﹂ 印 暖

＜ ａ ＞

である。

で あ る こ とか ら、

91b2 α

2bl<0

を得 る。

(b)Q<0の

^{とき、I彗1線0ス の式 は ν}

^=幾

:″

で^2ちる。 去

tBは

直線

OAよ

り上 にあ る_(図 3.10参照_)。 つ ま り、

賜>生^bl

αl

αib2 α

2bl<0

を得る。

(C)αl=0の

^{とき、直線}

^0ス

はυ軸である

(図 3.11参

照

_)。

α 2>0

のとき、点 3は υ軸 より右にある。つまり bi>0で ある。ま た α 2<0の ^{とき、点 Bは} ν軸 より左にある。つまり bl<0で

ある。いずれの場合もα 2bl>0よ ^り、

が成 り立つ。

α_lら

2 α 2bl<0

第

3章  

重心座標 と三線座標

以上 よ り、点0,ス

,3が

時計 回 りに存在 す る ときは、

al×

b=α

_{lb2 α}

2bl<0

で あ るか ら、α×

b=―

_(△

OABの

面 積 )と な る。

―――――――― ―)

図^3.9:α

l>0の

^とき  図^3.10:α

l<0の

^とき  図^3.11:α

l=0の

^とき

また、点 0,ス

,3が

反時計回 りに存在す る ときは、時計 回 りに存在す る ときに仮定 した点

Bの

位置 を直線0ス に関 して反対側 にすれば よい。 つ ま り、_(a)〜(C)の不等 式の不等号が全て逆 にな るので、

c×

b=α

_{lb2 α}

2bl>0

となる。 よって、α×

b=(△

OABの面積_)となる。          ^□

定理^{3。 4。}2を 用いて、△ス

Bσ

の

3頂

点に対 して面積 を符号付 きで定める。

定義

3.4.3△

五

Bσ

に対 して

μ

(△

ス Bσ )=:崩 ^×Й砂

と定め、これ を △ス

Bθ

の符号付 き面積 とよぶ。符号付 き面積 を考 えると き、△ス

Bσ

は単 なる図形 としての三角形 を指 しているので はな く、頂点 の順序が指定 された三角形 を指示 してい ることに注意せ よ。

ちなみに、

μ(AABσ )=:浦 ^×Й砂

=:(b‐

^―α)× (C― a)

=:(b×

^{C一 b× α一 α ×c)}

=:(1× b+b×

^{C tt c× α})

78

(3.14)

第

3章

 重心座標 と三線座標      79

と表示す ることもで きる。

定義^3.4:3を用 いて、次 を証明す る。

定理 3.4.4△ =△ α ^bcお よび P￠ 五∞となる点Pに 対して、点Pの △

に対 す る重心 座標 を、

とす る。 この とき、 △Pス

B,△ PBσ

_,△Pσス の符号付 き面積 の比 は、

μ(△

PA3):μ

_(△

PBσ

_):μ(△

Pσ

■

)=J:π

^:η

で あ る。

証 明

 P￠

^{L∞ よ り、}

J+m+η _=1と

し、正規 化 され た重心座標 で考 え る。 定理 3.2.3よ り、 点

Pの

位 置 ベ ク トル は、

P=Jal+π

^btt ηc

で あ る。 この とき、

μ

(△PA3)=:pЙ

^×

PB

=:{(1‑J)五

一π

b̲nc}×

_{一Jα

+(1‑π

〕_)b一 ηC}

=:π

(a・

× b+b× ,+c× ^α

⁾

=η

_μ(△

ABσ

₎

とな る。μ(△

PBの

,μ(△Pσ_{ス)も 同様 に、}

μ(△

PBσ

_)〒 ^Jμ_(△ス

Bσ

)

μ(△

Pσ

■

)=π

^μ(△

ABσ

)

となる。 よって、

μ(△

PBσ

_):μ(△Pθ_ス):μ(△

PA3)=J:m:π

が示された。

□

第

3章

 ^{重心座標 と三線座標}

3。

5 

三線座標

△

abcに

対 して点

Pが

ある とき、△α

bcの

各辺か ら点

Pま

での距離 を 考 え、 これ を用 いて新 たな座標 を定 めたい。 そのために、点 と直線 の距 離 に向 きの考 えを取 り入れ、定義す る。

平面上の点

Pと

直線

Bθ

との距離 につい 次の記法 を導入す る。点

Pか

ら直線

Bθ

(図3.12参 照_)。 この とき、

(Pは Bσ

に関 して ■ と同 じ側)

(Pは Bσ

に関 して ス と逆側)￨

について も、 同様 に

(Pは

^{θス に関 して}

Bと

同 じ側)

(Pは

^{σス に関 して}

Bと

_逆側)

(Pは A3に

関 して σ と同 じ側)

(Pは A3に

関 して σ と逆側)

とする。

いま、△ ABσ について、■

_,3,σ

は反時計回 りに配置されていると仮 定する。このとき、定義

^3.5。1を

用いて

'△

PBσ の符号付き面積を考える と、点 Pが 直線 Bθ に関 して点 ス と同じ側のとき、△ PBσ _{は点 民}

B,σ

が反時計回 りにあるので、

μ(△

PBσ )=:IBθ

^l。 IP〃

￨=:IBσ

lo h缶

(P)>0

である。 また、点

Pが

直線

Bσ

に関 して点

Aと

逆側 の とき、△

PBσ

は 点 二B,σが時計 回 りにあるので、

μ(△

PBσ )=:IBθ

^l。 ←IP∬

￨)=:IBσ

卜^haIP)<o

である。 この よ うに、^hi揚(P)と μ(△

PBσ

_)の符号が同 じなので、定義

&5。1を 用い ることで、△

PBσ

_{の面積 は点 二}B,σの並びに関わ らず、統 一的に

80

３ 向 し       記 義   ヽ下           表 定 て へ          と

μ(Z▲P13(9)=:￨」Bθ_lo httσ(P) ^(3.15)

第

3章

 重心座標 と三線座標

と表 す ことがで きる。 同様 に、△Pσ

A,△

PABの面積 も、

関わらず、

        

μ(△Pθ幻^{=:￨(フAIohttA(P)}

81

3点

の 並 び に

ズ△

^P■

0=:降 到・塊 ぱ

⁾

と表すことができる。なお、■

,3,σ

の配置が時計回りのときは、

のように、

^hi錫_(P)と

μ

(△

PBの の符号が逆となるから、

μ (△ PBσ )=一

:IBσ ^卜

h缶 (P)

μ(△Pσ幻

^=― _:rИ

卜

har)

μ(ZttPA3)==一_:￨五BIohttB(P) と表す ことがで きる。

(3。16)

(3.17)

図 3.13

(3.18)

(3.19)

(3.20)

図

3.12:A,3,σ

が反時計 回 りの とき 図

3.13:A,3,σ

が 時計 回 りの と

(μ(△

PBσ )>0)      (μ

_(△

PBσ )<0)

定義

3.5.2△ =△ ^abcに

^おいて、P=

を

とす る。 この とき、 点

P

P=

と表 し、 これ を

Pの

三線座標 とし

彫 ヽ う ︒

1現 △

８ ２

ドキュメント内 Kiepert双曲線について ： 射影幾何学の考え方を用いて (ページ 78-83)