Chern-Simons 理論

この節では、前節で導入した多脚場とスピン接続を用いて3 次元重力理論がChern-Simons 理 論に帰着できることを示す[18][19]。3 次元の負の宇宙定数(Λ =−2/l²)を持った物質のないとき の作用は次のようになる。

S = 1 16πG

∫ d³x√

g (

R+ 2 l²

)

(3.39)

計量はEuclidean であるとして、Gを3次元におけるニュートン定数とした。運動方程式は計量

で変分をとることで求められ、

R_µν = 1

2Rg_µν− 1

l²g_µν (3.40)

となる。リーマン曲率テンソルRµνρσは添字を前 2 つ(µν) 後ろ2 つ (ρσ) ずつ組にすると、そ れぞれの組の中の添字の入れ換えに対して反対称なので、独立な成分は3 つずつとなる。組と組 の入れ換えに対しては反対称なので、運動方程式と同じ数の成分をもっていることが分かる。し たがって、運動方程式からリーマン曲率テンソルR_µνρσ を決めることができ、

Rµνρσ =−1

l²(gµρgνσ−gµσgνρ) (3.41) となる。実際に運動方程式に代入することで成り立っていることが分かる。

次に式(3.39)の作用を前節で定義した多脚場とスピン接続を用いて書き直す。第一項はepsilon

tensorの公式

ϵ^µνλϵ_αβλ = 1

2(δ_α^µδ^ν_β−δ_α^νδ^µ_β)

eϵαβλ = ϵabce^a_αe^b_βe^c_λ (3.42) を利用すると、

∫ √ gR =

∫

eδ_α^µδ_β^νR^αβ_µν

= 1 2

∫

eϵ^µνλϵ_αβλR^αβ_µν

= 1 2

∫

ϵ^µνλϵ_abcR^αβ_µνe^a_αe^b_βe^c_λ

=

∫

ϵ_abcR^αβe^c (3.43)

と書き換えることができる。第二項も同様に計算することができて、両方を合わせると、

S= 1 16πG

∫ ϵ_abc

(

R^ab+ 1 3l²e^ae^b

)

e^c (3.44)

となる。

今3 次元なので、epsilon tensor を用いることで次のような量を定義することができる。

ω^a=−1

2ϵ^a_bcω^bc, R^a=−1

2ϵ^a_bcR^bc (3.45)

2 つの量からR^a=dω^a+¹₂ϵ^a_bcω^bω^c と書き直せることが分かる。今定義した量を用いてA^a、A¯^a という量を次のように定義する。

A^a=ω^a+i

le^a, A¯^a=ω^a− i

le^a (3.46)

逆に解き直すと、

ω^a= 1

2(A^a+ ¯A^a), e^a =−il

2(A^a−A¯^a) (3.47)

となることを利用して、式(3.44)をA^a、A¯^aで書き表すと、

S= 1 16πG

∫ [il

2(A^adA_a+1

3ϵ_abcA^aA^bA^c)−il

2( ¯A^adA¯_a+1

3ϵ_abcA¯^aA¯^bA¯^c) ]

(3.48) となる。

anti-hermitian のSU(2)の生成子を導入して作用を更に書き換える。

T₁= i 2

( 0 1 1 0

)

, T₂= i 2

( 0 −1 1 0

)

, T₃ = i 2

( 1 0 0 −1

)

(3.49) 交換関係は[T_a, T_b] =ϵ_ab^cT_c となっている。また、Tr(T_aT_b) =−(1/2)δ_abとなっている。ここで、

次のような場を導入する。

A=A^aT_a, A¯= ¯A^aT_a (3.50) この場を利用して式(3.48)を書き換えると、次のように A のみによる作用と A¯ のみによる作用 とを分離することができる。

S =iI[A]−iI[ ¯A] (3.51)

ただし、I[A]は次のような作用である。

I[A] = k 4π

∫

Tr(AdA+2

3AAA) (3.52)

この作用はChern-Simons 作用と呼ばれるもので、 今 level k=− l

4G (3.53)

を持っている。A^a、A¯^aが複素数となっていたので、場A、A¯の群はSL(2, C)となり、non-compact になっている。Chern-Simons 作用 の運動方程式はEinstein方程式に対応しているが、

F^a= 0, F¯^a= 0 (3.54)

となっていて、考えている多様体の内部にあたるbulkには自由度が存在していないことが分かる。

次に一般のChern-Simons理論において、境界にaffine Kac-Moodyの対称性の存在することを示 す。作用(3.52)をHamilton形式にするために、時間方向と空間方向を分離して、A^a=A^a₀dt+A^a_idxⁱ

とする。ここで、a, b,··= 1,2,· · ·, N とする。ただし、N は群G の次元とした。このとき作用 (3.52)は、

I = k 8π

∫ dt

∫

Σ

ϵ^ijδ_ab(A^a_iA˙^b_j −A^a₀F_ij^b) (3.55) と書き直すことができる。ただし、Σはxi ではられる2 次元空間とする。

A^a₀ は時間微分を含んでいないため補助場となっていて、A^a₀に対する運動方程式を解くことに よって、

F_ij^a = 0 (3.56)

という式が得られる。したがって、δA^a_i =D_iλ^a というゲージ変換に対して理論が不変であること が分かる。A^a_i は物理的な自由度となり、次のpoisson 括弧を満たす。

{A^a_i(x), A^b_j(y)}= 4π

k ϵ_ijδ^abδ(x−y) (3.57)

物理的な場はA^a_i だけなので、自由度は2N 個ある。ただし、F_ij^a = 0という制約がかかるので、

自由度は2N −N =N 個になる。ゲージ変換による同一視を考えると、自由度はN−N = 0 個 になり、物理的な自由度が存在しないことになってしまう。ただし、今多様体に境界のある場合 を考えているため、ゲージ対称性が境界の寄与によって破れてしまっている。F_ij^a = 0を満たして いても、境界で異なる A^a_i 同士は移りあうことができない。

次に実際に境界にある自由度を調べることにする。群の生成子をT_aで表し、先に定義したSU(2) の生成子の規格化とあわせるために、Tr(TaTb) =−(1/2)δabと決める。^∫_Σ=−2^∫_ΣTrと定義し直 して式(3.55)を書き換えると、

I = k 4π

∫ dt

∫

Σ

(AA˙−A₀F) (3.58)

となる。ただし、A =A^a_iT_adxⁱ、F =F_ij^aT_adxⁱdx^j とした。今、F = 0が成り立っているので、

ゲージ場A はpure gauge でかけ、

A=g⁻¹dg (3.59)

となる。D=d+ [A, ]を用いると、δA=D(g⁻¹δg)、A˙ =D(g⁻¹g)˙ と書き直せることを利用す ると、δA だけずらした時の作用の変分は、

δI = − k 2π

∫ dt

∫

Σ

AδA˙

= − k 2π

∫ dt

∫

Σ

D(g⁻¹g)D(g˙ ⁻¹δg)

= k

π

∫ dt

∫

∂Σ

D_γ(g⁻¹δg)g⁻¹δg

= k

π

∫ dt

∫

∂Σ

A˙γ

1

D_γδAγ (3.60)

となる。ただし、ここで ∂Σは2 次元空間 Σの境界とし、δA_γ、D_γはそれぞれ作用を境界上に 制限したものとする。γ は∂Σ のパラメーターとする。

この理論のpoisson 括弧は作用の変分から読み取ることができ、

{Aγ, Aγ}= 2π

k Dγ (3.61)

となる。

A_γ = 2 k

∑

n

J_ne^inγ (3.62)

とmode展開して、この逆

J_n^a=−2Tr(JnT^a) =− k 2π

∫

∂Σ

(Aγe^−inγT^a) (3.63) に対するpoisson 括弧を計算すると、式(3.61)を利用することで、

{J_n^a, J_m^b}=−ϵ^ab_cJ_n+m^c +ink

2 δ^abδn+m,0 (3.64)

となる。poisson 括弧を交換子にかえて、−i倍すると、

[J_n^a, J_m^b] =iϵ^ab_cJ_n+m^c +nk

2 δ^abδ_n+m,0 (3.65)

となり、levelk のsu(2) affine Kac-Moody代数の生成子となっていることが読み取れる。

ドキュメント内 1 Introduction (ページ 42-45)