博 士 論 文 概 要
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(2) 図 形 ･形 状 処 理 分 野 に お い て ， 自 由 曲 線 ･曲 面 ， 特 に そ の 干 渉 処 理 は 非 常 に 重 要 な 問 題 で あ る ． 幾 何 的 Newton 法 は 交 点 算 出 の 一 般 的 な 手 法 で あ る ． 本 論 文 は ， 有 理 曲 線 ・ 曲 面 を 対 象 と し た 幾 何 的 Newton 法 に 同 次 処 理 を 導 入 し ， 従 来 の 手 法 に比べ格段に頑健な手法を提案するものである． 論文は７章より成る．各章の概要は以下の通りである． 第１章. 研究背景・研究目的. 幾 何 的 Newton 法 に は ， 頑 健 性 と 局 所 一 意 性 が 要 求 さ れ る ． 頑 健 性 と は ， 演 算 が途中で破綻することなく終了する性質である．また局所一意性とは初期パラメ ータと収束解との関係が連続的となる性質であり，予測され得る解に収束するた めに必要な性質である． 有 理 曲 線 ・ 曲 面 を 対 象 と す る 幾 何 的 Newton 法 の ア ル ゴ リ ズ ム に は ， 頑 健 性 と 局 所 一 意 性 に 問 題 が あ る ． 幾 何 的 Newton 法 に 関 連 す る 過 去 の 研 究 は 収 束 性 の 改 善 に つ い て 述 べ て お り ，有 理 曲 線 ･ 曲 面 を 対 象 と し た 場 合 の 有 理 式 特 有 の 頑 健 性 に 対する問題に言及したものは見当たらない． 本 論 文 は 幾 何 的 Newton 法 に 同 次 処 理 を 導 入 す る こ と に よ っ て ， 発 散 問 題 ， 振 動問題，局所一意性問題を解決または改善する手法を提案する． 第２章. 問題提起. 従 来 法 で あ る ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 的 Newton 法 （ CE 法 ） は ， ユ ー ク リ ッ ド 空 間 に お い て 定 義 さ れ る 有 理 曲 線 を 直 接 的 に 対 象 と す る 幾 何 的 N e w t o n 法 で あ る ．C E 法 は 発 散 現 象 を 生 じ や す い ． 実 際 に CE 法 を 用 い て ， 有 理 曲 線 と 直 線 と の 交 点 算 出を行うと，多くの初期パラメータにおいてパラメータ値が発散する．有理曲線 を対象とした演算処理は，有理式表現に起因する問題を持つからである． ま た ， CE 法 は 初 期 パ ラ メ ー タ と 収 束 解 と の 関 係 が 不 連 続 的 で あ り ， 局 所 一 意 性にも問題がある． 第３章. 発散問題への対応. C E 法 の 発 散 問 題 を 解 決 す る た め ，座 標 を 同 次 化 し た 同 次 幾 何 的 N e w t o n 法（ S H 法 ） を 提 案 す る ． SH 法 は 同 次 ベ ク ト ル 空 間 に お い て 定 義 さ れ る 同 次 曲 線 を 対 象 と す る ， CE 法 と 等 価 な 幾 何 的 Newton 法 で あ る ． 同 次 曲 線 は 有 理 曲 線 の 分 母 を もう 1 つ のベ クト ル成分 とす るこ と により 非有 理式 表 現され た曲 線で あ り，有 理 式表現に起因する問題が同次曲線には存在しない． 同 次 曲 線 を 対 象 と す る SH 法 は 有 理 式 表 現 に 起 因 す る 発 散 現 象 が 起 き ず ， 頑 健 で あ る ． SH 法 で は ， す べ て の 初 期 パ ラ メ ー タ に 対 し 演 算 を 破 綻 な く 行 う こ と が できる． 交点を求める幾何的処理と等価な関数を等価関数という．発散問題は，幾何的 1.
(3) Newton 法 の 等 価 関 数 の 形 状 に 依 存 し て お り ， 等 価 関 数 が 横 方 向 の 漸 近 線 を 持 つ 場合に発散現象が現れる． 有 理 曲 線 を 対 象 と す る 場 合 ， CE 法 等 価 関 数 に は 必 ず 漸 近 線 が 存 在 す る ． い っ たんパラメータが漸近線近傍の値をとると，以後は微分値が一方的に減小し，増 分値は加速度的に増大し，遂には発散現象を生じる． こ れ に 対 し ，SH 法 で は 非 有 理 曲 線 を 対 象 と す る こ と に な る の で ，SH 法 の 等 価 関数には漸近線が存在せず，演算は頑健である． 第４章. 局所一意性問題への対応. SH 法 で は 頑 健 性 は 向 上 し た が ， 局 所 一 意 性 は 不 十 分 で あ る ． 局 所 一 意 性 を 向 上 さ せ る た め に 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 Newton 法 （ DH 法 ） を 提 案 す る ． DH 法 で は ， 座 標 だ け で な く パ ラ メ ー タ も 同 次 化 す る こ と に よ り ， 幾 何 的 Newton 法 の パ ラ メ ー タ 増 分 値 を 制 御 で き る 新 し い 自 由 度 が 得 ら れ る ． 本 論 文 で は，同次パラメータ成分の二乗和を最小化する制御法を提案した．この制御法で は，演算回数を従来法と変えることなく増分値を従来法より小さく制御すること が で き る ． DH 法 で は ， 発 散 現 象 が 現 れ な い だ け で な く ， 初 期 パ ラ メ ー タ と 収 束 解との関係が連続的となり，局所一意性が飛躍的に向上する． 第５章. 振動問題への対応. 複素解の存在する交点算出問題においては，振動現象が発生する場合がある． この問題を解決するために，同次パラメータを複素数化した複素同次パラメータ 同 次 幾 何 的 Newton 法 （ DHC 法 ） を 提 案 す る ． DHC 法 で は ， 座 標 が 同 次 化 さ れ て い る の で 発 散 性 は な く ， 演 算 は 頑 健 で あ る ． また，パラメータも同次化され，複素同次パラメータ成分の二乗和を最小に制御 す る ．こ れ に よ り ，DHC 法 は 優 れ た 局 所 一 意 性 も 実 現 し て い る ．さ ら に ，初 期 パ ラメータ近傍に複素解が存在する場合には，振動現象なしに複素解に収束させる ことができる． D H C 法 は 発 散 的 お よ び 振 動 問 題 の 双 方 を 解 決 す る と と も に ，優 れ た 局 所 一 意 性 を有している． 第６章. 有 理 曲 面 に 対 象 と す る 幾 何 的 Newton 法 の 頑 健 性. 曲面 ／曲 面相 互 の交線 を交 線追 跡 法によ り求 める 際 の，交 線上 の 1 点 を幾何 的 Newton 法 に よ り 決 定 す る 場 合 の 頑 健 化 に つ い て 論 じ る ． 曲 線 ／ 直 線 の 幾 何 的 Newton 法 に 対 す る 同 次 化 の 手 法 を ， 有 理 曲 面 間 相 互 干 渉 処 理 に 応 用 す る ． 従 来 法 で あ る CE 法 は ， 有 理 曲 面 を 対 象 と し て お り ， 有 理 式 表 現 に 起 因 す る 問 題 に よ り ， 発 散 現 象 を 生 じ や す い ． こ れ に 対 し ， 同 次 曲 面 を 対 象 と し た SH 法 は 頑健である．同次曲面が非有理式で定義される曲面だからである． 2.
(4) 発 散 問 題 は ， 幾 何 的 Newton 法 の 等 価 関 数 の 形 状 に 依 存 し て お り ， 等 価 関 数 が 横方向の漸近線を持つ場合に演算は発散する．曲面間相互干渉処理では等価関数 が多変数を持つ複雑な形状であるため，変数の幾つかを固定し，等価関数の断面 によって頑健化が説明される． 有 理 曲 面 を 対 象 と す る 場 合 ， CE 法 の 等 価 関 数 は 有 理 式 と な り ， そ の 曲 面 の 断 面 は 必 ず 横 方 向 の 漸 近 線 を 持 つ ．い っ た ん パ ラ メ ー タ が 漸 近 線 近 傍 の 値 を と る と ， 以 後 は 微 分 値 が 一 方 的 に 減 小 し ， 増 分 値 は 加 速 度 的 に 増 大 す る ． し た が っ て CE 法は頑健性がない． 同 次 座 標 を 用 い て 有 理 曲 面 を 同 次 曲 面 と し て 扱 う の が ， 曲 面 に 対 す る SH 法 で あ る ． 同 次 曲 面 は 非 有 理 式 で あ る か ら ， 同 次 曲 面 を 対 象 と す る SH 法 の 等 価 関 数 に は 漸 近 線 が 存 在 せ ず ， SH 法 で は 演 算 を 破 綻 な く 行 う こ と が で き る ． 第７章. 結. 論. 本 論 文 で は ， 従 来 の 幾 何 的 Newton 法 の 持 つ 発 散 問 題 ， 振 動 問 題 ， 局 所 一 意 性 問題に対して解決方法を提案した． 有 理 曲 線 ／ 直 線 の 交 点 算 出 に 対 す る 幾 何 的 Newton 法 に お け る 研 究 成 果 は 以 下 の通りである． 1.. 発散問題への対応として，座標を同次化することにより演算の頑健性を向上 させた．また，考察において頑健性と等価関数の漸近線との関係を明確にし た．. 2.. 局所一意性問題への対応として，パラメータを同次化し，かつ，同次座標成 分の二乗和を最小に制御することにより，局所一意性を格段に向上させた．. 3.. 振動問題への対応として，パラメータの複素数化を行い，複素解に収束させ ることにより振動現象を回避した．複素数化と同次化を併用することにより 頑 健 性 と 局 所 一 意 性 を 両 立 し た DHC 法 を 提 案 し た ． 有 理 曲 面 を 対 象 と す る 幾 何 的 Newton 法 に お け る 研 究 成 果 は 以 下 の 通 り で あ る ．. 4. 曲 面 の 干 渉 処 理 に お い て も ， 座 標 の 同 次 化 に よ っ て 演 算 の 頑 健 性 を 向 上 さ せ る 方 法 を 提 案 し た ．ま た ，有 理 曲 面 を 対 象 と し た 幾 何 的 N e w t o n 法 の 頑 健 性 と 等価関数の漸近線との関係を明確にした．. 3.
(5) 研 究 業 績 種 類 別 論文. 講演. ポスター セッショ ン. 題名、. 発表・発行掲載誌名、. 発表・発行年月、. 連名者（申請者含む）. 1 . 木 村 雅 紀 ，山 口 富 士 夫 ： 複 素 解 対 応 に よ る 安 定 な 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 Newton 法 ， 精 密 工 学 会 誌 ， 掲 載 決 定 ． 2. 木 村 雅 紀 ， 山 口 富 士 夫 ： 有 理 曲 面 を 対 象 と し た 同 次 幾 何 的 N e w t o n 法 の 研 究 ， 精 密 工 学 会 誌 ， Vo l . 7 0 , N o . 1 2 , 2 0 0 4 , pp.1583． 3. 木 村 雅 紀 ， 山 口 富 士 夫 ， 渡 辺 良 夫 ： 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 ニ ュ ー ト ン 法 に 関 す る 考 察 ， 精 密 工 学 会 誌 , Vo l . 6 7 , N o . 1 2 , 2001, pp.1949． 1 . 木 村 雅 紀 ，山 口 富 士 夫 ： 複 素 解 対 応 に よ る 安 定 な 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 N e w t o n 法 ，精 密 工 学 会 秋 季 大 会 学 術 講 演 会 講 演 論 文 集 ， 2005． 2. 木 村 雅 紀 ，山 口 富 士 夫 ： 同 次 化 NURBS に よ る 点 群 近 似 ，精 密 工 学 会 秋 季 大 会 学 術 講 演 会 講 演 論 文 集 ， 2003． 3 . 木 村 雅 紀 ，山 口 富 士 夫 ： 同 次 幾 何 的 ニ ュ ー ト ン 法 の 複 素 解 へ の 適用に関する研究，精密工学会春季大会学術講演会講演論文 集 ， 2002， pp.251． 4. 木 村 雅 紀 ，小 松 原 歓 二 ，山 口 富 士 夫 ： 同 次 幾 何 的 ニ ュ ー ト ン 法 の 複 素 解 へ の 適 用 に 関 す る 研 究 ，精 密 工 学 会 秋 季 大 会 学 術 講 演 解 講 演 論 文 集 ， 2001， pp.44． 5 . 木 村 雅 紀 ，山 口 富 士 夫 ： 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 ニ ュ ー ト ン 法に関する考察，精密工学会秋季大会学術講演会講演論文集， 2000， pp.428． 6. 渡 辺 良 夫 ， 木 村 雅 紀 ， 山 口 富 士 夫 ： 同 次 パ ラ メ ー タ 同 次 幾 何 的 ニ ュ ー ト ン 法 に 関 す る 解 の 局 所 性 に つ い て ，精 密 工 学 会 春 季 大 会 学 術 講 演 会 講 演 論 文 集 ， 2000， pp.10． 1 . M a s a n o r i K i m u r a a n d F u j i o Ya m a g u c h i : “ H o m o g e n e o u s N e w t o n -Raphson Methods for Complex Roots”, Curves and Surfaces, 2002 (Saint-Malo – FRANCE)． 2. M a s a n o r i K i m u r a a n d F u j i o Ya m a gu c h i : “ A M e t h o d o f G e t t i n g over the Uncertainties of Geometric Newton-Raphson Method for Rational Curves and Surfaces”, Uncertainty in Geometric C o m p u t a t i o n s , 2 0 0 1 ( T h e U n i v e r s i t y o f S h e ff i e l d , U K ) ．. 5.
(6) 研 究 業 績 種 類 別. 題名、. 発表・発行掲載誌名、. 6. 発表・発行年月、. 連名者（申請者含む）.
(7) 研 究 業 績 種 類 別. 題名、. 発表・発行掲載誌名、. 7. 発表・発行年月、. 連名者（申請者含む）.
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