△ Ｐｈ

８ ２

３．５ 国

︲ｙｌ И く︒ 理   一一  ぉ 定     と

第

3章

 重心座標 と三線座標

.4△

=△

^obcお

^{よび π ∈}

^RP2に

ついて、点 πの三線座標 を

△

とする。 また、△ の三辺の長さをα =1麗 _￨,b=1麗

￨,C=IZ万¹

このとき、点

"が 無限遠点であることと、

α

X+by tt cZ=0

が成 り立つ こ とは同値 で あ る。

証明

 

点

"の 重心座標は、π

=￨り

￨△

であり、点

"が ^{無限遠点であるた}

めの条件 は、 定理 3.2.3よ り

α

X+by tt cZ=0

で あ る。 よって、示 され た。

       

^□

以下、 この節 を通 して、 △

=△ ^abcに

つ いて、 その辺 の長 さをそれ ぞ れ、α

=Fd,b=11彊 _￨,C=Fbl、

頂 点 の 内角 の大 きさをそれ ぞ れ α

=

∠cab,β

=∠

^abC,γ

=∠ ^bcaと

お き、三角形の五心 について、その重心座 標 と三線座標 を調べてい く。

例

3.5.5△

_〒△albC.こついて、づ

=11△

^{とす る。}

 

この とき、うの重忘座 標 は

であ り、重心座標の成分が全て正であるため、づは △ の内部 にある(図3.14 参照_)。 よつて、^httσ

(P),hね (P),蛤B(P)は

^{正で、定理3.5。3よ り、点 うか} ら各辺へ下 した垂線 の長 さが同 じで あることか ら、点 をは △

abcの

内心 である。 これ よ り、△

abcの

内心 うの重心座標 と三線座標 は、

△

１   １   １ ｒ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ

△ Ｌ

同

＝

Ｏ

Ｈ

Ｃ

となる。

第

3章

 ^{重心座標 と三線座標}

例

3.5.6△

α

bcの

重心

gは

、

となる。

図 3.14:△

abcの

_内心

図^3。15:△

abcの

頂点 αに対す る傍心

例

^3.5。

7△ abcの 頂点 αに対する傍心 う αは、∠αの内角の二等分線 と、

∠

b,∠

cの 外角の二等分線の交点である

(図 ^3。

15参 照

_)。

よつて、直線 α と直線

bcと

の交点を Pと ^{すると、点} Pは 線分 bcを c:bに 内分する点で

̀α

ある。また、直線 税αと直線 caと の交点を9と すると、点 9は 線分 caを 一α:cに 内分する点であり、直線

^aα

と直線 abと の交点をrと すると、

点 rは 線分 abを b:一 αに内分する点である。よって、定理

^3.2.6よ

り、

∠ aに 対する傍心の重心座標 と三線座標は、

とな る。

頂点

b,cに

対す る傍心 づら,づcに ついて も同様 に考 えると、

84

﹁ △

︱

︱

︱

︱

︱ Ｉ Ｊ ｌ 石 １ 一ｂ ｌ 一ｃ Ｆ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｉ

△ Ｌ

﹁

︱

︱

︱

︱

︱ Ｉ Ｊ ｌ   ｌ   ｌ

ｇ

﹁ △

ｌ ｉ ｌ ｌ ｉ ｌ ｊ 一．

１

１ Ｆ ｌ ｌ ｉ ｌ ｌ ｌ

△ Ｌ

刹 珂

Ｆ ｉ ｌ ｌ ｌ ｉ ｌ Ｌ α ０●

■ △

１ １ １ １ １ １ Ｊ １ ｌ

ｌ   一 Ｆ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ ｌ

△ Ｌ

ゴ 判

Ｆ Ｉ Ｉ Ｉ ｌ ｉ ｌ Ｌ ＣＯ

﹁ △

ｌ ｉ ｌ ｉ ｌ ｌ Ｊ １

´﹁．．．．一            一           ´．．．．．一

Ｆ ｌ ｉ ｌ ｌ ｉ ｌ

△ Ｌ

︐

Ｆ １

ｌ ｌ ｌ ｌ ｉ ｌ Ｌ Ｚ●

第

3章

 ^{重心座標 と三線座標}      85

となることが分か る。

残 りの外心 と垂心 について重心座標 と三線座標 を考 えるため には、角度 に向きの考 えを取 り入れ る必要がある。そ こで次節 においては、向 きのあ る角度 について述べ、外心 と垂心の重心座標 と三線座標 について考 える。

3.6  向 きのあ る角度

本節では、向きのある角度の記法を定め、第

^3.5節

で述べた三角形の各 辺 と点との距離について、角度を用いて考える。

定義 3.6.1実 数 α

,β

について、「α

 ^ttβ

が

2π

の整数倍のとき、α〜β」と 関係 〜を定める。このとき、関係 〜は同値関係で、実数全体の 〜に関す

る商集合を、

^R/2π

^Zと 表す。α∈ ^Rを 含む

^R/2π

^Zの 元は、

{α

+2η π

_lη

∈ Z}

とい う同値類であ り、 この同値類 を

aと

表す。_(商集合、同値 関係、 同値

類については例えば

_b]を

参照せよ。

)

定義

^3.6.2a,β

∈

R/2π

Zお よび、た∈ Zに 対 して、次のように定める。

a tt 

β=α +β ,   a̲β ^{=α ̲β}

,    

^{た 0三 たα}

実際、 a=d′

,β

=β ^{′とすると、π}

,π

∈ Rを 用いて ル =α +2ηπ

,

β ′=β +2π πと表せるから、

ゴ十β ′

=α +β +2(π +π

)π

,α ′ 一β ′

=α ―β

+2(η

一π

_)7r, 

たα′=んα

+2ん

ηπ となり、定義

3.6.2の

ように定めても問題はない。特に一 a=(一 α

_)で

ぁる。

三角関数において、π∈ Rと したとき、

sin 

α

=sin(α

+2%→

, coS 

α

_=COS(α

+2η π

_), tall 

α

=tan(α

+2η π

₎

が成 り立つ ことは、高等学校 で学習の範 囲で知 られてい る。 よって、同

値類a={α

+2η

π

_lη

∈ Z)の 元の

sin,cos,tanは

元の取り方によらず一定

である。

ドキュメント内 Kiepert双曲線について ： 射影幾何学の考え方を用いて (ページ 83-87)