ブラックホールエントロピー
と
AdS/CFT
対応
平成
12
年
1
月
11
日
東京大学大学院理学系研究科物理学専攻
86111
疋田 泰章
概要
ブラックホールには熱力学の法則が成り立つことが知られている。ブラックホールのhorizonの 面積が減少しないことからエントロピーはhorizonの面積に比例していると思われている。ブラッ クホールは弦理論の非摂動論的な物体として知られるD-braneを用いることで記述でき、熱力学に 対応する統計力学はそのD-brane上にある場の理論を用いることで記述できる。最近、反ド·ジッ ター空間上の弦理論とその境界に存在するD-brane上の共形場理論との対応を表すAdS/CFT対 応が提唱され、その対応を用いることで、ブラックホールを作っている重力理論とブラックホー ルの内部の情報を担っている場の理論との対応に対する理解を深めることができる。この論文で は、D1-brane とD5-brane の束縛状態からつくられるブラックホールのhorizon近傍の極限をとることから得られる AdS3 空間と、その境界に存在する共形場理論との対応について詳しく調べ
る。3次元のブラックホールはBTZブラックホールとして知られ、その境界にある共形場理論か
らエントロピーを求めることができる。Chren-Simons理論を用いての解析と、摂動論的な弦理論
目 次
第1章 Introduction 4 第2章 2 次元共形場理論 7 2.1 2 次元共形場理論 . . . . 7 2.1.1 複素座標への変換. . . . 7 2.1.2 共形対称性 . . . . 10 2.1.3 演算子積展開とVirasoro代数 . . . . 12 2.2 分配関数 . . . . 17 2.3 Current代数 とWZW模型 . . . . 20 2.3.1 Current代数 . . . . 20 2.3.2 WZW模型 . . . . 23 2.4 共形場理論と弦理論 . . . . 25 2.4.1 ボゾン的弦理論とD-Brane . . . . 25 2.4.2 超弦理論と双対性. . . . 31 第3章 反ド·ジッター空間とその性質 36 3.1 3次元反ド·ジッター空間 . . . . 36 3.2 3 次元重力理論とChern-Simons 理論 . . . . 39 3.2.1 多脚場とスピン接続 . . . . 40 3.2.2 Chern-Simons理論 . . . . 42 3.2.3 Brown-Henneaux共形対称性 . . . . 45 3.3 BTZ ブラックホール . . . . 48 3.4 AdS/CFT 対応 . . . . 51 3.4.1 AdS5/CF T4 対応 . . . . 51 3.4.2 AdS3/CF T2 対応 . . . . 54 第4章 AdS3/CF T2 対応による時空の共形場理論 57 4.1 境界近傍の近似による時空の共形場理論 . . . . 57 4.1.1 3 次元反ド·ジッター空間上の弦理論. . . . 574.1.2 Heat KernelとFunctional Determinant . . . . 59
4.1.4 SL(2, R)のUnitary表現と SL(2, R)/U (1) coset模型 . . . . 67
4.1.5 境界近傍の近似における時空の共形場理論 . . . . 71
4.2 Bulk の寄与の入った時空の共形場理論 . . . . 73
4.2.1 SL(2, C)/SU (2) coset模型 . . . . 74
4.2.2 Bulkの寄与の入った時空の共形場理論 . . . . 78
4.2.3 Long StringとShort String . . . . 82
第
1
章
Introduction
物理学における今世紀最大の発見は量子力学と一般相対論である。量子力学は特殊相対論と合 わせて場の理論となり、標準模型を構成するなど大きな発展を遂げていった。一方一般相対論も ビックバン宇宙論やブラックホールなどさまざまな予測を生み出した。ところが、重力理論を量 子化しようとすると、繰り込み可能性などの問題が生じうまく構成することができなかった。こ の問題を解決する理論として弦理論[1][2] がある。弦理論は低エネルギーで重力理論を再現して いて、しかも、紫外発散を含んでいない。一般相対論は量子重力理論の古典的極限であるが、ブ ラックホールの内部など、重力の非常に強いところでは、弦理論を使ってうまく記述することが できると思われる。 ブラックホールは一般相対論、あるいは場の理論の範囲以内でもさまざまなことが分かってい る。ブラックホールの中心には計量の曲率の発散している場所があるが、horizonによって保護さ れていて外部からは見えないようになっている。また、ブラックホールは熱力学に対応するよう な性質をもつことが知られている[3]。特に、エントロピーは次の式のように horizonに比例する ことが知られている。 S = Area 4G (1.1) この公式は Bekenstein-Hawkingの公式と呼ばれる。Gはニュートン定数とした。ブラックホー ルが熱力学に対応しているのなら、ブラックホールの内部を統計系で記述することができるはず である。ところが、一般相対論の範囲以内ではこれらを説明することができない。 そこで、弦理論を用いてブラックホールの内部を記述することを考えたい。しかし、弦理論の 摂動論では、そのような強結合領域を表すことはできない。ところが、最近solitonic な物体とし て、Dp-braneとよばれる chargeを帯びたp + 1 次元の物体が弦理論の中に存在していることが 分かった[4][5]。このDp-brane を用いることで、ブラックホールを作ることができる。Dp-brane には開弦がくっつくことができ、開弦は低エネルギーで場の理論に帰着させることができるため、 Dp-brane 上の理論は場の理論で記述することができる。最初に考えられたのは D1-brane とD5-brane の束縛状態からなる系[6][7]で、D5-brane の延
びている次元のうち、D1-brane と垂直な方向は小さくcompact 化されて見えなくなっていると する。この系は D1-brane の空間方向を S1 に compact 化することで、5 次元のブラックホー ルとなる。4 次元のブラックホールも同様にして作ることができる。したがって、D1-brane と D5-brane の束縛状態からなる系は実際のブラックホールを考える上でも重要である。このとき、 D-brane 上の理論は低エネルギーで、共形対称性と呼ばれるスケール変換に対する対称性のある (1+1) 次元の共形場理論に帰着することができる。2 次元の共形場理論のエントロピーは共形場
理論のなかに存在する重要な量である central charge を使って漸近的に求めることができる。こ の値は Bekenstein-Hawkingの公式を用いて計算した値と一致している。
ブラックホールの内部の情報が次元の低い場の理論で記述されるということは、重力理論あるい は弦理論が次元の低い場の理論で記述できるかもしれないということを示唆している。重力理論
が1 次元低い場の理論に帰着できることは’t Hooft と Susskind によって提唱され、holographic
原理[8][9]と呼ばれている。弦理論が低い次元の場の理論に帰着できることは、群が SU (N ) の Yang-Mills 理論を 1/N を展開係数と思うと弦理論の摂動展開に対応しているように思える[10] ことや、10 次元の弦理論が 1 次元の 行列を要素としてもつ場の理論によって記述することがで きるという行列模型[11] などから強く示唆されている。 先程のようにDp-braneを用いてブラックホールを構成したとき、そのhorizonの近くではその 空間が負の宇宙定数をもった(p + 2)次元の反ド·ジッター空間(AdSp+2)になっている。(p + 2) 次元の反ド·ジッター空間には境界が存在していて、その境界上には共形対称性が存在している。 したがって、先程のブラックホールを構成していた Dp-brane はAdSp+2 空間の境界に存在して いると思うことができる。つまり、AdSp+2 空間を記述している重力理論あるいは弦理論と境界 に存在している (p + 1)次元の共形場理論 (CF Tp+1)との対応の存在が示唆される。この対応は AdS/CFT 対応と呼ばれ、Maldacena によって提唱され[12]、その後多くの人によって発展して いった[13][14][15]。
先程のD1-brane とD5-braneの束縛状態からなる系においては、その horizon近傍はAdS3×
S3× T4 となっている。この場合はAdS3 空間の境界に存在する2次元の共形場理論と対応してい る。AdS3/CF T2 対応の場合には他の次元における AdS/CFT 対応に比べて特殊なことが起こっ ている。3 次元重力理論には内部空間 (これから bulk と呼ぶことにする) には自由度が存在して おらず、境界にしか自由度がない。このことは、3次元重力理論がChern-Simons理論[16]を用い て記述することのできることからもわかる。また、この境界における理論は 2次元の共形場理論 となっていることも半古典的に示されている[17]。この論文では Chern-Simons 理論を用いて境 界に存在する共形場理論を導出する[18][19]。2 次元の共形場理論は他の次元の共形場理論と異な り、無限次元の対称性となっているため、理論をきつく決めることができる。また、AdS3 空間を 背景とする弦理論はWess-Zumino-Witten (WZW)模型を用いて表すことができるため、他の次 元では古典的な重力理論を用いての解析しかできないのに対し、AdS3 空間の場合には弦理論を用 いての解析を行うことができる[20][21][22]。 第2 章では 2次元における共形場理論について詳しく述べる[23][24][25][26]。弦理論は空間方 向に1 次元延びた物体を考えているため、時空中で (1+1)次元をはく。この worldsheet 上の理 論は2次元の共形場理論になっている。AdS3 空間を背景とする弦理論はWZW模型[27] を用い て表すことができるため、詳しく調べることにする。さらに、超弦理論の最近の大きな発見であ る、D-brain[4][5] と弦理論の双対性について簡単に説明する。 第3 章では反ド·ジッター空間について調べる。3次元の重力理論はChern-Simons理論[16]と 等価になり、負の宇宙定数を持つEinstein多様体は境界を持つため、物理的な自由度が境界のみ にある。これはAdS/CFT対応の一つの例になっている。この論文ではChern-Simons 理論を用
いてBrownとHenneaux [17]によって発見された、境界における共形場理論を構成する[18][19]。 3次元の ブラックホールは発見者の名前をとってBTZ ブラックホール[28][29]と呼ばれるが、こ のブラックホールのエントロピーを共形場理論の central charge を用いて計算する[30]。また、 AdS/CFT対応[12][13][14][15] についても簡単に説明する。 第 4 章では worldsheet 上の演算子を用いて境界上での場を構成する[20][21][22]。境界近傍の 近似をすると、worldsheet 上のcurrent 代数を自由場を用いて構成することができる。自由場表 現を用いることで境界の共形場理論におけるcurrent とVirasoro代数の生成子を構成することが できる。境界近傍の近似をしなくてbulkの情報を含んだ議論をすると自由場表現を用いることが できない。しかし、補助場 x を導入することでbulk から境界への演算子を構成することができ る。bulk の情報も含むため、実際に相関関数を計算することができる。境界近傍の極限をとると、 第4.1節の結果と一致する。 第5 章で結論をまとめる。
第
2
章
2
次元共形場理論
2.1
2
次元共形場理論
弦理論は2 次元のworldsheet 上の場の理論を用いる。この worldsheet上にはスケール変換に 対する対称性である共形対称性が存在する。したがって、弦理論を用いて考察を行うためには、2 次元共形場理論に対する理解が必要である。また、この論文では3 次元ド·ジッター空間と 2 次 元共形場理論との対応を調べたいため、その意味でも2 次元共形場理論を詳しく調べておくこと は重要である。2 次元の共形場理論は[23]によって現在の形にまとめられた。よいReview とし て[24][25][26]などがある。まず第2.1.1節で2 次元共形場理論を調べる上で便利な複素座標への 変換の公式を与える。第2.1.2節では理論に共形対称性を課したときにどのようなことが起こるか を調べる。第2.1.3節では、共形場理論を用いる上で便利な方法である演算子積展開(OPE)を導 入し、2 次元共形場理論の重要な代数であるVirasoro代数について説明する。2.1.1
複素座標への変換
2次元の共形場理論で Euclidean でflatな計量ηµν = δµν を持つものを考える。このとき、そ れぞれの座標を組み直して複素座標にすると便利なことが多い。 z = x1+ ix2 z = x¯ 1− ix2 (2.1) 微分演算子は ∂zz = 1, ∂z¯z = 0, ∂zz = 0,¯ ∂z¯z = 1¯ (2.2) となるように定義したい。そのためには ∂≡ ∂z = 1 2(∂1− i∂2) ¯ ∂≡ ∂z¯= 1 2(∂1+ i∂2) (2.3) のようにとれば良いことが分かる。 一般的なベクトルも同様にして定義したい。反変ベクトルが座標と同じ変換をし、共変ベクト ルが微分演算子と同様の変換をするように定義する。 vz= v1+ iv2, vz¯= v1− iv2, vz = 1 2(v 1− iv2), v ¯ z = 1 2(v 1+ iv2) (2.4) ここで、 vz = 2vz¯, vz¯= 2vz, v¯z= 1 2v z, v z= 1 2vz¯ (2.5)の変換をすることから添字の上げ下げを次のような計量で行えばよいことが分かる。 gz ¯z = g¯zz = 1 2, gzz = gz ¯¯z = 0, g z ¯z = gzz¯ = 2, gzz = gz ¯¯z= 0 (2.6) 次にベクトルの場合からテンソルの場合に拡張することにする。式(2.1)の座標変換は行列形式 で書き直すと、 ( z ¯ z ) = Λ ( x1 x2 ) , Λ = ( 1 i 1 −i ) (2.7) となり変換行列Λによって生成されていることが分かる。したがって、もとのテンソルが反変テ ンソルのときには Tab···= ΛaµΛbν· · · Tµν··· (2.8) の変換をする。ただし、(µ, ν,· · ·) = (z, ¯z)、(a, b,· · ·) = (x1, x2)とする。もとのテンソルが共変 ベクトルのときには逆行列の転置 ((Λ−1)T)aµ= 1 2 ( 1 −i 1 i ) (2.9) を用いて Tab···= ((Λ−1)T)aµ((Λ−1)T)bν · · · Tµν··· (2.10)
という変換をする。たとえばepsilon tensor はϵz ¯z =−ϵ¯zz = i/2、ϵzz = ϵ¯z ¯z = 0となる。
積分の測度は Jacobianを考慮すると、dz2|detg|1/2 = dx1dx2 から dz2 = 2dx1dx2 (2.11) となり係数が 2 だけずれることが分かる。Diracのdelta 関数は ∫ dx1dx2δ(2)(z) = 1 (2.12) となるように規格化を決める。 次に計量を ds2= eϕ(d(x1)2+ d(x2)2) (2.13) のようにとったときを考える。理論に共変不変性があるときは座標変換を用いることで、いつも 計量をこの形にもっていくことができる。この計量を選ぶことをconformal gaugeをとるという。 式(2.1)の座標変換をして複素座標に取り直したとき計量は、 ds2 = eϕdzd¯z (2.14) となる。したがって計量は gz ¯z = g¯zz = 1 2e ϕ, g zz = gz ¯¯z = 0, gz ¯z = gzz¯ = 2e−ϕ, gzz = gz ¯¯z = 0 (2.15)
となっている。 この計量をとったときのリーマン曲率を求める。Christoffel 記号は計量テンソルを用いて、 Γcab= 1 2g cd(∂ agbd+ ∂bgad− ∂dgab) (2.16) と書ける。リーマン曲率テンソルはChristoffel 記号を用いて、 Rcabd= ∂dΓcab− ∂bΓcad+ ΓeabΓcde− ΓeadΓcbe (2.17) と書ける。リーマン曲率テンソルには式(2.17)の形から分かるように
Rabcd = Rcdab=−Rbacd =−Rabdc (2.18)
の対称性があるが、今2次元で考えているため対称テンソルは計量テンソルしかなく、反対称テ ンソルはepsilon tensor しかないため実際に求めることができる。 Rabcd = 1 2(gacgbd− gadgbc)R (2.19) ただし、Rはスカラー曲率とする。係数は両辺の添字を計量テンソルを用いてつぶすことから求 められる。またこのときリッチテンソルは、 Rab = 1 2gabR (2.20) となっている。 式(2.15)の計量テンソルを実際に代入することで、Christoffel記号を計算することができ、 non-zero の値をもつものは Γz zz = ∂zϕ Γ¯zz ¯¯z = ∂z¯ϕ (2.21) の二つのみであることが分かる。したがって、n階共変テンソルの共変微分は、 ∇¯ztzz···z = ∂¯ztzz···z ∇ztzz···z = (∂z− n∂zϕ)tzz···z (2.22) となり、これを用いると、 [∇z¯,∇z]tzz···z = [∂z¯, ∂z− n∂zϕ]tzz···z = −n(∂z∂z¯ϕ)tzz···z (2.23) となる。また一方 [∇a,∇b]td1d2···dn = n ∑ j=1 Rabdejtd1d2···e···dn (2.24) と書き直すことができるので、 [∇¯z,∇z]tzz···z = ∑ Rzzz¯ atzz···a···z = nR¯zzzztzz···z (2.25)
とすることができる。この式を式(2.23)と比較することで、 ∂z∂z¯ϕ = −Rzzz¯ z = 1 2g z ¯z(g ¯ zzgz ¯z)R = Rz ¯z (2.26) となり、リーマン曲率あるいはリッチテンソル、スカラー曲率を簡単な形に書き直すことができ た。以上の公式や定義を用いて次の節から実際に理論に共形対称性を課したときにどのようなこ とが起きるかを調べる。
2.1.2
共形対称性
一般的な場の理論では、Lorentz対称性と並進対称性の二つを仮定している。さらに対称性を増 やすことによって、理論に制限をつけることができてより詳しい情報が得られるようになる。こ こではさらにスケール変換に対する対称性を仮定して理論を構築してみる。一般次元で考えるこ ともできるが、ここでは 2 次元についてのみ考えることにする。2 次元のときには無限個の制限 が得られるため、一般的な議論をするだけで細かなところまで理論が決まってしまうという特性 がある。 時空はEuclidianであるとして、計量 をds2 = ηµνdxµdxν とする。このときスケール変換は η′µν = Ωηµν (2.27) と書ける。座標変換xµ→ x′µ= xµ+ εµ(x)をしたときに 計量は η′µν = ηµν+ ∂µεν + ∂νεµ (2.28) のように変換する。この変換がスケール変換であるためには ∂µεν + ∂νεµ= (∂· ε)δµν (2.29) となっていなくてはならない。右辺の係数は両辺のトレースをとることで決まる。ここでηµν = δµν とした。実際に計算してみることで、Cauchy-Riemannの式 ∂1ε1= ∂2ε2, ∂1ε2 =−∂2ε1 (2.30) が成り立っていることが分かる。前節で調べたように、z = x1+ ix2、z = x¯ 1− ix2 と変数変換し て複素座標に変えてみる。ε(z) = ε1+ iε2、ε(¯¯z) = ε1− iε2 と置き換えることで、共形対称性を 保つような座標変換は正則座標変換 z→ f(z), ¯z → ¯f (¯z) (2.31)に対応していることが分かる。この変換のもとで 計量 は ds2 = dzd¯z→ ( ∂f ∂z ) ( ∂ ¯f ∂ ¯z ) dzd¯z (2.32) の変換をする。このことからも、正則座標変換が計量のスケール変換に対応していることが分かる。 この変換則を一般化して、 Φ(z, ¯z)→ ( ∂f ∂z )h(∂ ¯f ∂ ¯z )¯h Φ(f (z), ¯f (¯z)) (2.33)
の変換をする場を考える。このような変換をする場を primary fieldと呼ぶ。h、¯h は conformal
weightといい、テンソルの足の数を表すようなものである。ただし、conformal weightは、整数
以外の数も取り得る。∆ = h + ¯h はconformal 次元といい、J = h− ¯hをスピンという。無限小 変換z→ z + ε(z)、z¯→ ¯z + ε(¯z)をしてみるとprimary field は 式(2.33)より δε¯εΦ(z, ¯z) = (ε∂z+ h∂zε + ¯ε∂z¯+ ¯h∂¯zε)Φ(z, ¯¯ z) (2.34) の変換をすることが分かる。 共形対称性のある理論では、普通の場の理論のようにS行列が計算できないので、相関関数を計 算することが理論を調べていることに対応する。まず、2点の相関関数を計算してみる。式(2.34) の変換を用いると、 δε¯ε< Φ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2) > = < δε¯εΦ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2) > + < Φ1(z1, ¯z1)δε¯εΦ2(z2, ¯z2) > = [(ε(z1)∂z1 + h1∂ε(z1)) + (ε(z2)∂z2+ h2∂ε(z2)) + (¯ε(¯z1)∂¯z1+ ¯h1∂ ¯ε(¯z1)) + (¯ε(¯z2)∂z¯2 + ¯h2∂ ¯ε(¯z2))] < Φ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2) > = 0 (2.35) となる。まず、ε(z) = ¯ε(¯z) = 1を代入することで、z12= z1− z2のみの関数であることが分かる。 次にε(z) = z、ε(¯¯z) = ¯zを代入すると、< Φ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2) >= C12/(zh121+h2z¯ ¯ h1+¯h2 12 ) の形に制 限することができる。最後にε(z) = z2、ε(¯¯z) = ¯z2を代入することによって、 < Φ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2) >= { C12/z122hz¯122¯h h1 = h2 = h , ¯h1 = ¯h2= ¯h 0 h1 ̸= h2 , ¯h1 ̸= ¯h2 (2.36) となっていることが分かり、係数を除いて対称性のみで2点相関関数を決定することができた。3 点相関関数も同様にして計算できる。結果は次のようになる。 < Φ1(z1, ¯z1)Φ2(z2, ¯z2)Φ3(z3, ¯z3) > = C123 zh1+h2−h3 12 z h2+h3−h1 23 z h3+h1−h2 31 z¯ ¯ h1+¯h2−¯h3 12 z¯ ¯ h2+¯h3−¯h1 23 z¯ ¯ h3+¯h1−¯h2 31 (2.37)
4点以上の相関関数の場合は局所的な対称性は無限個あるが、大域的な対称性はSL(2, C)の3個 づつしかなく、3つしかパラメーターを固定することができない。そのため、n点相関関数をつく るときには、n− 3個のパラメーターが残ってしまう。これらのパラメーターはSL(2, C)の変換 で不変につくる必要がある。 対称性の生成子は Noether の方法で作ることができる。座標変換の生成子はエネルギー · 運 動量テンソル Tµνである。Lorenz 不変性から対称テンソルであることがいえ、並進不変性から ∂µTµν = 0がいえる。スケール変換の生成子がjµ= Tµνxν であり、このcurrent が保存すること から、トレースレス条件 Tµ µ= 0がでる。テンソルの複素座標への変換の公式(2.10)を用いてエ ネルギー·運動量テンソルを複素座標に直すと、 Tzz = T11− T22+ 2iT12 Tz ¯¯z = T11− T22− 2iT12 Tz ¯z = Tzz¯ = T11+ T22 (2.38) となる。したがって、トレースレス条件から Tz ¯z= 0 (2.39) となる。また、∂µTµν = 0から ∂z¯Tzz = 0, ∂zTz ¯¯z = 0 (2.40) となる。したがって、エネルギー ·運動量テンソルを正則な部分と反正則な部分 T (z) = Tzz, T (¯z) = Tz ¯¯z (2.41) に分けて書くことができる。このことから、2次元共形場理論においては、正則な部分と反正則な 部分とをそれぞれ独立に取り扱うことのできることが分かる。
2.1.3
演算子積展開と Virasoro 代数
第2.1.2 節でエネルギー·運動量テンソルを作った。そのcurrent を用いてchargeを作り、そ のchargeによって起きる場の変分を考えることにする。まず、平面をz = et+iθ と変数変換してt 方向を時間だと思うことにする。この変数変換は平面から円筒への変換に対応していて、同時刻 で切った場合円筒では円になっているが、平面に移すと同心円に対応する。平面における時間方 向はこの場合、平面の中心から外側に向かっていて、この時間を用いて量子化する方法は radial 量子化と呼ばれる。保存するchargeは同時刻における積分で定義できるが、この変数変換で、 ∫ j0(x)dx→ ∫ jτ(θ)dθがchargeになる。したがって、 Q = 1 2πi I dzT (z)ε(z) + 1 2πi I d¯z ¯T (¯z)¯ε(¯z) (2.42) が座標変換を起こすchargeになる。o
2
π
o
t
θ
z
図 2.1: 円筒から平面への写像
実際にprimary fieldの変分をとることを考える。簡単のために、ε(z)のみをnon-zeroにする。
δεΦ(w, ¯w) = 1 2πi I [dzT (z)ε(z), Φ(w, ¯w)] = 1 2πi (I |z|<|w|− I |z|>|w| ) dzε(z)T (z)Φ(w, ¯w) = 1 2πi I Cw dzε(z)T (z)Φ(w, ¯w) (2.43) 最後の等式で、図2.2のような積分路の変形をした。ε(¯¯z)がnon-zeroの場合も同様に考察できる。
.
.
.
.
.
-
=
o
o
o
w
w
.
w
z
C
w
図2.2: 積分路の変形 1 一方 primary field の座標変換は 式(2.34)により与えられて、 δεΦ(w, ¯w) = ε(w)∂wΦ(w, ¯w) + h∂wε(w)Φ(w, ¯w) (2.44)となっているのでこれを用いると、 T (z)Φ(w, ¯w) = h (z− w)2Φ(w, ¯w) + 1 z− w∂wΦ(w, ¯w) + regular (2.45) と書き表すことができる。このようにある2点における演算子の積を1 点における演算子で展開 することを演算子積展開(OPE)という。反正則な部分も同様にできる。これからは regularの部 分は省略することにする。
.
.
.
.
.
.
.
.
o
o
w
1w
2w
nw
1w
2w
n=
図2.3: 積分路の変形 2 次に、Ward 恒等式を求めてみる。共形場理論の Ward 恒等式は相関関数を使って表すことが できる。まず、次のような値を計算してみる。 < 1 2πi I dzε(z)T (z)Φ1(w1, ¯w1)· · · Φn(wn, ¯wn) > = n ∑ j=1 < Φ1(w1, ¯w1)· · · ( 1 2πi I dzε(z)T (z)Φj(wj, ¯wj) ) · · · Φn(wn, ¯wn) > = n ∑ j=1 < Φ1(w1, ¯w1)· · · δεΦj(wj, ¯wj)· · · Φn(wn, ¯wn) > (2.46) 一つ目の等式では、図2.3の積分路の変形をした。二つ目の等式では、式(2.43)を用いた。この等 式が任意のεで成り立つためには、積分の中身が次のような形をしていれば良いことが分かる。 < T (z)Φ1(w1, ¯w1)· · · Φn(wn, ¯wn) > (2.47) = n ∑ j=1 ( hj (z− wJ)2 + 1 z− wj ∂ ∂wj ) < Φ1(w1, ¯w1)· · · Φn(wn, ¯wn) > (2.48) この恒等式を共形場理論では、 Ward恒等式と呼ぶ。 エネルギー·運動量テンソルのOPE を調べると、 T (z)T (w) = c/2 (z− w)4 + 2 (z− w)2T (w) + 1 z− w∂wT (w) (2.49)となる。エネルギー·運動量テンソル自体はprimary field ではないので、(z− w)−4の項が出て
しまう。この項の係数c はcentral charge といい、考えている理論により変わる。この OPE か
らエネルギー ·運動量テンソルの無限小変換を求めることができ、 δεT (z) = ε(z)T (z) + 2∂ε(z)T (z) + c 12∂ 3ε(z) (2.50) となる。有限変換は T (z) = (∂f )2T (f (z)) + c 12S(f, z) (2.51) となり、Shwartzian derivative S(f, z) = ∂f ∂ 3f −3 2(∂ 2f )2 (∂f )2 (2.52) を用いて表すことができる。 無限小変換を二回続けて行うことによってShwartzian derivativeの 形になることが分かる。 エネルギー·運動量テンソルをLaurent 展開 すると、 T (z) =∑ n Lnz−n−2, Ln= 1 2πi I dzzn+1T (z) (2.53) となり、これを式(2.49)に代入することで、 [Ln, Ln] = (n− m)Ln+m+ c 12(n 3− n)δ n+m,0 (2.54) という関係式を得る。もう一つこの反正則なものと合わせて2つの無限次元の代数が得られた訳 だが、これらの代数はVirasoro 代数 として知られているものである。全ての2 次元の共形場理 論はあるcentral charge cを持ったこの代数を持つ。 真空をz = 0 で T (z)|0 >=∑ n Lnz−n−2|0 > (2.55) が特異点を持たない状態として定義する。したがって、真空は Ln|0 >= 0 n ≥ −1 (2.56)
で定義される。weight がh であるような primary field を持ってきて、
|h >= Φh(0)|0 > (2.57) となる状態を定義する。 [Ln, Φh(w)] = 1 2πi I dzzn+1T (z)Φh(w) = h(n + 1)wnΦh(w) + wn+1∂Φh(w) (2.58)
を用いることで、状態|h >は
L0|h >= h|h >, Ln|h >= 0 n > 0 (2.59)
を満たすことが分かる。このような状態をhighest weight stateと呼ぶ。また、Virasoro代数の生
成子をかけることによって新しい状態L−k1· · · L−kn|h >を作ることができ、これらはdescendant stateと呼ばれる。
primary field をmode展開して次のように書き表すことにする。
Φh(z) = ∑ n ϕhnz−n−h (2.60) mode展開の係数は逆に解くことによって求めることができる。 ϕhn= 1 2πi I Φh(z)zn+h−1 (2.61) したがって、Virasoro 代数の生成子との交換関係は式(2.58) を用いることで、 [Ln, ϕhm] = 1 2πi I [Ln, Φh(z)]zn+h−1 = (n(h− 1) − m)ϕhm (2.62)
となることが分かる。すなわち、conformal weight がh のprimary fieldの mode展開の係数は
式(2.62) のような変換をするということである。
場を2 つ以上組み合わせて演算子を作る場合を考える。先程調べたように2 つの場が近付いた
ときには特異点が出てしまう。このことは演算子積を別の場で展開した OPE を見ることにより
分かる。したがって、 2 つ以上の場を組みあわせて演算子を作るときには、特異点の部分を取り
除いて定義しなくてはならない。この操作は normal ordering と呼ばれる。実際に OPE を特異
点以外の部分も書いてみると、 A(z)B(w) = N ∑ −∞ {AB}n(w) (z− w)n (2.63)
とTaylor展開できる。ここで、normal orderingは次のように2つの場の積が同じ位置で特異点 を持たない部分を取り出すことで定義することができる。 (AB)(w) ={AB}0(w) (2.64) OPEの特異点を持つ部分だけをとった場合を A(z)B(w)≡ N ∑ n=1 {AB}n (2.65) で定義すると、normal orderingはもともとの定義から (AB)(w) = lim z→w[A(z)B(w)− A(z)B(w)] (2.66)
と書き直すこともできる。また、式(2.64)の定義からnormal ordering は(z− w) についての展 開の 0 次の項を取り出していることに対応しているので、 (AB)(w) = 1 2πi I dz z− wA(z)B(w) (2.67)
と定義することもできる。これらのnormal ordering の定義はすべて同じである。以上のnormal
ordering の定義を用いると、2 つ以上の場を組み合わせてつくった演算子と場との OPEを A(z)(B C)(w) = 1 2πi I w dx x− w[A(z)B(x)C(w) + B(x) A(z)C(w)] (2.68) と定義することができる。
2.2
分配関数
今までは平面上の共形場理論のみを考察してきたが、ここではtorus上にのせた場合の共形場 理論を考察することにする。 torus上で定義するために、まず、平面上に定義していた関数を円 筒上に定義し直すことにする。これは第2.1.3 節で考えたradial 量子化をしたときの座標変換に 対応していて、z = et+iθ という座標変換になっている。 w = t + iθとおいて、z = ew と座標変換したときに平面上で定義した場や演算子がどのような 変換を受けるかを調べることにする。primary fieldは式(2.33)のような変換をする場であるため、 ϕcyl(w, ¯w) = ( dz dw )h(d¯z d ¯w )¯h ϕ(z, ¯z) = zhz¯¯hϕ(z, ¯z) (2.69) となる。スピンは J = h− ¯hで定義されているため、スピンが整数のときには平面上の場と円筒 上の場の周期境界条件は一致して、スピンが半整数のときには平面上の場と円筒上の場の周期境 界条件は−1 倍ずれる。 次にエネルギー·運動量テンソルの変換を見る。エネルギー·運動量テンソルは primary fieldではなく、式(2.51)の変換をする。Shwartzian derivative は今の場合S(ew, z) =−1/2となって いるため、 Tcyl(w) = ( dz dw )2 T (z) + c 12S(z, w) = z 2T (z)− c 24 (2.70) となり、おつりの項がついてきてしまう。エネルギー·運動量テンソル をmode 展開した状態で このおつりの項がどのような効果を示すか調べることにする。式(2.53)のmode展開を代入する ことによって、 Tcyl(w) = ∑ n Lnz−n− c 24 = ∑ n (Ln− c 24δn,0)e −nw (2.71)
となる。したがって、おつりの項は Virasoro 代数の生成子のうち zero mode の部分にのみ影響
を与え、
(L0)cyl = L0−
c
だけずれる。 分配関数を求めるためには、時間を特定しなくてはならない。z = e−iw、w = it + θ と取り直 したとき、Im w を時間、Re w を空間と思うことにする。平面上ではL0+ ¯L0 はdilatationの生 成子で、L0− ¯L0 は 回転の生成子となっている。torus上にのせるために円筒上に定義し直した 場を用いると、radial量子化のときの議論から時間方向が radial方向、空間方向が回転方向に対 応していることが分かるため、エネルギーの演算子はH = (L0)cyl+ ( ¯L0)cyl とすることができ、 運動量の演算子はP = (L0)cyl− (¯L0)cyl とすることができる。
τ
1
o
Re w
Im w
τ
+1
図2.4: Modularパラメーターが τ のtorus torusにのせるためには、次の式のような同一視をする必要がある。 w ∼ w + 2π (2.73) w ∼ w + 2πτ (2.74)τ = τ1+ iτ2 は torusの構造を決めるパラメーターでModularパラメーターと呼ばれている。逆
にModularパラメーターτ を定めることでtorusを座標変換と共形変換で移りあう分を除いて決
定することができる。ただし、異なる τ でも同じ torus を作ることがある。non-trivial なcycle
に沿って切って、2π ひねってまたくっつけたtorusはもとの torusと同じになっている。t 方向 にひねってくっつける変換は T変換と呼ばれ、T : τ → τ + 1の変換をする。θ の方向にひねって くっつける変換は U 変換と呼ばれ、U : τ → τ/(τ + 1)の変換をする。ただし、よく使われるの は、U変換のかわりにT変換とU変換を組み合わせたS 変換で、S = T−1U T−1で定義される。 具体的に書くと、 T : τ → τ + 1 (2.75) S : τ → −1 τ (2.76)
の2 つがModular 変換の生成子となっている。torusには2 つのnon-trivial な cycleしかない ので、この 2つの変換を用いてすべての同一なtorusをつくすことができる。2つの変換をあわ せてSL(2, Z)変換 τ → aτ + b cτ + d (2.77) を生成することができる。ただし、a, b, c, d は整数とし、ad− bc = 1を満たしているとする。実 際には a, b, c, d全ての符号を反転しても変わらないので、P SL(2, Z) = SL(2, Z)/Z2 が変換の群 になっている。この変換はModular 変換と呼ばれ、torusは基本領域 −1 2 ≤ Reτ ≤ 1 2, |τ| ≤ 1 (2.78) のみで全ての torusを表すことができる。
-1 -1/2
1/2 1
τ
図 2.5: Modularパラメーター τ の基本領域 分配関数をModularパラメーターτ のtorus上で定義する。時間方向の周期2πτ2 だけ時間が たつと、空間方向にも 2πτ1 だけずれることを考慮すると、次のように定義することができる。Z = tre2πiτ1Pe−2πτ2H = e2πiτ (L0)cyle−2πi¯τ(¯L0)cyl (2.79)
ここで、q = e2πiτ と書き直して、式(2.72)を用いると、 Z = (q ¯q)−24ctrqL0q¯L¯0 (2.80) となることが分かる。 今定義した分配関数がModular変換に対して不変であることを用いることによって、L0 の固 有値をn、L¯0 の固有値をn¯ で表すと、n, ¯n≫ 0 のときには漸近的な状態数を求めることができ る。状態数を ρ(n, ¯n)で表すことにして、次のような量を定義する。 Z′(q, ¯q) = trqL0q¯L¯0 =∑ρ(n, ¯n)qnq¯n¯ (2.81)
すると、状態数 ρ(n, ¯n)を逆に求めることができて、 ρ(n, ¯n) = 1 (2πi)2 ∫ dq qn+1 d¯q ¯ qn+1¯ Z′(q, ¯q) (2.82) で数えることができる。ここで、Z′(τ ) = e2πic24 τZ(τ )と書けることと、Z(τ )がS 変換で不変であ ることを用いると、 Z′(τ ) = e2πic24 τZ ( −1 τ ) = e2πic24 τe 2πic 24 1 τZ′ ( −1 τ ) (2.83) とすることができる。式(2.82)に代入することで、状態数は ρ(n) = ∫ dτ e−2πinτe2πic24 τe 2πic 24 1 τZ′ ( −1 τ ) (2.84) とできる。n≫ 0 のときに鞍点法を用いて最も積分に効いて来るτ の値を拾うと、 τ ∼ i √ c 24n (2.85) となるため、状態数は ρ(n)∼ exp ( 2π √ cn 6 ) Z′(i∞) (2.86) とできる。この状態数を用いてエントロピーも計算でき、 S = ln ρ(n, ¯n)∼ 2π √ cn 6 + 2π √ c¯n 6 (2.87) となる。この L0 の固有値をが非常に大きいときの共形場理論の状態からくるエントロピーを求 める公式は Cardyの公式として知られ、後で共形場理論側の観点からブラックホールのエントロ ピーを数えるのに用いる。
2.3
Current
代数 と
WZW
模型
共形対称性の他にさらに Lie 群 G を対称性として持つような理論を構築することを考えてみ る。すると、さらに対称性が高くなり、理論をより詳しく決めることができる。2 次元共形場理論の対称性に Lie群 Gを入れると、そのcurrent はaffine Kac-Moody 代数という無限次元の代
数に持ち上げられる。また、Lie群Gを対称性に選ぶとLagrangian を逆に構成することができ
る。この模型は WZW 模型として知られている。第2.3.1節でcurrent 代数について説明し、第
2.3.2節で WZW模型について説明する。
2.3.1
Current
代数
conformal weightが (1,0)の primary field Ja(z) を用意する。この場は Lie 群G の対称性の
生成子となることが後の議論により分かるためcurrent と呼ばれる。次元解析からOPEは、 Ja(z)Jb(z) = kη ab/2 (z− w)2 + iηcdfabc z− w J d(z) (2.88)
となり、central extension を持つ。ただし、a, b,· · · は群Gの添字とする。結合則からfabcは
Jacobi identity を満たさなくてはいけないことが分かる。そのため、fabcは Lie代数の結合定数
となっていることが分かる。ηab は群の計量とした。この代数はlevel k のaffine Kac-Moody 代
数あるいはcurrent 代数として知られている。mode展開 Ja(z) =∑ n Jnaz−n−1 (2.89) をすると、式(2.88)は [Jna, Jmb ] = k 2nη ab+ iη cdfabcJn+md (2.90) となり、n = m = 0のときには普通の Lie 代数に一致することが分かる。普通の Lie 代数から
affine Lie 代数 に持ち上げることはもともとのLie 代数に座標z依存性を持たせるようなもので ある。 current代数からエネルギー·運動量テンソルを作る処方箋はSugawara 構成法として知られて いる。current の次元は 1 で、エネルギー ·運動量テンソル の次元は 2なので、current を2 つ 組み合わせてエネルギー ·運動量テンソル を作ることを考える。 T (z) = 1 βηab(J aJb)(z) (2.91) ( )は 式(2.64)で定義したnormal orderingを表している。 エネルギー·運動量テンソルのOPE が式(2.49) T (z)T (w) = c/2 (z− w)4 + 2 (z− w)2T (w) + 1 z− w∂wT (w) (2.92) の変換をするように係数β を決めたい。これから実際に式(2.92)のOPEを計算する。そのため に、まず、式(2.68)を用いて次のようなOPEを計算してみる。 Ja(z)ηbc(JbJc)(w) = 1 2πi I w dx x− wηbc[J a(z)Jb(x)Jc(w) + Jb(x) Ja(z)Jc(w)] = 1 2πi I w dx x− wηbc {[ kηab/2 (z− x)2 + iηdefabdJe(x) (z− x) ] Jc(w) + Jb(x) [ kηac/2 (z− w)2 + iηdefacdJe(w) (z− w) ]} (2.93) ここで、さらにOPEをとる必要がある。この計算では特異点を持たない項も残しておく必要があ る。また、最後の式の第2項はさらに1/(x−w)の特異点をもつ項は積分に効かないので、normal order をとった部分のみを考えればよい。さらに計算を続けることで、 1 2πi I w dx x− wηbc { kJa(w)/2 (z− x)2
+ iηbcηdef abd z− x [ iηf gfecfJg(w) x− w + kηec/2 (x− w)2 + (J eJc)(w) ] + kJ a(w)/2 (z− w)2 + iηbcηdef acd(JbJe)(w) } (2.94) となる。fabcがそれぞれの添字の入れ換えに対して反対称であることからいくつかの項が消える。 また、
−ηbcηdefabdηf gfecf = ηbcηdeηf gfabdff ce= ˜hGδga (2.95)
となっている。h˜G は dual Coxeter numberで、随伴表現の2次のCasimirをfacdfbcd = CAηab
で書き、ψでhighest root を表したとき、˜hG≡ CA/ψで定義される。この式を用いてx につい ての積分をすると次の式が得られる。 Ja(z)ηbc(JbJc)(w) = (k + ˜hG) kJa(w)/2 (z− w)2 (2.96) z とw を入れ換えることで、エネルギー·運動量テンソルとcurrent との OPEが求まって、 T (z)Ja(w) = k + ˜hG β kJa(z)/2 (z− w)2 = k + ˜hG β { kJa(w)/2 (z− w)2 + ∂Ja(w) z− w } (2.97)
となる。ここで、current は conformal weightが1 のprimary field なので、
β = k + ˜hG (2.98) となる必要がある。つまり、エネルギー·運動量テンソルは次のように書き表すことができる。 T (z) = 1 k + ˜hG ηab(Ja(z)Jb(z)) (2.99) エネルギー·運動量テンソル同時の OPE も同様に計算でき、 T (z)T (w) = 1 k + ˜hG 1 2πi I w dx x− wηbc[T (z)J b(x)Jc(w) + Jb(x) T (z)Jc(w)] = c/2 (z− w)4 + 2 (z− w)2T (w) + 1 z− w∂wT (w) (2.100) となり、確かに式(2.49)を満たしていることが分かる。また、同時に central chargeも計算する ことができ、 c = k|G| (k + ˜hG) (2.101) となっている。 primary field ΦR(w)は 群Gの表現Rの生成子をta(R)とすると、 Ja(z)ΦR(w) = ta(R) z− wΦR(w) (2.102)
T (z)ΦR(w) =
h
(z− w)2ΦR(w) +
1
z− w∂wΦR(w) (2.103)
のOPEを持つ。実際にエネルギー ·運動量テンソルに式(2.99)の表式を用いてprimary field の
conformal weightを求めることができる。表現Rの2次の Casimirをtr(ta(R)tb(R)) = CRηab と
すると、式(2.102)を使って計算することで、conformal weight が h = CR k + ˜hG (2.104) となることが分かる。 Ward恒等式は current 代数の場合には < Ja(z)ΦR1(w1, ¯w1)· · · ΦRn(wn, ¯wn) >= n ∑ j=1 ta(Rj) z− wj < ΦR1(w1, ¯w1)· · · ΦRn(wn, ¯wn) > (2.105) となる。 current 代数でもVirasoro代数のときと同じように状態を定義することができる。真空は Ja(z)|0 > がz = 0 で特異点を持たないように定義する。modeで書き表すと真空の条件は、 Jna|0 >= 0 n ≥ 0 (2.106)
となる。highest state はprimary field ΦR(w)を用いて
|R >= ΦR(0)|0 > (2.107)
と定義する。この状態は次のような関係式を満たす。
J0a|R >= ta(R)|R >, Jna|0 >= 0 n > 0 (2.108) descendant stateもVirasoro 代数のときと同様にJa1
−k1 · · · J an −kn|R >で作ることができる。
2.3.2
WZW
模型
いままでの議論では、Lagrangian を構成しないで理論を調べてきた。実際にはcurrent 代数を 理論の対称性としてもつような場合には、その理論に対応するようなLagrangianを構成すること ができる。この模型は Wess-Zumino-Witten (WZW)模型[27]として知られている。まず、次の ような nonlinear sigma模型を調べてみることにする。 S0= 1 4λ2 ∫ d2xtr(∂µg−1∂µg) (2.109) ただし、gは ある群多様体G上に値をもつ場とし、群の生成子をTaで表したときtr(TaTb) = 2δa,b のように規格化を決める。g→ g + δgとしたときの作用の変化分を調べると、 δS0 = 1 2λ2 ∫ d2xtr(g−1δg∂µ(g−1∂µg)) (2.110)となっている。したがって、Jµ= g−1∂µgとすると、∂µJµ= 0がなりたち、Jµが保存current と なっていることが分かる。ただし、今は共形場理論を考えたいので、正則部分と反正則部分が独 立である必要がある。つまり、Jz = g−1∂zg、Jz¯= g−1∂z¯gとかきなおすと、それぞれの current が、∂zJz = 0、∂z¯Jz¯= 0を満たしている必要がある。しかし、current の定義から ∂µJν − ∂νJµ= [Jν, Jµ]̸= 0 (2.111) となり、それぞれ独立には保存していないことが分かる。 そこで、作用に次のような項を付け加えてみる。この項は Wess-Zumino項と呼ばれている。 Γ = −i 24π ∫ B d3yϵαβγtr(˜g−1∂αg˜˜g−1∂βg˜˜g−1∂γ˜g) (2.112) B はboundaryがもともとの2次元の空間にもつような3次元の多様体で、g˜はg を3次元の多 様体上に値をもつように拡張した場である。g→ g + δgとしたときの変化分を調べると、 δΓ = i 8π ∫ d2xϵµνtr(g−1δg∂µ(g−1∂νg)) (2.113) となっていることが分かる。ここで、作用をS = S0+ kΓと書き換えて両方の変化分を足しあげ ると、 ∂µ(g−1∂µg) + λ2ik 4π ϵµν∂ µ(g−1∂νg) = 0 (2.114) となる。変数をz、z¯で書き直すと運動方程式は次のようになる。 ( 1 +λ 2k 4π ) ∂z(g−1∂z¯g) + ( 1−λ 2k 4π ) ∂¯z(g−1∂zg) = 0 (2.115) したがって、λ2 = 4π/kのときに欲しかった∂zJz¯= 0 の式を得ることができる。ここで、正則な current をJz = ∂zgg−1 で定義し直すと、 ∂z(g−1∂z¯g) = g−1∂z¯(∂zgg−1)g (2.116) から正則なcurrent も保存していることが分かる。 これらのcurrent は g(z, ¯z)→ Ω(z)g(z, ¯z)¯Ω−1(¯z) (2.117) の変換に対する生成子になっている。このことを次にしめす。まず、ΩとΩ¯ は 群G 上に値をも つとする。無限小変換Ω(z) = 1 + ω(z)、Ω(z) = 1 + ¯¯ ω をしたときg はδωg = ωg、δω¯ =−g¯ω の 変換をする。このとき作用は、 δS = k 2π ∫ d2xtr(g−1δg∂z(g−1∂¯zg)) = k 2π ∫ d2xtr[ω(z)∂z¯(∂zgg−1)− ¯ω(¯z)∂z(g−1∂z¯g)] (2.118)
の変換をする。 current がそれぞれ保存していることから変分は zero になることが分かる。ま た、保存currentにz依存性が入ったおかげて、もともとのG× Gの対称性が 局所的なG(z)× G(¯z)の対称性に持ち上がっていることが分かる。すなわち、対称性が current 代数に持ち上がっ たということである。 最後に分かりやすいように今までの式をまとめて書いておくことにする。WZW模型の作用は S = k 16π ∫ d2xtr(∂µg−1∂µg)− ik 24π ∫ B d3yϵαβγtr(˜g−1∂α˜g˜g−1∂βg˜˜g−1∂γ˜g) (2.119) と書けた。また、保存 current は、 J (z) = −k 2∂zgg −1 (2.120) ¯ J (¯z) = k 2g −1∂ ¯ zg (2.121) と書けた。規格化は式(2.88)が成り立つように決めた。
2.4
共形場理論と弦理論
弦理論はここ数年で大きく進歩した。大きな進展の一つに、D-brane の発見がある[4][5]。 D-brane は弦理論における非摂動論的な物体で、弦理論の非摂動論的な側面をしらべるのに欠かせ ない道具となっている。さらにD-braneを用いることで、場の理論の理解を深めることができた。 また、D-brane を用いてブラックホール解を作ることで、ブラックホールの熱力学の問題に対す る理解が深まり[6]、また、AdS/CFT 対応という新しい双対性を考えることができるようになっ た[12]。第2.4.1節でボゾン的弦理論の範囲以内で、D-braneの説明をする。次に大きな発展として弦理論の双対性がある。弦理論にはType I、TypeIIA、TypeIIB、SO(32)
Heterotic、E8× E8 Heterotic の5種類の自己矛盾のない超弦理論が存在しているが、弦理論の 双対性の発見により、全てが等価な理論であることが分かった。そのため、双対性を用いることに よって、今まで調べることができなかったところの理解を深めることができるようになった。第 2.4.2で超弦理論の説明をして、双対性について軽くふれることにする。
2.4.1
ボゾン的弦理論と D-Brane
まず、ボゾン的弦理論について調べる。ボゾン的弦理論のwroldsheet 上の作用は、conformal gaugeでは次のように与えられる。 S = 1 4πα′ ∫ dτ ∫ π 0 dσ∂aXµ∂aXµ (2.122) ただし、µ = 0, 1,· · ·, 25とし、弦の tensionはT = 1/(2πα′)とした。このとき、弦の単位長さは α′= ls2 で与えられる。背景の計量はMinkovski とする。Xµについての作用の変分を調べると、 δS =− 1 2πα′ ∫ dτ ∫ π 0 δXµ∂2Xµ+ 1 2πα′ ∫ dτ [δXµ∂σXµ]σ=πσ=0 (2.123)となる。第一項は運動方程式を与え、Xµが Laplace方程式に従うことを示している。第2 項は 作用の変分が well-definedになるためには消えなくてはならない項である。弦には開弦と閉弦の 2 種類あり、次の 3種類の境界条件が存在する。 Xµ(τ, σ) = Xµ(τ, σ + π) (2.124) ∂σ(σ = 0) = ∂σ= 0 (2.125) Xµ(σ = 0) = const, Xµ(σ) = const (2.126) 式(2.124) はworldsheetの空間方向に一周まわると元に戻ることを表しており、閉弦の周期境界 条件を表している。式(2.125)は開弦の境界条件を表しており、弦の端から運動量の流出のない場 合となっていて、 Neumann境界条件と呼ばれる。最近までは開弦にはこの境界条件しか考えら れていなかった。式(2.126)は最近になって考えられるようになった開弦の境界条件で、Dirichlet 境界条件と呼ばれる。この境界条件を満たす弦はある平面内に束縛されていて、運動量がその平 面に対して流出している。したがって、この平面を力学的な物体と思うことができる。この物体 はD-brane [4][5]として知られている。xp+1=· · · = x9 = 0 おけるp-braneはDp-brane と呼ば
れ、次のような境界条件を満たしている。
∂σXµ= 0 µ = 0,· · ·, p (2.127)
Xµ= 0 µ = p + 1, ,· · ·, 25 (2.128)
すなわち、braneと並行な方向はNeumann境界条件をとり、braneと垂直な方向はDirichlet 境
界条件をとった。 次に弦理論を量子化する。まず、閉弦について考察する。Laplace方程式を満たすようにXµ を mode展開すると、 Xµ(z, ¯z) = xµ− iα ′ 2 p µln|z|2+ i √ α′ 2 ∑ nneq0 ( αµn n z −n+α¯µn n z¯ −n) (2.129) とでき、正則な部分と反正則な部分の2つに分けることができる。一般的な正準量子化を用いて、 次のような交換関係を導入する。 [xµ, pν] = iηµν (2.130) [αµn, αmν] = [ ¯αnµ, ¯αµm] = nδn+m,0ηµν (2.131)
すると、mass shell 条件からmass spectrum が求められ、
m2 =−pµpµ=
2
α′(N − ¯N− 2) (2.132)
となる。ただし、N は正則部分のmodeの和、N¯ は反正則部分のmodeの和を表している。−2
は零点エネルギーのずれを表している。閉弦には正則部分と反正則部分の modeの和が等しくな
図 2.6: D-braneとD-braneにくっついている開弦 重力子Gµν、2階反対称テンソルBµν、dilaton ϕが含まれていることが導出できる。有効作用と して、26 次元の重力理論の作用 S = 1 2κ ∫ d26x√−Ge−ϕ [ R + 4∂µϕ∂ϕ− 1 12HµνρH µνρ ] (2.133)
を用いることができる。開弦も同様にしてmode展開することで mass spectrumを調べることが
でき、Neumann境界条件を選んだ場合には、 m2= 1 α′(N − 1) (2.134) となる。開弦の端に N 種類のcharge をおくことで、開弦にラベルをつけることができる。この chargeを用いて状態の前に N× N 行列の Chan-Paton因子 をつけることで状態を定義できる。 |k; a >= N ∑ i,j=1 λaij|k; ij > (2.135) 開弦の散乱振幅を計算するときには図2.7のようなものを計算するため、Chan-Paton 因子 は Tr(λ1λ2· · · λn) (2.136) のようなトレースの形で全体にかかる。そのため、Chan-Paton因子 にはU (N )だけまわす自由
度が存在する。このことから、開弦のmassless spectrumには worldsheetが向きづけ可能の場合
はU (N )ゲージ理論が含まれる。Dirichlet境界条件を選んだときには、spectrumは m2= y 2 (2πα′)2 + 1 α′(N − 1) (2.137)
i
i
j
j
k
l
k
l
図2.7: 開弦による散乱振幅と Chan-Paton 因子となる。ただし、yはD-brane間の距離とする。D-braneが離れているときにはmassive spectrum
しか存在しないが、D-brane が重なっているときにはmassless spectrum が出てくる。開弦の端
についているchargeはこの場合異なるD-braneを表しているため、N 枚のD-brane が重なって
いる場合にはD-brane 上に U (N )のゲージ場がでてくる。有効作用は Dirac-Born-infeld (DBI)
作用として知られ、Dp-brane上の作用は、 Sp =−τp ∫ dp+1ξ det√Gab+ Bab+ 2πα′Fab (2.138) となっている。Gab、Bab は時空の場からbrane 上への引き戻しとして定義する。 次に時空をcompact化することを考える。25次元方向の座標をX25∼ X25+2πRで同一視する。 このとき運動量は量子化され、P25= n/Rとなり離散化した値を取るようになる。閉弦はcompact 化した方向に巻き付くことができる。巻き付き数は σ→ σ + π のときにX25∼ X25+ 2πmR と なることで定義できる。このとき、運動量をp25= (1/2)j(p25+ ¯p25)と分離すると、 p25 = ( n R + mR α′ ) (2.139) ¯ p25 = ( n R − mR α′ ) (2.140) となり、mass spectrum は m2 = (⃗p)2+ (p25)2+ 4 α′(N− 1) (2.141)
= (⃗p)2+ (¯p25)2+ 4 α′( ¯N− 1) (2.142) (2.143) となる。⃗p は25方向以外の運動量とする。この spectrumには運動量と巻き付き数を入れ換える 対称性があり、n とm を入れ換えると同時に R→ α ′ R (2.144) と半径を入れ換えても理論は変わらない。この対称性はT dualityとして知られている。この変換 で、p25→ p25、p¯25→ −¯p25となるため、T dualしたときに同時にその他の振動子もα25→ α25、 ¯ α25→ −¯α25の変換をすることによって、 X25(z, ¯z)→ X′25(z, ¯z) = X25(z)− ¯X25(¯z) (2.145) のように新しい座標系に移ると思うことにする。 いままでは閉弦での話であったが、開弦でT dualすることを考える。すると、式(2.145)の表 式から分かるように 式(2.125) の Neumann 境界条件と式 (2.126) のDirichlet 境界条件とを入
れ換えている。すなわち、Dp-braneに並行な方向に T-dualすることでD(p− 1)-brane に移り、
Dp-brane に垂直な方向にT-dual することでD(p + 1)-brane に移ることが分かる。
図2.8: 閉弦の交換あるいは開弦の1 loop のダイアグラム
次にD-brane のtension を求める。そのためには図2.8のような振幅を計算すればよい。この
いている開弦の1 loopの真空振幅と思うこともできる。円筒の円周の長さを2πt とし、円筒の長 さを π とする。このとき、t → 0 の極限をとると円筒の長さが非常に長い極限に対応している。 閉弦の観点ではmassless mode のみが生き残るので、重力子の交換に対応している。開弦の観点 では loop がつぶれている場合に対応しているので紫外極限になっている。 1 loopの真空振幅は Coleman-Weinbergの公式から求められ、 A = Vp+1 ∫ dp+1k (2π)p+1 ∫ ∞ 0 ∑ i e−2πα′t(k2+ m2i) (2.146)
となる。ここで、kはD-braneの延びている方向への運動量で、iは開弦のmass spectrum (2.137)
m2i = y 2 (2πα′)2 + 1 α′(N − 1) (2.147) のラベルとする。実際に計算すると、 A = 2Vp+1 ∫ ∞ 0 dt 2t(8π 2α′t)−(p+1)/2e−y2t/2πα′ q−2 ∞ ∏ n=1 (1− q2n)−24 (2.148) となる。ここで、q = e−πt とした。s = 1/tとして書き直し、s→ ∞ の極限をとると、 A = 2Vp+1 ∫ ∞ 0 dt 2t(8π 2α′t)−(p+1)/2e−y2t/2πα′ s12(e2π/s+ 24 +· · ·) (2.149) となる。t から sへの変換は開弦の観点から閉弦の観点に移行したことを表している。最初の項 はtachyonの交換を表している。このことは、質量m の粒子のpropagater にe−m2r に比例する 項が出てくることからも分かる。自己矛盾のない理論である超弦理論で考えるときには出てこな いため、massless 粒子の交換に対応する 2番目の項の寄与を考えることにする。このとき、 A ∼ Vp+1 24 212(4πα′) 11−pπ(p−23)/2Γ((23− p)/2)|y|p−23 = Vp+1 24π 210(4π 2α′)11−pG 25−p(y2) (2.150) とできる。ここで、G25−p(y2) は(25− p)次元での Green関数を表している。 閉弦の観点での振幅は式(2.138)のDBI 作用によって決まるcoupling の元で、式(2.133)の重 力理論の作用から求まる重力子と dilatonのpropagater を用いて計算でき、 A ∼ 6Vp+1τp2e2ϕκ2G25−p(y2) (2.151) となる。式(2.150)と式(2.151)を比較することでD-braneの tensionが求められ、 τp = √ π 16κe −ϕ(4π2α′)(11−p)/2 (2.152) となる。
2.4.2
超弦理論と双対性
次に今までの議論を超弦理論の場合に拡張する。超弦理論のworldsheet上の作用はボゾン的弦 理論の場合にフェルミオンを導入することで得られる。 S = 1 4π ∫ dτ ∫ π 0 dσ(1 α′∂X µ∂X¯ µ+ φµ∂φ¯ µ+ ¯φµ∂ ¯φµ) (2.153) ただし、µ = 0, 1,· · ·, 9とした。まず、開弦の場合を考察する。作用の変分をとると、 [φµδφµ− ¯φµδ ¯φµ]σ=πσ=0 (2.154) の項が出て、変分が well-defined であるためにはこの項が消えている必要がある。そのため、境 界でφµ=± ¯φµ である必要があるが、例えば、 φµ(π, τ ) = ¯φµ(π, τ ) (2.155) ととっても一般性を失わない。ここで、φ¯µ(σ, τ ) = φµ(2π− σ, τ)と定義しなおすことで、開弦の 場合のフェルミオンは φµ のみで表すことができる。φµ(0, τ ) = ± ¯φµ(0, τ ) の2 種類の可能性が あることから、境界条件は2 種類出る。 負の符号を選んだ場合、 φµ(0, τ ) =−φµ(2π, τ ) (2.156)となる。この場合はNeveu-Shwartz (NS) sectorと呼ばれ、mode展開は
φµ(σ, τ ) = ∑
r∈Z+12
φµreir(σ+iτ ) (2.157)
となり、半奇数の modeで展開される。mass spectrum は
m2 = 1 α′(N− 1 2) (2.158) となっているため、φµ−1 2|k > の状態がmassless状態にあたり、ゲージ場に対応している。lightcone gaugeをとると、SO(8)のベクトル表現8vになっている。超弦理論では時空に超対称性を持たせ
るために GSO projectionを行う必要がある。このときに tachyon の寄与は取り除かれ、超弦理 論は tachyonのない理論になっている。また、NS sectorは時空でボゾンに対応している。
境界条件はもう一つ
φµ(0, τ ) = φµ(2π, τ ) (2.159)
の場合があり、Ramond (R) sector と呼ばれている。mode展開は
φµ(σ, τ ) = ∑
n∈Z+12
![図 2.6: D-brane と D-brane にくっついている開弦 重力子 G µν 、 2 階反対称テンソル B µν 、 dilaton ϕ が含まれていることが導出できる。有効作用と して、 26 次元の重力理論の作用 S = 1 2κ ∫ d 26 x √ −Ge −ϕ [ R + 4∂ µ ϕ∂ ϕ − 1 12 H µνρ H µνρ ] (2.133)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123deta/5771623.530564/27.892.397.488.146.491/にくっつい重力子テンソルνできる有効作用次元ϕνρ.webp)
