こ Ｏ ｂ ０ こ
α ０ ０ ０ １ る ｔ
せ ｄｅ 表 ヽ と て
第
2章 2次
曲線 の分類il)次 に、det(」‰)=0の ときを考 える。F′(")の式の形 を考 える と、
=0よ り、非 α≠ 0,b=0 ハ ﹁
州 劃 て︑ ワ
０ ０ ｇ よ っ
枠 ヽ ｄ ｅ ｔ ｌ
で あ る ︒
︱∩ ド ん ︶ 臓 種
％ の︶ め
０ ０ の ２ ２ 線
２ ２
＜ Ｚ
＜ 曲 ｙ 次
ｇ
２ ２ ヽ
＞ リ
＋ Ｚ の
フ 蜂 う
ｌ
ヽ
Ａ
ノ︱ 変
十
離
を 一一一一 一一
と︑ Ｆ な 用 を る と を 式
F′′
(π
)=α X2+29yz=0
とな る。 式 (2.27)を 非 斉次 化 す る と、
̲ απ2̲.29γ ==0
(2.27)
第
2章 2次
曲線 の分類 53と なり 、 こ れ は 放 物 線を 表 す 式ν =』
:z2でぁ る 。 発 <0の と き は 、
原 点 中心 に180° 回転 させ る と、
発
>0の
ときの放物 線 と同 じとす る こ とがで きる。□ 定理 2.3.6よ り次 が示 され る。
]:』
〔 」竃 翼帆露「阪 :鯉 nlL難
がで きる。
1.det埼 >0の
とき、楕 円 た■2+り 2=1 (た
,ι ∈R,た >0,ι
>0)
2.deti名
<0の
とき、双 曲線 た″2̲ιν2=1(た ,I∈ R,た>0,7>0)
3.deJ4=0の とき、放物線 ν=J″
2(た
∈R,λ>0)
系2.3.7に よ り、次 の定義 をお く。
定義
2.3.8射
影平面上の空でない非退化 な2次
曲線 を表 す式 を、2次
対 称御 lJルら、2次
力iψベク トリレt、し∈
Rを
用 いて、 F(・)=t"(七
夕 i)"とす る。 この とき、次 の
3つ
を定める。1.楕
円 とは、空でない非退化 な2次
曲線 の うち、deJん >0で
ある式F(")=0で
表 され る2次
曲線 の ことである。2.双
曲線 とは、空でない非退化 な2次
曲線 の うち、det埼 <0で
ある 式F(")=0で
表 され る2次
曲線 の ことである。3.放
物線 とは、空でない非退化 な2次
曲線 の うち、det埼 =0で
ある式
F()=0で 表される 2次 曲線のことである。
アフィン変換は、合同変換を含み、さらに図形を座標方向に拡大・縮小す ることができる。例えば t放 物線 υ=た■ 2(λ ∈噂 の斉次化
yz=んィ
2について、アフイン変換
Ｘ ｙ 一た Ｚ
Ｆ Ｉ ｌ ｉ ｌ ｌ ｉ ｌ Ｌ ヽ
︱
︱
︱ ノ
﹁ ｌ ｌ ｉ ｌ ｉ ｌ Ｊ
レ ド レ
／ ｆ ｉ
︲ ｌ
＼
∫
第
2章 2次
曲線 の分類 54を用 いて変換 す る と、変換後 は放物線yz=x2と な り、非斉次化す る と、ν
=″
2と なる。つ ま り、定理2.3.6を用 いて、合 同変換で移 した2次
曲線 の式 に対 して、式の係数 を 1と す るよ うに拡大 。縮小するアフィン 変換が存在す る。 よって、次が成 り立つ。系
2.3.9任
意の空でない非退化な2次
曲線 は、適当なアフィン変換 によっ て次 の3つ
の うちの1つに移す ことがで きる。1.単
位 円 ″2+ν
2=12.双
曲線 ″2̲υ
2=13.放
物線 ν=″
2 .2。 3。
3 無 限 遠 直 線 と 2次 曲 線 の 交 点 の個 数 に よ る分 類
系
2.3.7で述べたように、空でない非退化な 2次 曲線を合同変換で分 類すると、大きく楕円 。双曲線・放物線の 3種 がある。また、 2次 曲線
燎
1ま基 ￨)二 賣 Lttli[ぅ 17嘗 11影 ￨(:泄 う 〔 L富 ∴ ll
は、detル名 を用 いて、
2次
曲線 の種類 を楕 円 。双曲線・放物線 と定義づ け た。一方、楕 円 。双曲線 。放物線 とい う3種
の2次
曲線 を、無限遠直線 と の交点の個数 によって特徴づ けることもで きる。定理
2.3.10射
影平面上の空でない非退化 な2次
曲線 と無 限遠直線 との 交点 について、次が成 り立つ。1.無
限遠直線 と楕 円の交点 は0個 2.無
限遠直線 と双 曲線 の交点 は2個 3.無
限遠直線 と放物線 の交点 は1個
証明 任意の空でない非退化な2次 曲線 pを 表す式
F(π)=α
X2+by2+cz2+ZXy+2eyz+2∫
ZX=0に 、無限遠直線の式
Z=0を代入す ると、
α
x2+2こXy ttby2=0
(α,b,a)≠ (o,o,o) (2.28)第
2章 2次
曲線 の分類 55となる。 この とき、輸 =(:1)i曇
員れき」lF場
合分 けによって、
式(2.28)を みたす
X,yの
組 の個数 を1.deJ島 >0の
場合、つ ま りα2̲α
b<0の とき、0<α2<α
bょ りα,bは 同符号である。
(a)α,らが ともに正 の とき、式(2.28)を平方完成す る と、
α
(X+:y)2+げ
y2==0
となる。αb一 ′
>oよ
り、これはy=0かつX ttgy=0を
示 している。 つ ま りX=y=OFあ る。
よって、
￨:￨=￨]
と な る 。 し か し 、 そ の よ う な
￨キ
￨∈
RP2は 存 在 し な い の で 、
。 『争 ・ 撃
[二も 12緞 喜 辺 に ‑1を か け る と 、
(̲α
)x2+2(一
α)Xy+(一 b)y2=0
となる。 この とき、α′
=一
α,メ=一
ら,♂=一
dとお くと、α′,メは ともに正であ り、α′
2<α
′b′ よ り、α,bが ともに正の ときと同 じである。
以上 よ り、
det埼 >0の
とき、楕 円 と無限遠直線 との交点 は0個
で ある。2.deJ島 <0の
とき、つ ま りα2̲α
b>0の とき、式(2.28)の α,ら に ついて場合分 けをす る。(a)α
≠ 0の とき、式
(2.28)を因数分解すると、
α (X十
二三二
4「:≡三
y)lX+α+Vα 2̲α by)〒
0i「 製 見 詰√馬葛こ毎驚憲承 看 :鳥
第 2章 2次 曲線の分類 56
る。よって、2次 曲線 pと 無限遠直線 との交点は、
の 2点 である。
(b)b≠ 0の とき、式
(2.28)を因数分解すると、
b(y̲1生
三二『 ≡三∠ 三二x) (y+α +yα 2̲,bx)=0
lЁ 「姜 こ う ∫
1、:′Fj百寸 竜 夏 竜 勇
giy:うだ チ 」
fiヾ虐 :
れ る。 よって、
2次
曲線pと
無限遠直線 との交点 はの
2点
である。(C)α =b=0の とき、式(2.28)は、
2己Xy==0
とな る。 つ ま り、X=0ま た はy=0で あ る。 よって、 この
場合も2次 曲線 pと 無限遠直線のと交点は
の2点 である。
以上より、 det埼 <0の とき、双曲線 と無限遠直線との交点は2個 である。
3.deJ4=0の
場合、つまりα
b一′ =oの とき、α 2=α
bでぁる。
第 2章 2次 曲線の分類 57
(a)α
≠0の とき、
b=手でぁり、式
(2.28)に代入すると
α
x2+2こ
χy十
二y2=0a7
α
(X+:y)2=0
とな る。 つ ま り、
X+三 y=0で
ぁ り、2次
曲線pと
無 限遠 直α
線 との交点 は
である。
(b)b≠ 0の とき、
で あ り、 式 (2.28)はb(X+:y)2=0
り、 X+:y=0で あり 2次 曲線 Pと 無限遠直線
である。
(C)α =b=0の とき、α
b=α
2ょ りα=0と
な る。 これ は、式 (2.28)の (α ,ら,α)≠ (0,0,0)の条件 に反す る。以上 よ り、
det埼 =0の
とき放物線 と無限遠直線 との交点 は1個
で ある。□
ここで、射影平面上の双曲線と無限遠直線の交点の意味を考えよう。標 準形 Ii一 考 チ
=Z2(α,b≠ 0)で表される双曲穆 pに ついて無限遠直線
との交点を考える。クの式に
Z=0を代入すると、
1:一 子
=0α
=丁′
嘲 司
レ ー ｙ
﹂ ｏ
嘲 司
レ
ド ｐ
となる。つ ま との交点 は
第
2章 2次
曲線の分類となる。つ ま り、
子 一
子=o または(
であり、双曲線 Pと 無限遠直線との交点は
で ある。 ここで式(2.29)は双 曲線
pの
漸近線 の式であ る。 よって この場 合、双 曲線 と無限遠直線 との交点 は、双 曲線 の漸近線 と無 限遠直線 との 交点 と一致す る。また、一般 の双曲線F(π
)=0に
おいて も、同様 の こ とがいえる。一般 の双曲線F(π)=0は
、系2.3.7よ り、 ある合 同変換 βによって、標準形黒 鷲 専 婚 を 1「 」 F電 基 顔 :I[fFi3を 言
gfiち信 蓼
ZF晉:
直線
Ll,Lちを一般の双曲線 F(a)=0の 漸近線と定める。標準形の双曲 線 と無限遠直線との交点は、逆変換 β
‑1によって、一般の双曲線と無限 遠直線との交点に移る。また、標準形の双曲線の漸近線 Ll,L2と 無限遠 直線との交点は、逆変換β
‑1によって、一般の双曲線の漸近線
Ll,島と 無限遠直線との交点に移る。標準形の双曲線のとき、双曲線と無限遠直 線との交点は、双曲線の漸近線 Ll,L2と 無限遠直線との交点は一致した。
よって、逆変換β‑1で移したす般の双曲線についても同様に、一般の双 曲線と無限遠直線との交点は、その漸近線
Ll,五ちと無限遠直線との交点
と一致する。
系 2.3.■
1双
曲線 と無限遠直線 との交点 は、双 曲線 の漸近線 と無 限遠直 線 との交点に一致す る。58
０
ｙ 一ｂ 十
Ｘ
一α (2.29)
嘲 司 同＝
﹂ｏｊ
レ
レ
ｐ
59
第 3章
この章で は、射影幾何 の考 えを用いて、新 たに重心座標 と三線座標 に ついて定義す る。 また、新 しい座標 を定義す るにあたつて、内分 について 概念 を拡張 した り、線分の長 さや三角形の面積 に向 きの考 えを導入す る。
3。
1
線分の内分の拡張π,η は正の実数 とす る。生ν平面上の線分
A3を
れ:η に内分す る点Pについて考 える。点
A,3,Pの
位置ベク トル をそれぞれo,b,P∈R2と
す る。点Pの
位 置ベ ク トル はnal+%b p=π
tt η (3.1)
と表 され るこ とは高校 の学習内容 として よ く知 られてい る。 また、″ν平 面上の線分
ABを
π:nに
外分す る点oに
ついて考 える。点Qの
位置ベク トル を 9∈
R2と
す る と、一η
a+π
b(3.2)
9= π 一 π
と表 されることもよく知 られている。 ところで式(3.1)、 式(3.2)の式の形 は極 めて類似 してい る。 これ らの式か ら、 内分 と外分 を統一的 に考 える ことは出来 ないだろ うか。 そのために、 向 きを含 む距離 について次 の よ うに定義す る。以後、線分 ス
Bの
長 さを 降BIと
表す。定義 3.■
.1直
線 スBを
イとお く。′上の点Xと
点 ■の間の距離 について、ここに向 きの考 えを取 り入れて、次の記法 を導入す る。(図3.1、 図3.2を 参照)
に関 して
Xと Bは
同 じ側)=X)
に関 して
Xと Bは
逆側)第
3章
重心座標 と三線座標 60露
図3.1:ス に関 して
Xと Bは
同 じ側 図 3.2:ス に関 してXと Bは
逆側 つ ま り、μ(X;ム 3)と
は、直線上 に ス を基準 として、Bの
方向が正 と なるように長 さを用いて数直線 としての 目盛 りを入れた ときの点Xの
数 値 を表す。これか ら、 向 きを含 む距離 を用 いて内分 と外分 を考 える。
定義
3.1.2線
分 五3と
それ を延長 した直線上の点Pに
ついて、μ
(P;A,3):μ
(P;3,ス)=π
:η (m,η ∈R) (3.3)とな る とき、点
Pは
線分A3を m:η
に内分す る とい う。以後、式(3.1)の意味の内分の ことを狭義 の内分 といい、 内分"とい えば、定義3.1.2の拡張 された内分 を指す こととす る。
定義3.1.2の ように、内分比 を実数全体 で表示す る と、外分 についても 統一 して表記で きることを以下 に示す。
図
3.&μ
(P;■ ,3),μ(P;3,ス)の 符号 と点P位
置1.π
,ηが同符号の とき、μ(P;ス,3):μ (P;B,ス
)=π
:π (π,れ は同符号)な らば、点 Pは 線分 ス 3を
lπ卜
lηlに狭義に内分するということ である。なぜなら、図
3.3のように点 Pが 直線のどこにあっても、
μ(P;A,3)と バP;B,ス
)が￨も に負となることがないから、μ(P;A,3), μ
(P;B,■ )は、 ともに正であ り、 Pは ■と Bの 間にある。つまり、
線分 ス Bを 狭義に内分 しているということになる。
第
3章
重心座標 と三線座標 612.π
,ηが異符号の とき、μ(P;ス,3):μ (P;B,■
)=π
:η (π,η は異符号)なら
￨よ点 Pは 線分 A3を
lπ卜
lηlに外分するということである。な ぜなら、異符号のとき点 Pは 線分五 Bの 延長線上にあり、それは線分
ABを 外分しているということである。このとき、μ
(P;ム 3),μ (P;写,ス)のうち絶対値の大きい方が正で、小さい方は負である。
また、点 Pが 線分 ABの 延長上にあるときは常に
lμ(P;A,3)￨≠
lμ(P;B,■)￨で
ある。
このように、定義
3.1.2の内分は狭義の内分 と外分を統一 した表記法で ある。η
,ηが異符号のとき、
lμ(P;ス,3)￨≠ lμ(P;B,01で あることから
π
:れ=1:‑1に 内分することはない。
次に、線分 ABを π
:η (m,π∈ R,m≠ 一れ
)に内分する点 Pの 斉次
座標を考える。
期 的 分
＜