重心座標と三線座標

第

3章

 重心座標 と三線座標 P

図 3.18:点 民

X,yが

反時計 回 り   図^3。

19:点

_民

X,yは

時計 回 り 定義^{3.6.1〜3.6.4を}用いて、三角形の辺 と点 との距離 に関す る次の定理 を示す。

定理

3.6.6△ =△ ^ABσ

^{と無限遠点でない点}

Pに

ついて、

httσ

(P)={ξ

:[￨:纏

:IP lll:￨:￨][!ii];1)

となる。

証明 ∠σ

BPの

大 きさを ρ (0≦ ρ≦ π)とす る。点

Pか

ら直線

Bσ

に おろ した垂線 の足 を 〃 とす る。ρ

=0ま

^{たは πの ときは、sin∠σ}BP=

0,h̀藉

(P)=0で

あるので、定理 は正 しい。 よって、

Pは

直線

Bσ

上 にな い として よい。

1.点

■,3,σ が反時計回 りの ときを考 える。

(a)点 Pが

直線

Bσ

について点 ス と同 じ側 にある とき、

h缶 (P)=IP〃

^￨

である。また、点 二

^B,θ

は反時計回 りなので、

ムσ

BP=ρ

である。

sinの

定義より、

87

Slnρ =Ilgl>0

第

3章  

重心 座標 と三線座標 88 で あ る。 よっ・て、

P31dlム θ BP=P到 ^・

冊 =Pヨ

=蛤

_σ O>0

となる。

(b)点 Pが 直線 Bσ について点 ス と逆側にあるとき、

httσ

(P)=一

IP〃^￨

である。また、点民

^B,σ

は時計回りなので、

ムσ

BP=一

_ρ

である。

^sinの

定義より、

Sin(一

ρ

)==一 ^{Sinρ ==一}

lf堆

+<0

である。よって、

Ptt Sh∠

^σBP=P到 ^。

(―出 )=刊

^Pヨ

=塩 0<0

とな り、いずれ にせ よ、点 ■,3,σ が反時計 回 りの ときは

h鵠 (P)=IPBISinム

^θBP

が示 された。

2.点

ス,3,σ が時計 回 りの ときを考 える。

(a)点 Pが

直線

Bσ

について点 ■ と同 じ側 にある とき、

h銘 (0=IP〃

^￨

で あ る。 また、点 民B,σ は反 時計 回 りなので、

ム σ

BP=―

_ρ

で あ る。sinの 定義 よ り、

Sin(―

ρ

)==一 ^{Sinβ ==一}

lf堆

+<0

である。よっ

^口[、

刊

Ptt dnム

σ

BP=刊 P到

^。

(一 半男昇

)=Pコ =塩 0>0

とな る。

第

3章

 ^{重心座標 と三線座標}      89

(b)点 Pが

直線

Bσ

について点 ス と逆側 にある とき、

haズ P)=一

_IP″￨

である。 また、点 民

^B,σ

は時計回 りなので、

ムθ

BP=ρ

である。

sinの

定義より、

Slnρ =Ilgl>0

である。 よって、

刊 ^Ptt dn∠ σ BP=刊 ^{P到 。}

出 =刊 ^Pヨ =塩 _甲

^<0

となり、いずれにせよ、点■

,3,θ

が時計回りのときは

h缶 (P)=一 IPBISinム ^σBP    ^｀

が示された。

△ス Bσ と点 P(P￠

_{L∞ )に}

ついて、定理

^3.6.6よ

り、点 Pと 3辺 との

距離 の比 を考 える と、△

ABσ

の頂点 の並 び は時計 回 りで も、反 時計 回 り で も、

h鵠 (P):hね (P):h先 (P)=IPBISin∠

^σ

BP:IPθ

_lsinムスσ

P:IPAISinム BAP

で ある。 これ よ り、 次 を得 る。

系

3.6.7△ =△ ^ABσ

^と点

P(P￠

五∞)に^{つ いて、 点}

Pの

△ に対 す る 三線座標 は、

ｄ ＰＩ

司 Ｂ θ Ａ σ ス Ｂ ム

∠ ム

ｓ・・ｎ

︒  ｓ・ｎ

︒  ｓ・ｎ

κ 鳳

Ｆ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

Ｉ

Ｌ

﹁ △

ｌ ｉ ｌ ｌ ｉ ｌ Ｊ

０ ０ ０

酔 隣

Ｐ

と表す ことがで きる。

第

3章

 ^{重心座標 と三線座標}      90

定理^3.6.6を用いて、外心 と垂心の重心座標 と三線座標 について考 える。

以下、この節 を通 じて △

=△ ^ABσ

^{について、△}

^ABσ

^の

^3頂

^{点 ■,3,σ は}

反時計回りに配置しているとし、その辺の長さをそれぞれ、α

=Fσ

l,b=

rス ￨,c=降

^BI、

頂点の内角をそれぞれα =∠ ^θス

^B,β

=∠ ^ABσ

,γ

=

∠

B銘

とおく。

例

3.6.8△ ABσ

の外心

0に

ついて、重心座標、三線座標を考える。△

ABσ

の外接 円の半径 の長 さを rと す る と、

10ス

￨=10BI=10σ l=r

である。 この とき系^3.6.7よ り、点

0の

三線座標 は、

となる。 ここで、例 えば ∠σ

BOの

大 きさについて考 える。

1.△ ABσ

が鋭角三角形 の とき(図 3.20参照_)、

0は

△

ABσ

の内部 に あ り∠θ

BOの

大 きさは、

∠σBO=:一 α

で、B,θ

,0は

反時計 回 りなので、 向 きのある角度 は、    ￨

∠ σBO=:一 ^α

となる。

2.△スBσ が 鈍角三角形

_(号

<α <π

_)の

とき

_(図 3.21)、

Bσ に閲して スと 0は 逆側となり、∠σβ Oの 大きさは、

∠σBO=α 一

:

で、B,σ

,0は

時計 回 りなので、 向 きのある角度 は、

ム σ

BO=―_(α

一

_:)='一

α

とな る。

第 3章   重心座標 と三線座標       91

いずれにせよ、向きのある角度 として、

∠θ BO=,一

π

α

となる。 同様 に して、

∠五σO=:一 _β,       ^ム

^Bス

^ο=:一 γ であることが分か る。 これ よ り、

sinムθ

BO=sin(:一

α_)≡ COS a sinム

スσ O=sin(:一 β )=COSβ

sin∠ BAO=sin(:一 _γ)=COS今 を得 る。 よって、点

0の

三線座標 は、

とな り、重心座標 は

となる。 ここでは確 かめないが、△

ABσ

の

3頂

点 ■,3,σ が時計回 りに 配置 されてい る場合 も、外心

0の

三線座標 と重心座標 は、

となる。

例

3.6.9△

ス

Bσ

の垂心 〃 について示す。μ(△IBの,μ(△〃σ■_),μ(△〃ス

3)

の面積比 を考 える。点 ス か ら直線

Bθ

におろ した垂線 の足 を

Dと

す る。

同様 に、点

3か

ら直線 θス、点 σか ら直線

ABに

おろ した垂線の足 をそ れぞれ

E,Fと

す る。

第

3章

  重心座標 と三線座標 92

図 3.20:鋭角 三角形 △ス

Bσ

の外心

 

図 3.21:鈍角 三角形 △五βσ の外 心

1.△ ABθ が鋭角三角形のとき、垂心 ″ は△ ABθ _{の内部にある}

_(図

3.22参

照

_)。

このとき、△〃Bσ

,△

〃σスの符号付き面積の比を考え

る と、

バ△ "の ^{ψ体″σ均 =F到 JA到} =田 ^:出

=紘 :蒜 =t狙 れ

^nβ

である。同様にして、μ

(△

″σ幻

^,μ(△

″ A3)の 面積比を考えると、

μ

(△

〃σス

_):μ(△

″43)=tallβ

^:tan今

となり、

μ

(△

IBσ

_):μ(△

〃θ■

_)iμ(△

″ス3)〒

tan a:tttβ ^:tall今

となる。

2.△ ABσ が鈍角三角形

_(β

>,)の とき 、垂心″は△ス ^Bσ の外部にあ

第

3章

 重心座標 と三線座標      93

る_(図 3.23参 照_)。 この とき、各頂点周 りの角度 のtanを考 える と、

tan a≡ t劉.zttBス

θ =器 =囲

tanβ

=tanム σBA= IFσ l =品

    

^、

tan 

γ ^=tanzttAσ

^B=‖

発 丼 ^=ギ 発 計

である。この とき、△〃

X,△

″ の符号付 き面積 の比 を考 える と、

ドキュメント内 Kiepert双曲線について ： 射影幾何学の考え方を用いて (ページ 87-94)