={(・

,ν)∈ R21∫(.,ν

)=0}

を射影平面内で考えてみる。具体的にはRP2内 のZ≠

0の

点

_{lX,x Zl} で、非斉次化す る と図形

rの

点 とな る集合

Rを

考 える。_lX,乙

Z]を

非射 18 で ヽ ｌ ｌ ノ ｙ 一_Ｚ Ｘ 一 Ｚ ／ １ １ ＼

・

９

 

 

 

 

 

＾

マ

︱

ノ

 

 

 

劫

一 一                                         ． 一ヽヽヽ一一一一一一一一一一 ヽ ｌ ｌ ノ 傷     ｏ ｌ

Ｃ

 

 

ｍ

の斉次化 とは

F(X,К

幼

=Σ

α

″

Xlrzπ

-0り

0+′≦れ

で与えられるX,К

Zの

働次多項式のことである。

.

定義

1.3.2X,XZの

多項式

F(X,xZ)が

斉次多項式であるということ

は、

Fの

すべての項の次数が等しいということである。

定義

1.3.1よ

り、■

,υ

の多項式ノ

(π ,ν)を

斉次化した式は斉次多項式になっ

ている。

F(X,XZ)が

斉次多項式のとき、

F(X,К

Z)=Σ

α

_″

X'y′Zπ 0+′) に十′≦η

とおくと、実数 んについて

F(んX,た

К た

Z)=Σ

α″

(″ Xを)(ノ

″

)(た

り

。

_→

_)zれ-0■)) を+′≦n

=ん

れ

Σ α

″

Xを

ノ

Zれ

―

￨り

を+′≦π

=た

π

F(X,XZ)

第

1章

射影平面

20

となる。 よって、

0で

ない実数 たについて、

F(X,XZ)=0←

→ F(λX,た_{К た}

Z)=0

とな り、射影点

PIX,MZ]に

関す る

F(X,xZ)=0と

い う条件 は

Pの

斉 次座標 の選び方 によらない。 よって、

F(X,XZ)=0の

定め る

RP2内

の 図形が考 え られ る。 その図形

R={IX,XZ〕

∈

RP21F(x,4Z)=0}

は式_(1.3)の集合

R7か

ら、

Z≠

0の

条件 を除いた ものであ り、 これ を図 形

rの

射影化 とい う。 例 えば ″υ

-1=oの

斉次化 を考 え る。″ν

-1=0を

2次

式 とみて 斉次化す る と

Xy_z2=0と

なる。 また、

3次

式 とみて斉次化 す る と

xyz_z3=0と

なる、つ ま り、 この ままで は式 を斉次化す る際 に、斉 次式の次数 によって同 じ式で も結果が異なって しまう。そこで、以下では ″,νの多項式 ∫(″ ,υ)の 斉次化 を考 える ときには、必ず ∫(■ ,υ)の 最 も高い 次数の項 に合わせて斉次化す ることとす る。 図形 の射影化 とは逆 に、図形

S={lX,X Zl∈

RP21z≠

0,F(X,XZ)=0}

を考 え、″ν平面上の点の うち射影化す ると

S上

となる点の集合sを考 え る。つ ま り、sの条件式 を求めるには

Sの

条件式に(″ ,υ)の 斉次化である [z,υ,コ を代入すればよい。 よって

sは

、

S={(・

,υ)∈ R21F(.,ν

,1)=0}

である。そこで、斉次多項式

F(X,ス

Z)の

非斉次化を次のように定める。

定義 ■

.3.3斉

次式

F(X,xZ)に

対 して、 ∫(π ,υ

)=F(″

,υ,1) を、

Fの

非斉次化 とい う。 また、図形

S={lX,К

Zl∈

RP21z≠

0,F(X,ス

Z)=0}

に対 して、集合

S={(・

,ν)∈ R21F(.,ν

,1)=0}

を

Sの

リ

ト

射影化という。

第

1章

射影平面 1。

4

射影変換 について

我々は1.2節にて、射影平面 を定義 した。通常の平面幾何 では、図形の 合同 とい う概念が基礎的であ り、合 同 とは合 同変換 を用いて定義 され る。 同様 に射影平面 で も射影変換 とよばれ る変換 が重要 とな るふ 射影変換 を定義す る前 に、ベ ク トル による斉次座標 の表記 と、斉次座 標 と行列の積 について述べ る。今後、空間ベ ク トルや斉次座標 を表す際、 21 "= と縦ベ ク トルの ように成分や座標 を縦 に並べて表 し、上記 の πに対 して、 [“]は 次の ように対応す る斉次座標 を表す こととす る。 ﹁ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ Ｉ Ｊ 陽 Ｌ ド Ｆ ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ ー   ２   ３ π   ″   ″ ／ ′ ︲ ︲ ︲ ︲ １ ヽ ﹁ ｌ ｉ ｌ ｌ ｉ ｌ Ｊ ｌ   ２   ３ 陽 Ｌ ド Ｆ 〓 π

これから、正則 3次正方行列 スと

RP2∋

["]に

対 して、その積を

ス

_["]=降

"]

と定めたい。この定義の正当性を以下確認する。以後、本節では

0=

(1.4) ヽ ｌ ｌ ノ ０ ０ ０ ／ １ １ ヽ

とする。

まず、降π

lが

斉次座標であることを表すためにス

_"≠

0で

あることを

示す。仮にス

_"=0と

すると、スは正則行列なので、逆行列

A 1が

存在

し、

_"=ス

,10豊

0で

ある。しかし、これは

RP2∋

レ

]ょ

り

“

≠

0で

ある

ことに矛盾する。よって、ス

"≠

0で

ある。

次に、降

_"]が

斉次座標

[π]の

表示によらず定まることを示す。これは、

[πl F[υ]の

とき、И

"]=И

υ

lと

なることを示せばよい。["l=レ

]と

す

る と、斉次座標 の定義 よ り

0で

ない実数 んを用 いて、ν

=ん

"と

か ける。 よって、 [スリ

l=[4た

πl=[んスπ

]=[五

あ] を得 る。つ ま り、式(1.4)の定義の正当性 が示 された。 これ を用 いて、射 影変換 を次の ように定める。

２２                         い つ に

す。



 

ヽ

 

 

 

﹂

移             ∈ ヽ点︲こ     司 正     一 一   と   ｂ ＾ じ ん

鮮

報

 

裁

 

馴

て

_ヽ

次

・

_・

２

_．

３

_．

副

第   定       と     定   て レ レ ｐ 〓 ” の て                                         。 ｒ ｌ ｌ Ｌ   ｂ   θ ん     ｂ   ｅ ん   。

ん

ド

同

１＾

Ｖ

 

た

だ

同

︱＾

Ｖ

秘

で ０ 〓 ん ０ 〓 ｇ に つ であるか ら、1.が導かれる。

いて、И

“

]∈ L∞

とする。

よ り、

23 det(■_)≠

0よ

り、づ≠

0で

あ

￠

L∞ (π,ν

)=レ

,ν,1] ＊１ ← ︱ 引 句 〓 陽 Ｌ ビ ｐ ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ Ｃ   ｒ Ｊ ・ ０ λ υ   ｅ   ０ α α ０ ／ １ １ １ ヽ 第

1章

射影平面 また、3.を_{仮定 して θ}

=ん

=0と

す る と、

り、

_{基てのレ]= [￨ ￠}

L∞

について

四

4=じ

_り

_),

つ ア ヽ                                         ” □   一 １ ，       同 陽 Ｌ ビ Ｆ                                   り       と と ヽ           よ     点 〓

司 

  

  

  

 る

  

  

  

。以上



輌

ｑ

 

 

 

 

 

 

 

す

と

贅

 

﹄

却

﹂

ヽ

れ

る

物

ヽ   ∈ ん ∈ 潮 他

区

 

〓

︱

⋮

_誰

︱

︲

到

Ш

．  

_３

．ヵ



 

懃

。            て     非

﹁

協

潮

刷

 

れ

た

_。

_ぃ

Ｌ     ｏ     ｌ ま   ０   ヽ ︱ ︱ ¨ ¨ ・ ¨ ¨ ¨ ¨ ・ ¨ ¨ ¨ ¨ ・ ¨ ¨ ¨ ´ ´ ´ ・ ・ ´ ・ ´ ´ ´ ・      一一 ヽヽヽ．． ヽヽ．． ¨ヽ、．．ヽ・・・・・・・・・・・・´・い¨・・・・・・¨・ ｏ   ≠   １ ‘ ｏ   ｇ   ｃ ∫ ＾

稲

司

ｂ

ｅ

ん

て

_、

ｂ

Ｗ

¨

_泰

螂

勒

“

ｔ

よ

_っ

μ

が   と

２

_．

名

 

 

 

 

 

る

_。

 

 

 

 

 

の

こ

 

点

ヽ

尉

 

 

 

 

“

ぁ

隧

約

で

_、

 

降

 

一

初

降

 

 

 

 

矛

 

 

 

 

稲

債

 

ヽ

無

。

っ

り         り 同 下 る な   て な な が 以 す と   い と             と ３ ．   視 と考 える。す る と、

g=ん

=0の

行列 スで表 され る射影変換 φとは本来

RP2→

RP2で

ぁるが、定理 1.4.2に _{よ りαν平面 内の変換 とも考 えるこ} とがで きる。 例 1.4.3 で表 され る射影変換 φで、″ν平面上の点(″ ,υ ) ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ ｐ ９ １ ０ １ ０ １ ０ ０ ／ １ １ Ｆ ｌ ＼ 〓 Ａ

24 第

1章

射影平面 を移す。す る と、 とな り、 例 ■.4.4 を移 す。 ″ν平面上の点(■ ,ν )

・

_=(α

_″+り

_,Cπ

_十敏め

とな り、

1次

変換 は射影変換 の一種 であることが分か る。 定理

1.4.5射

影変換 についてヽ 次の命題が成 り立つ。

1.2つ

の写像 φ

,σ

が射影変換であるとき、合成写像 φ

oσ

も射影変換

である。

か る。

扮

 

 

で

_、

﹁ ︱ ︱ Ｉ Ｊ                 力       φ 陽 Ｌ ビ ｐ ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ ｐ ９ １

φ

︰

︱

は

Ｍ

一 一         一 一         〓 ν ″ φ 謝   ｂ α ０

動

_ん

呻

﹁

す

る

と

_、

同

国

Ⅱ

１

４

４

１

ト

一 一       一 一       〓 υ ″ φ

第

1章

射影平面

25

2.恒

等写像 も射影変換である。

3.射

影変換 φに対 して、その逆写像 φ

-1が

存在 し、φ-1も射影変換 で ある。 証明

2つ

の射影変換 φ,φ′の式 を、適当な正則

3次

正 方行 列 ス

,3を

用 い て 、

φ

([π

l)=五

[π]

σ

([π

l)=BI"l

とおく。すると、

φOσ (I"1)=ス

(B["1)=ス

IB"]=[ABπ]=ABIπ

]

となる。正則行列の積は正則行列である

(証

明は例えば 卜

]を

参照せよ

)。

よって、ス

Bは

正則であり、φ

oφ

′は定義

1.4.1よ

り射影変換である。よっ

て

1.が

示された。

次に、単位行列

Eで

表される射影変換 売(I"])=珂

_"1に

ついて

売

(1"])=EIπ

]=["l

となり、物 は恒等写像であるので

2.が

示された。

スは正則行列なので、逆行列ス

1が

存在し、五-1で 表される射影変換

φ

1に

ついて

φ

10φ(["1)=ス 1(■["1)=Iス 1■

"]=[π

l

φ

Oφ 1(I誌

_{1)=ス (A 11"1)=レ υ}

「

1"l=["]

となるので、定義よりφ-1は φの逆写像である

(逆

写像の定義については

例 えば13]を参照せ よ)。 よつて、3.が示 された。

□ 合同変換 は平面上の点 を

2点

間の距離 を保つ ように移す変換 であった。

そこで、射影変換が保存する図形の性質について、以下に述べる。

定理 1.4.6射影変換は射影直線を射影直線に移す。

証明

射影直線

Lの

式を、

(α,b,C)≠ (0,0,0)と

なるα

,b,cを

用いて、

α

X+by+cZ=0

第

1章

射影平面 い て al・

"=0

とか け る。 射 影 変 換 φを正 則

3次

正 方行 列 ス を用 い て、 (1・

→

(1.6)

と

す

る

。

こ

れ

は

、

α

= (￨),"= (')と

お

く

と

ヽ

ベ

ク

ト

ル

の

内

積

を

用

φ(["1)=A["]

とおき、φによる

Lの

_{像 φ}

_(L)を

考える。

_["]が

φ

(L)上

の点であるという

ことは、五上のある点

lplを

φで移したものが

[πIで

あるということであ

り、

["]を

逆写像 φ-1で移すと

L上

にあるということと同値である。スは

正則行列なので逆行列五

1が

存在する。よって、φの逆写像は

φ

1(["1)=ス 1lπ]

と表され、

[π]を

逆写像で移した点は降

lπ ]と

なる。

[ス 1"]が

_L上

_にあ

るための条件は、

α・_(■

1")=0

で あ る。左辺 をベ ク トル の内積 の定義 を用 いて整理 す る と、

al。 _{(A lπ)=t alス}ー1"=t at(tA 1)“ =(tA l al)・

"

とな り、 式 (1.6)は (tス 10)。

"=0

と同値 で ある。

tA lo=bと

お くと、 b・

"=0

とな り、これは射影直線である。

(α

≠

0、

幌

1が

_{正則であることから、}

b≠

0と なることに注意する。

)

□

定理 1.4.7異 なる3点

A,B,Cが

同一直線上にあるとき、それらを射影変

換 した 3点 も同一直線上にある。

証明

3点

A,B,Cが

同一直線

L上

にあるとする。直線 Lを 射影変換 φで

移 した直線をφ

(L)と

すると、3点 A,B,Cを 射影変換 した点はφ

(L)に

含ま

□

れている。

第

1章

射影平面

27

異 なる

3点

が同一直線上 にあるこ とを共線 的である といい、 その性 質 を 共線性 とい う。 定理

1.4.83直

線 ι,π,η が一点で交わ る とき、 それ らを射影変換 した3 直線 も一点で交わ る。 証 明

3直

線 ι,m,η が

1点

Xで

交わ るとき、φ(X)は φ(:),φ(m),φ(η)に含 まれ るか ら、φ(ι),φ(m),φ(η)も

1点

φ

(X)で

交わ る。

□ 異 な る

3つ

の直線 が

1点

で交わ るこ とを共点的である といい、その性質 を共点性 とい う。以上 よ り、射影変換 は共線性 と共点性 を保存 す る変換 である とい える。 また、合同変換 で保存 され る長 さや角度 の大 きさにつ いて は、射影変換 では保存 され ない。

1.5

共線

1性

_{につ いて}

この節では、定理1.4.7で述べた共線性 に関 して説明す る。異 なる

3点

A,B,Cの

斉次座標 を、それぞれ [α],lbl,Idと す る。 ただ し、α,b,c∈

R3

であるも

3点

A,B,Cが

同一直線上 にある とい うこ とは、定義 1.2.6よ り、 射影点 を表すベ ク トル α

,b,cが

同一平面上 にある とい うこ とで ある。 こ の とき、

3つ

のベ ク トルについて次の定理 が成 り立つ。 定理 ■.5.lo,bi c∈

R3と

す る。異 なる

3つ

のベ ク トル ar,b,cが 同一平面 上 にあることは、

det(abC)=0で

あることと同値 である。 ただ し、 である。

む

_刊

れ

り

勢 

 

，ｂ〓

ま

_ヽ

縦

０

押

 一

ｂ

 

ボ

０   例 て作 られた行 列の こと に対 して、 (O b C) となる。 本節で は、定理1.5。1を 証明す る。その準備 として、行列式の基本的な 性質 を挙 げる。 ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ 亀 蜘 れ 均 ” 均 乳 い れ ／ ′ ｒ ︲ ︲ ︲ １ ヽ 〓

第 1章

射影平面

28

定理

1.5.2η

次元の縦ベク トルがπ個並んだ行列

(ol

・…

αη

)等

を考え

`

る。こうしたη次正方行列の行列式について次の性質は基本的である。こ

れ らは行列式の定義から示される。

(証

明は例えば 降

]を

参照

)

1.det(…

.雪

.…

ザ ・

…

)=―

det(…

雪

.…

輝 …。

₎

2.det(...Qfbぅ

。

..)=det(・

・

・雪・

・

。

)+det(.…

賃

..。 )

3.dd(..。

_la・

..)=たdet(.・

・ず・

・

・

₎ 定理1.5.2よ り、次 が分かる。 定理 1.5。

3η

次正方行列 に対 して、次が成 り立つ。

, 1.det(・

_…

_%

_―・

_%

_・…

₎₌₀

2 deく

…

Q轟

%…

_{ず …う}

=det←

…雪 … ず …う

証 明 まず、1.について示す。行列

A=(・

…

_%

…・

%

…・)は2つの 列が等 しいので、それ らを入れ替 えても行列式の値 は変わ らない。一方、 定理 1.5.2の 1`よ り、行列 内の列 を交換す る と、 det(■

_)=一

det(■₎ となるので、2det(■_)=0、 すなわちdet(■

)=0で

ある。 次 に、2.について示す。定理1.5,2と定理1.5。

3の

1.を用 いる と det(・ … α

j+た

%

…・

%

…°₎ =det(・ … cぅ 。…

%・

…

)+ん

det(・ …

%・

…

%・

…₎ =det(・ … 0を 。…

%・

・。) とな り、示 された。

□ 以上 を用いて、定理 1.5。1について証明す る。 まず、異なる

3つ

のベ ク トル

0,b,cが

同一平面上 にある とす る。 この とき、

3つ

のベ ク トル は

1次

従属 なので、

c,b,cの

どれかが他の

2つ

の

1次

結合で表 され る。例 えば

c

が

0,bの 1次

従属 である とき、実数3,tを用いて

c=sa tt

ιb

第

1章

射影平面

とか ける。定理1.5.2と定理1.5.3を用 いて整理す る と、

det(abC)=det(a・

b Saltttb)

= det(a b sa)十

det(al b tb)

= sdet(a b al)十 tdet(a b b)

=0

とな る。 αや

bが

他 の

2つ

の

1次

結 合 で あ る場 合 も 同様 で あ る。 よ って 、

det(abC)=0が

示 された。 逆 に、

det(abC)=0の

とき、α,b,cが同一平面上 となることを示す ために、次の準備 をす る。 定義

1.5.4図

1.9のような

3つ

の異なるベ ク トルo,b,c∈

Nで

作 られ る 平行六面体 を、

P(abC)={Sa+tb+,cls,t,υ

∈

_[0,11) とお く。

P(abc)の

体積 を

vol(abC)と

お く。 図 1.9:3つのベ ク トルがつ くる平行 六面体 例 ■

.5.53つ

のベ ク トル

o,b,cが

同一平面上 にある とき、 また

o,b,cの

うち1つで も

0で

ある とき、

3つ

のベ ク トルがつ くる

P(abc)は

平行 四辺形か線分か点 とな る。 よって この ときは、

vol(abC)=0で

ある。 29

第

1章

射影 平面 補題

1.5.6♂

=(￨),br=

1.vol(α ′

b7ご

_)=lαbCI 2.det(α′ b′ ご

_)=α

bc 証明 平行六面体P(α′b′ ご)は等積変形す ると、

3辺

の長 さがそれぞれ lαl,lbl,ICIの直方体 にす ることがで きる(図 1.10参 照)。 よって、1・ が得 ら れ る。 また、行列式の定義 よ り、2.は 明 らかである。

□ 補題1.5.6の αl,br,crでは、vol(a′ b′ → =ldet(a′ b′ Cr)￨であつた が、一般 の

(abc)に

_{っいても次が成 り立つ。} 命題 1.5。

7o,b,c∈

Nに

ついて、次が成 り立つ。 ldet(a・

b c)￨=V01(a b c)

命題1.5。

7を

証 明す るために、 まず は行列の変形 について示す。 定義 1.5.8η ×

m行

列 ス を η次元 の縦 ベ ク トル を

m個

並 んだ もの を考 え、

A=(01…

。 α

m)と

お く。 この π×π 行列 ス に対 して、次 の

3つ

の変形 を考 え、 これ を列基本変形 とよぶ。 1.ス を構成す る縦 ベ ク トルの うち

2つ

を入れ替 える。 (・… αを 。…

%。

…

)→

(・ …

%・

… α_・ ・・・) 2.ス を構成す る縦 ベ ク トルの1つをスカ ラー倍す る。 (…・ α

`―

。

)→

(・… たα_・ ・…) 3.スを構成す る縦 ベ ク トルの1つをスカラー倍 し、別の縦 ベ ク トル に 加 える。 (・… 0を 。…

%

…。

)→

(・… αづ+た

%

…°

%

…°) 次 に以下の補題 を示す。 1.5。

9全

ての α,￨,c∈

R3に

対 して、 あ る α′

=

が あ って、次 が成 り立つ。

￨

30 つ エ エ り 成 カ 次 て し つ ア ヽ ヽ １ ︲ ′ ノ ＊   ＊   Ｃ ／ １ １ ヽ 〓 ご ヽ ｌ ｌ ノ ＊ ｂ Ｏ ／ １ １ ＼ 題   ＊ヽ ＊︲ ｃノ 補   ／ １ ヽ 〓 ご ヽ ｌ ｌ ノ ＊ お ｖ ＾ υ ／ １ １ ＼ 〓 ν ヽ １ １ ノ α ０ ０ ／ １ １ ヽ

第

1章

射影平面

1.ldet(a b c)￨=ldet(α

′

b

′ご)￨ 2.vol(a b C)=VOl(al′ b′ Cr) 証明 π次正 方行 列 に対 して列基本変形 1.と 3.の み を有 限 回行 うこ と で、上三角行列 に変形で きる(定理A.1.1参照)。 よつて、3×

3行

列 五

=

(abc)に

ついて も、列基本変形1.と 3.によって上三角行列 に変形で きる。この とき、行列 〃 の列 を第1列か ら順 に縦ベク トル α′,b′,ご とす る。定理1.5.2の 1。 と定理 1.5.3よ り、行列 ス と上三角行列 ″ の行列 式の関係 は det(■′

_)=土

det(■₎ となるので、

_{ldet(abc)￨=ldet(a′}

br cr)￨は成 り立つ。 行列 を上三角行列 に変形す る際 に用 いた列基本変形1。 と3.による平行 六面体

P(abc)の

体積

vol(abC)の

変化 について示す。列基本変形1. は行列の列を入れ替 えるとい う操作であった。平行六面体

P(abc)は

定 義 よ り、それ を作 る

3つ

のベ ク トルの並びを入れ替 えても、同一の平行六 面体 となる。よって、列基本変形1.を

(abc)に

行 っても、

_Pl(abC)

は変化 しない。 また、列基本変形 3.は 、 ある列の実数倍 を他 の列 に加 える とい う操作 であった。平行六面体

P(abc)を

をつ くる

3つ

のベ ク トルの うち、1つ のベ ク トル に他 のベ ク トルの実数倍 を足 し合わせ て も、つ くられ る平行 六面体 の体積 は変わ らない。例 えば、平行六面体

P(abc)を

つ くるべ ク トル αに

bの

た倍_(た は実数_)したもの を加 えるとす る。し,cを辺 とす る 面 を底面 にして考 える と、

cに

し,cに 平行なベク トルを加 えても、平行六 面体 の高 さは変わ らない。 よつて、

VOl(a+ん

bbC)=vol(abc)

が成 り立つ。 以上 よ り、平行六面体 に列基本変形1.と 3.と同様 の変形 を行 って も、 その体積 は変わ らないので、 31 □ が成 り立つ。

V01(a b C)=V01(a′

br cr)

第

1章

射影平面

32

よって、補題1.5.6と補題1.5.9よ り、

ldet(a b c)￨=ldet(α′ b′ Cr)￨=V01(al′ b′

Cr)=vol(a b c)

が成 り立ち、命題 1.5.7は示 された。

定理 1.5.1の証 明 に戻 る。命題1.5。

7が

真 であるので、

det(abc)=

V01(abC)が

成 り立つ。

det(abc)=0の

とき、

vol(abc)戸

0、

つ ま り平行六面体 の体積が0とい うこ とにな り、ベ ク トル

o,b,cは

同一 平面上 にあるこ とが示 された。 定理 1.5.1よ り、次が成 り立つ。 系 1.5。10 al,b,c∈ Iざ とす る。この とき、 [α],Ib],III C・ι」

P2が

同一射 影直線上 にある とい うことは、

det(a b C)=0

が成 り立つ ことと同値 である。

33

第

2章

2次

曲線の分類

この章では、″ν平面上の

2次

曲線 を斉次化 し、射影変換 で移す ことを 考 える。任意 の

2次

曲線 はあ る射影変換 を用 いて、 ある数種類 の

2次

曲

線のうちの

1つ

に移すことができる。特に空でなく、非退化 とよばれる

2

次曲線は、射影変換で単位円に移 される。さらに射影変換を合同変換や

アフィン変換に限定することで、2次 曲線全体をより詳 しく分類すること

を考える。

2。

1 2次

曲線の式 と射影変換

例 えば、

3次

正則行 列

A=

で表 される射影変換 β

と双曲線 ″ν

-1=0の

グラフについて、このグラフを射影平面内で射影

変換 βにより移すことを考える。″ν

-1=0の

斉次化は、

Xy_Z2=0

で あ り、

F(X,MZ)=Xy一

Z2と

ぉ く。 こ こで 、

F(X,乙

Z)=0の

_{表 す}

RP2内

の曲線を

pと

する。つまり、

Pを

βで移した曲線β

")を

表す式

を考える。β

(p)上

の点

lX,xZ]は

、βの逆変換β

-1で

移すと、

p上

にあ

り、また逆にβ

1で

移して

.p上

_{となる点はβ}

_(p)上

にある。よって、β

(p)

の式は

ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ ０   １   ０ ０ 〇 一． １ ０ ０ ／ ｆ ｉ ︲ ｌ ヽ

レ

ド

レ

ス 〓 ヽ １ ︲ ｌ ノ ﹁ ︱ ︱ ｌ ｌ ｌ ｌ Ｊ

レ

ド

レ

／ ｆ ｉ ︲ ｌ ＼ β ０ 〓 ヽ ︱ ︱ ︱ ノ ヽ ｌ ︲ ｌ ノ ﹁ ｌ ｌ ｌ ｉ ｌ ｌ ｌ Ｊ

レ

ー

_ｙ

レ

／ ｆ ｌ ｌ ｌ 、 一 ／ ︲β ｋ Ｆ (2.1)

第

2章

2次

曲線 の分類 であ り、 であるので 式 は

F(X,一

Z,y)=一

XZ一

y2=0

とな る。 一

XZ一

y2=0の

非斉次化 は 一π一ν

2=0で

ぁ る。 つ ま り、″ν 平面 上 で見 れ ば、放物 線 ″

=一

ν2のグ ラフ とな る。 この よ うに、射 影 平 面 内で

2次

曲線 に適 当 な射影 変換 を施 す と、 異 な る種 類 の

2次

曲線 にす る こ とがで きる。

さらに一般化 して考えよう。まず、定理

1.4.5よ

り次が成 り立つことに

注意する。

定理

2.1.12次

曲線を射影変換で移すことについて次が成 り立つ。

1.ど んな2次 曲線に対しても、それを自分自身に移す射影変換がある。

(恒

等変換の存在より自明

)

2.2次

曲線

Pが

射影変換でル に移るならば、ル も射影変換で

pに

移

すことができる。

3.2次

曲線 ♪が射影変換で ル に移 り、ル が射影変換で

r″

に移るな

らば、

pは

射影変換で

Frrに

移すことができる。

定理

2.1.1は

、“射影変換で移 り合 う

"と

いう関係が、2次 曲線に関する同

値関係 となることを主張 してる。 よって、射影平面内の一般の 2次 曲線

を、

｀

射影変換で移 り合 うものは “同じ

'1と

_{見なして、分類を行 うことを}

考える。

まず、平面上の 2次 曲線を表す式は一般に

∫

(″ ,ν

)=α″

2+b″

υ十の

2+απ

+cυ

+∫

=0

とかける。これを斉次化すると、定義

1.3.1よ

り

F(X,К

Z)=α

X2+bXy+cy2+こ

χ

Z tteyz+∫

Z2=0 (2.2)

34

β

1

づ

司

レ ー_ｙ レ ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ノ ０ 一． ０ ０   ０   １ １   ０   ０ ／ ｆ ︲ ︲ ｌ ＼ 〓

レ

ド

レ

一 ス 〓

︱

＾

鯛

︱     ヽ

第

2章

2次

曲線 の分類

35

とな る。 式 (2.2)を 行列 とベ ク トルの積 の形 に直す と

F(X,ス

Z)=(XyZ

とな る。 つ ま り

_"=

式 (2.2)は

F(a)〒

ι “

M"=0

と表される。

Mの

ように、

tM=ν

となる行列を対称行列という。

次に、

Fの

表す

2次

曲線

pに

適当な射影変換βを施すことを考える。

射影変換βを

3次

正則行列

Aを

_{用いて、β}

_(["1)=川

π

_]と

する。このとき、

射影変換βで移した曲線β

(p)の

式は、

F(■

1")=t"t(■

1ソ

И五

lπ

=0

_●

.4) とな る。 つ ま り、

2次

曲線 を射影変換 で分類す る とい うことは、「

2つ

の対称行 列 ν

,Nが

、ある正則行列 ス を用 いて

Ⅳ

=t(A 1ン

Иス

1

のときは “同じ

"」

として、

3次

対称行列全体を分類することと本質的

にはほぼ同じ1で ある。そのために、与えられた対称行列

Mに

対 して、

t“ 1)ν

_五

1が

_{簡単な形の村称行列となるスを探すことを考えたい。}

と く お と ヽ １ １ ノ ｄ 一 ２ ■ ２ ｒ Ｊ ｂ 一 ２ Ｃ ｃ 一 ２ ａ ｂ ， ａ 二 ２ ／ １ １ ヽ 〓

ν

ヽ ｌ ｌ ノ Ｘ ｙ Ｚ ／ １ ヽ

●。

3)

●

.5)

2.2

対称行列の対角化

以下、行列の成分は全て実数とする。

定義 2.2.1 12次 曲線の式F(X,ス の

=0に

、0で ないスカラーんを乗じて た

F(X,4Z)=0と

しても明らかに同じ2次曲線だが、そのような自明な式変形を除いてという意味。 ︲ ヽ つ よ ヽ つ ヽ と 対角行列とし ゝ_つ ヽ ｌ ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ′ ノ

０

⋮

０

％

列

を

_、

¨   ・_． ・_． ０ 行 ． ． ．     る

０

の

。

_・

_．

一

猜

ち   α_ｌ Ｏ 。 ︰ ０   〓 ゝ つ   ／ ′ ｌ ｌ ｌ ｌ １ １ １ ＼   一 η π                     に

第

2章

2次

曲線 の分類

36

本節で は、れ次対称行列 ν に対 して、次 が成 り立つ ことを示す。 定理 2.2.2η 次対称行列

Mに

対 して、 t(ス 1)■_イス1 が対角行列 とな るような η次正則行列 ス が存在 す る。

´ まず は、証 明のために必要 な定義 を示す。

定義

2.2.3ν

をっ次実ェ方行列、λを複素数とする。λが″ の固有値で

あるということは、

M"=λ

π をみたす

0で

ない π次複素ベ ク トル πがある とい うことで ある。 この と きの “を

Mの

固有値 λに対す る固有ベ ク トル とい う。

"が

入に対する固有ベク トルな ら、■のスカラー倍 もまた 人に対す る固有 ベ ク トルなので、常 に

_￨"￨=1と

なる固有ベ ク トルが存在す ることに注意 す る。 命題 2.2.4λ は η次実行列

Mの

固有値 で、実数 とす る。 この とき、λの 固有ベ ク トル として、実ベ ク トル “∈ Rπ が存在す る。 証明 定義2.2.3よ り、

νυ=λν

(2.6)

となるν∈

Cれ

がある

_(υ

≠

0)。

行列ν

_,ベ

クトルυに対して、その成分

を全て複素共役にした行列やベクトルを、

7,フ

箸で表す。式

(2.6)の

複

素共役を考えると、

Mは

実行列、λは実数なので、

νヮ=λフ

(2.7)

となる。ここで、式

(2.6)、

式

(2.7)の

両辺を足すと

,

ル頃υ

tt

τ

)圭

λ

(υ

+7)

となる。υ+τ

="と

おくと、

"∈

Rπ

である。

ここで、π≠0で あれ

￨よ

示すことはない。

"=0の

場合、り

+フ

=0よ

り、υの成分の実部は全て0で ある。よって、虚数単位をうとして、π

′∈

Rれ

を用いてυ

=`π

′と表せる。ν≠

0よ

り、

"′

≠0で ある。よって、式

(2.6)は ″_(ね′

_)=λ

_(`π′₎

第

2章

2次

曲線の分類 とな り、両辺 を づで割 る と、 M"′

=λ

“ ′ とな り、 示 され た。

□

以下、

_aoは

た次単位行列とする。特に、

(た)を

省略した場合、Eは η

次 単位 行 列 とす る。 固有値 に関 して次 の定理 は基本 的 で あ る。証 明 は例 えば141を参 照。 定理

2.2.5実

数 λが π次 正 方行 列

Mの

固有値 で あ るた め の必 要 十 分条 件 は、人が、 detυ

И一人

E)=0

をみたすことである。

定義 2.2.6正 方行列

Mに

対 し、未知数

tに

関する方程式

detCИ

一ι

_コ

)=0

を行列 ν の固有方程 式 とい う。 定理 2.2.7η 次実正 方行 列 ν の 固有値 は重解度 を込 めて 免個 あ る。 考 える と、 37 ａ ′ ・     え         □

０

 

 

考

 

 

 

ｏ

を         た ０       式         れ

ヽ

︱

_〓

Ｊ

剛

 

＞

_〓

ｏ

”

Щ

 

 

 

あ

とヽ



 

“

で る     と

38 第

2章

2次

曲線 の分類 定義 2.2.8η 次実行列 スが

ば、■

3も

直交行列である。

四

 

 

始

η た ベ 並

酢

ド

を   。９ π ０ ヽ     η   。α             ヽ き   を   ¨       り

費

 

九

′Ｌ

 

 

 

動

た   ¨ 一 一       値 み   Ｑ ス       同 を     列       と ヽう         ．■

債

２

_．

２

ム

 

リ

_ヽ

２

_．

２

る

_。

同 理 明   な 理 あ       η 明 と 定 証   と 定 で       の 証

AB=tBB=E

□ も直交行列 ヽ ｌ ｌ ノ ０ ス ー   ０ ／ １ １ ＼ 列 行 次 ＋ η ざ ヽ １ ■ ︱ ︱ ︱ ′ ノ 0 0 1 ヽ ｌ ｌ ノ Ｏ Ｅ ｌ ０ ／ １ １ ＼ 〓 ヽ ｌ ｌ ノ ０ ■ １ ０ ／ １ １ ヽ ヽ ｌ ｌ ノ Ｏ Ａ

／

_１

ほ

Ψ

た

か

紳

ォ

２

_．

８

ょ

１ ０   ２

７

１

へ

逓

／ ｆ ︲ ︲ ︲ ︲ １ ヽ る あ で と こ の 列 行 次 ＋ □ とな り、

第

2章

2次

曲線 の分類

39

必要 な定義 を示 したので、本題 (定理2.2。

2の

証明)に 入 る。 定理 2.2.1l η次実対称行列の固有値 は実数 である。 証明 η次実対称行列 ν の固有値 を 入∈

Cと

す る。 この とき、

0で

ない ある η次複素ベク トル

"を

用 いて、 ν

"=λ

"

と表せ る。 この両辺の複素共役 を考 える と、動町

=所

である。

Mは

実行列なので、ア

=Mと

な る。 また対称行列 よ り、

tV=ア

と なる。 よって、 アπ

"=t(λ

π)π

=t(ν

π)"=tttι

mt=tπ

ν

_"=tπ

λ

"=λ

tT" (2.10)

￨と_、 ……

+=融

‰=lπl12+… .+￨″れ12≠ 0 とな り、式_(2.10)を tπ

"で

割 る と、天

=λ

とな る。 よって、人は実数 で ある。

□ 定理 2.2.12π次実正方行列

Mの

固有値 λl,・ …,λれはすべて実数 とす る。 この とき、次 の ような η次直交行列 スが存在す る。 A lM「ス

=

証明 ηに関す る帰納法で示す。

_.n=1の

場合 は、ν =(a),ス

=(1)と

お けば、

A-lM五

=(α)とな り、明 らかである。 π

>1と

し、π

-1次

までの行列 について、定理 の主張が成 り立つ とす る。λlを ν の固有値、blを 入1に対す る ν の固有ベ ク トル とす る。 この

第

2章

2次

曲線の分類

40

とき、

_lbll=1と

してもよい。

blを

含む

Rれ

の正規直交基を

_{bl,・

…

,bπ}

とし

_(blを

含む

Rれ

の正規直交基が取れることについては、例えば

F]を

参照

)、 とす る と、

3

また、

blは

となる。 ここ 直交 している 式_(2.11)は、

となる。

このとき、η次単位行列

El→

とη

-1次

_{単位行列 長π}

_⇒

を用いて、ν

の固有方程式を考える。行列式の積の性質

(141のp.52に

ある定理

3.3.5を

四

 

 

押

よ

_つ



て

_、

 

 

四

ｂ

．

_，

秘

た 、 で

Ａ

り

 

 

 

 

 

 

 

ま

詢

ヽ

_家

 

 

硫

 

 

 

 

¨



 

Ａ

か       。       ・ ス υ             ¨                 ＊           一

は

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

で

_ヽ

い

け