講演論文集 [2012.3.10 石川県野々市市]
0707
三次元境界要素法を用いた異方性-等方性二相体の応力解析 Stress Analysis for Anisotropic-isotropic Materials using
Three-dimensional Boundary Element Method
○学 星 和久（長岡技大院） 正 古口 日出男（長岡技大）
Kazuhisa HOSHI, Graduate School of Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata Koguchi Hideo, Nagaoka University of Technology, 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata
Key Words: Stress Analysis, Stroh Formalism, Boundary Element Method, Stress Singularity
1. 緒言
電子デバイスには小型化のため CSP(Chip Size Package) がよく用いられる．CSPは半導体を封止樹脂によって接合 したものであるが，このような接合体に外力が加わると，
接合界面端部は，弾性論的には応力が無限大に発散する特 異応力場となる．これによる接合界面の剥離がCSPの破壊 原因の一つと考えられているが，特異場では応力が発散す るため応力値のみでの単純な強度評価ができない．
これまでの研究(1)では，特異点からの距離 r での応力σij
が近似的にσij=Kijr-λに載ることを利用して，特異場の強さ Kijと特異性オーダλによって，界面の強度が評価されてい る．これらは等方性接合体を対象としたものであるが，実 際のCSPは，異方性体であるシリコン等の半導体と，等方 性体であるエポキシレジン等の封止樹脂との接合体である．
本研究では，Stroh形式による異方性-等方性二相体のグリ ーン関数を三次元境界要素法の基本解として導入し応力解 析を行うことで，より現実の電子デバイスに近いモデルに おいて，特異応力場と特異場の強さの関係を明らかにする．
2. 三次元異材接合体における応力解析
2・1 Stroh形式を用いた異方性-等方性二相体の基本解 異方性-等方性二相体におけるStroh形式を用いたグリー ン関数は，既に古口(2)によって導かれている．
物体力がない場合の三次元弾性体において，変位ベクト ルをuj (j=x,y,z)，作用力ベクトルをtj =(σxz, σyz, σzz)，その他 の応力成分をsj =(σxx, σxy, σyy)とする．これらをx,y平面につ いて二次元フーリエ変換した!!，!!，!!は次式となる．
(1) (2) s(!! 1,!2,z)= !i!C e!ip*!z q (3)
Fig.1 Anisotropic-Isotropic two-phase material
ここで，η1=ρn1,η2=ρn2とおいた．なお，(n1,n2)=(cosθ,sinθ) であり，ρは正の変数である．またA，BおよびCは弾性 定数などによって決まる行列で，特にAはStroh固有ベク トルajからなる行列である．pはStroh固有値，qは未定係 数ベクトルである．
図 1 に示すような，!≥0を異方性体，!<0を等方性体 とする二相体において，点Pに集中荷重f=(f1,f2,f3)が作用す る場合を考える．このときの変位と作用力の材料界面にお ける境界条件は，次式のように表せる．
(z=0) (4) (z=0) (5) (6) (7) ここで括弧付の上添字は対応する領域の材料を示している．
式(1)~(3)を用いて二相体におけるグリーン関数を表し，境
界条件式(4)~(7)によって未定係数ベクトルを求める．さら
に，これらの式をフーリエ逆変換することで変位と応力の グリーン関数が得られる．
図2(a)にz0=-0.5,0.5mmにx方向の単位集中荷重が作用し
た場合，(b)に z0=-0.5,0.5mmに z 方向の単位集中荷重が作
用した場合の x=y=0.1mmにおける変位uijを示す．ここで 変位の添字はi方向の単位集中荷重に対する j方向の変位 を表している．いずれの成分も材料界面で連続な分布とな っている．また，図3(a)(b)に，z0=-0.5,0.5mmにx方向とz 方向の単位集中荷重が作用した場合の x=y=0.1mm におけ る応力σijkを示す．変位と同様に応力の添字は，i方向の単 位集中荷重に対するjk面の応力を表す．これもまた，界面 で連続な分布になっていることが確認できる．
材料定数については，材料1は異方性材料として Auの 弾性定数{C11, C12, C13, C15, C33, C44, C66}={219.85, 154.82, 145.83, 12.7, 228.83, 23.53, 32.53}[GPa]，材料2にはCuを等 方 性 体 と し た と き の ポ ア ソ ン 比 0.343 と 横 弾 性 定 数 48.3GPaを用いた．
2・2 三次元境界要素法(3)
一般に応力解析には有限要素法を用いることが多い．し かし，特異応力場など応力値の変化が顕著になる箇所では より微小な要素を用いる必要があり，物体内部まで要素分 割する必要がある有限要素法では，総要素数が膨大となる．
そこで本研究では，境界のみの要素分割で解析が可能で，
基本解によって物体内部における応力をより高精度に求め ることができる境界要素法を用いる．
三 次 元 弾 性 体 内 に お け る 任 意 の 点 の 変 位 は ， 次 の
Somiglianaの境界積分方程式で求めることができる．
(8) ここで，pは領域の内点，Qは境界上のソース点，tiとui
ui(p)= "#Uij(p,Q)tj(Q)!Tij(p,Q)uj(Q)$%ds(Q)
&
Su(!! 1,!2,z)=A e!ip*!z q
!t(!1,!2,z)= !i!B e!ip*!z q
! u(1)=u!(2)
!t(1)=!t(2)
! u(1)
z=z0+=u!(1)
z=z0!
t!(1)z=z
0+!!t(1)z=z
0!= !f
日本機械学会［No.0127-1］北陸信越支部 第49期総会・講演会
(a) Displacement uxj for concentration force in the x-direction
(a) Stress σxjz for concentration force in the x-direction
は作用力ベクトルと変位ベクトル，Uijは変位の基本解，Tij
と作用力ベクトルの基本解でσijknkにより与えられる．また nkは単位法線ベクトルである．内点の応力は，内点のひず みを次式で求め，Hooke則に代入することにより求める．
(9) ここで，Uij,kおよび Tij,kは着力点における変位および表面 力の基本解の微分であるが，本研究では基本解を解析的に 微分して用いている．
3. 解析モデル
前述の異方性-等方性二相体の基本解を三次元境界要素 法解析プログラムに組込み，図4に示すような，同寸法の 異方性体と等方性体の直方体が接合されたモデルに対して，
応力解析を行った．等方性体側の下面をz方向に変位拘束 し，異方性体側の上面にσ0=1 MPaの荷重を付加した．また，
解析には対称性を考慮し4分の1モデルを用いている．要 素分割は四辺形二次要素を用いており，界面角部に向かっ て詳細要素としている．しかしながら，本解析で用いる前 述の基本解は複雑な数値積分を含んでおり，解析に膨大な 時間を消費する．そこで，特異応力場における応力を観察 でき，なおかつ解析にあまり時間を要さない要素分割とし て，最小要素寸法は約0.1mmとしており，総要素数は34， 総節点数は104となっている．
解析結果については，本講演において述べるものとする．
(b) Displacement uzj for concentration force in the z-direction
(b) Stress σzjz for concentration force in the z-direction
Fig.4 Analysis model for Anisotropic-Isotropic material
4. 結言
本研究では，三次元境界要素法に Stroh 形式による異方 性-等方性二相体の基本解を導入し，異材接合体の応力解析 を行った．また，等方性二相体と異方性-等方性二相体の特 異応力場における応力を比較した．
参考文献(例)
(1)古口，藤石，小林，矢田，機論(A編)，59-567 (1993), 2702.
(2)古口，機論(Ａ編), 77(782), 1770
(3)結城良治,木須博行共著,境界要素法による弾性解析,1987, 培風館,pp.219-249.
ui,k(p)= "#Uij,k(p,Q)tj(Q)!Tij,k(p,Q)uj(Q)$%ds(Q)
&
S20.0x10-6 15.0 10.0 5.0 0.0
-5.0 Fundamental displacement
u
zj-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Distance from interface z , mm
z0 = 0.5mm uzx uzy uzz z0 = –0.5mm uzx uzy uzz
3.0 2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0
Fundamental stress xjz
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Distance from interface z , mm
z0 = 0.5mm xxz
xyz
xzz
z0 = –0.5mm xxz
xyz
xzz
3.0 2.0 1.0 0.0 -1.0 -2.0
Fundamental stress zjz
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Distance from interface z , mm
z0 = 0.5mm zxz
zyz
zzz
z0 = –0.5mm zxz
zyz
zzz
20.0x10-6 15.0 10.0 5.0 0.0 Fundamental displacement
u
xj -5.0-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Distance from interface z , mm
z0 = 0.5mm uxx uxy uxz z0 = –0.5mm uxx uxy uxz
Fig.2 Fundamental displacement uij for anisotropic-isotropic two-phase material
Fig.3 Fundamental stress σijz for anisotropic-isotropic two-phase material
Au
Cu σ0=1 MPa
1 mm1 mm
1 mm 1 mm
x
y z
