Brown-Henneaux 共形対称性

この理論のpoisson 括弧は作用の変分から読み取ることができ、

{Aγ, Aγ}= 2π

k Dγ (3.61)

となる。

A_γ = 2 k

∑

n

J_ne^inγ (3.62)

とmode展開して、この逆

J_n^a=−2Tr(JnT^a) =− k 2π

∫

∂Σ

(Aγe^−inγT^a) (3.63) に対するpoisson 括弧を計算すると、式(3.61)を利用することで、

{J_n^a, J_m^b}=−ϵ^ab_cJ_n+m^c +ink

2 δ^abδn+m,0 (3.64)

となる。poisson 括弧を交換子にかえて、−i倍すると、

[J_n^a, J_m^b] =iϵ^ab_cJ_n+m^c +nk

2 δ^abδ_n+m,0 (3.65)

となり、levelk のsu(2) affine Kac-Moody代数の生成子となっていることが読み取れる。

また、torsion freeの条件から、T^a=de^a+ϵ^a_bcω^bω^c = 0 となり、スピン接続ω^a を多脚場e^a を 用いて求めることができる。

ω¹ = −¹_le^ρdy ω² = ¹_le^ρdx ω³ = 0

(3.69)

Chern-Simons 理論を用いて考察したいので、多脚場とスピン接続をゲージ場に書き直す。 w =

x+iy、w¯=x−iy と書き直し、式(3.47)A^a=ω^a+ ⁱ_le^a 、A¯^a=ω^a− ⁱ_le^a を用いる。そして、

A^a = A^a_wdw+A^a_w¯dw¯+A^a_ρdρ

A¯^a = A¯^a_wdw+ ¯A^a_w¯dw¯+ ¯A^a_ρdρ (3.70) と定義しなおすと、空間がAdS₃ 空間のときのゲージ場の値を求めることができる。

(A¹_w, A²_w, A³_w) = (i le^ρ,1

le^ρ,0) (3.71)

(A¹_w¯, A²_w¯, A³_w¯) = (0,0,0) (3.72) (A¹_ρ, A²_ρ, A³_ρ) = (0,0, i) (3.73) ( ¯A¹_w,A¯²_w,A¯³_w) = (0,0,0) (3.74) ( ¯A¹_w¯,A¯²_w¯,A¯³_w¯) = (−i

le^ρ,1

le^ρ,0) (3.75)

( ¯A¹_ρ,A¯²_ρ,A¯³_ρ) = (0,0,−i) (3.76) 次に 境界でこれらの値をとるようなゲージ場を探す。今、ゲージ場はF = 0 を満たしている。

式(3.73)はradial方向の座標の定義にあたっているので、この条件はいつも成り立っているとす

る。式(3.72)が境界で成り立っているとしてF = 0を解くと、境界以外でもA_w¯ = 0 が成り立っ ていて、自由度は、

Aw=b⁻¹A(w)b,ˆ b=

( e^−ρ2 0 0 e^ρ2

)

(3.77) のみとなる。A(w)ˆ はw の関数になっていて、無限次元の自由度がまだ残っていることが分かる。

このゲージ固定を変えないようなゲージ変換は次のようなものである。

δA_µ=D_µη, η=b⁻¹η(w)bˆ (3.78) このとき、A(w)ˆ は次のような変換をする。

δA(w) = ˆˆ D_wη(w)ˆ (3.79)

式(3.60)に今求めた A を代入することで、Aγ= ˆA(w) となっていることが分かる。したがって、

A(w)ˆ はlevel k のsu(2) affine Kac-Moody 代数の生成子となっている。この解は affine 解を呼 ばれる。

さらに、境界でAdS3 空間になっているためには、式(3.71)も満たしている必要がある。Aˆ^± = Aˆ¹±iAˆ²を導入することで、

Aw = i 2b⁻¹

( Aˆ³ Aˆ⁺ Aˆ⁻ −Aˆ³

) b

= i 2

( Aˆ³ e^ρAˆ⁺ e^−ρAˆ⁻ −Aˆ³

)

(3.80) と書き直すことができる。境界はρ→ ∞^{に対応しているので、}ρ → ∞^{の極限をとることで、}Aˆ⁻ が自由度として残り、

Aˆ³ = 0, Aˆ⁺=−2 (3.81)

とすればよいことが分かる。ここで、Virasoro代数と規格化を合わせるために、L(w) = (k/2) ˆA⁻ とおく。このとき、条件(3.81)を用いて、式(3.80)を書き直すことで、

A_w =ib

( 0 −1

1

kL(w) 0 )

b (3.82)

となる。式(3.81)の条件の元でも、まだ無限次元の自由度が残っていることが分かる。このゲー ジ固定を変えないようなゲージ変換は次のようなものである。

η =−b⁻¹

( i

2∂ε ε

1

kεL(w) + ¹₂∂²ε −₂ⁱ∂ε )

b (3.83)

このとき、ゲージ変換は式(3.78)で表され、L(w) は次のような変換性を示す。

δL=iε∂L+ 2∂εL+k

2∂³ε (3.84)

次に L(w) のmode展開

L(w) =^∑

n

Lne^inw (3.85)

が実際にVirasoro 代数をなしていることを示す。式(3.62)から J_n⁻=Lnとなり、式(3.81)は

J_n⁺=−kδ_n,0, T_n³= 0 (3.86)

となる。制限が加わった場合の量子化は poisson 括弧を Dirac括弧に置き換えることで行うこと ができる。式(3.86)はそれぞれの交換関係がnon-zeroの値をもつので、second constraintとなっ ている。ここで J_n^±=J_n¹±iJ_n² として行列

C=

( [J_n⁺, J_m⁺] [J_n⁺, J_m³] [J_n³, J_m⁺] [J_n³, J_m³]

)

=

( 0 kδn+m,0

−kδn+m,0 kn 2 δn+m,0

)

(3.87)

を定義する。この行列には逆が存在するので、Dirac 括弧を定義することができる。ここで、式 (3.65)をJ_n^± を用いて書き直すと

[J_m⁺, J_n⁻] = kmδm+n,0+ 2J_m+n³

[J_m³, J_n^±] = ±J_m+n^± (3.88)

[J_m³, J_n³] = k

2mδ_m,−n

となることを用いた。行列C⁻¹ を用いることで普通の交換子とDirac括弧に対応する交換子は次 のような関係をもつ。

[a, b]^∗= [a, b] + n

2k[a, J_n⁺][J₋⁺_n, b] + 1

k[a, J_n⁺][J₋³_n, b]− 1

k[a, J_n³][J₋⁺_n, b] (3.89)

この Dirac括弧に対応する交換子を用いることで、Virasoro代数の交換関係

[Ln, Lm]^∗ = (n−m)Ln+m− k

2n³δn+m (3.90)

を再現することができる。central chargeは

c=−6k (3.91)

となっている。式(3.53)からk=−l/(4G)という関係がついているため、ニュートン定数を用い てcentral charge を書き表すと、

c= 3l

2G (3.92)

となる。この解はVirasoro 解と呼ばれる。Brownと Henneaux [17]は計量の形式を用いて境界 でAdS3 空間となるような条件の元で、境界に存在する共形場理論のVirasoro代数の生成子を求 めた。計量を用いる方法と Chern-Simons 理論を用いる方法とは互いに入れ換えることができる ため、本質的にこの節で行ったことと同じことをしている。