関数方程式研究室（竹内研究室）
2020.5.20
●ゼミの内容
3
年次のゼミ（数理科学セミナー）は、総合研究を独力で行う上で必要な基礎訓練です。テーマは主に 微分方程式や関数解析に関するものになります。2019
年度 柳田・栄「常微分方程式論」（朝倉書店）…常微分方程式・境界値問題・力学系など
2018
年度 草野尚「境界値問題入門」（朝倉書店）…常微分方程式・フーリエ解析・変分問題・ヒルベルト空間など
2017
年度 バージェス・ボリー「微分方程式で数学モデルを作ろう」（日本評論社）…微分方程式・数理モデリングなど
3
年次のゼミではメンバー全員でテキストを輪講し、4
年次の総合研究では各自のテーマへ。●関連する授業
「数学
I・ II」「線形代数 I・ II」「微分方程式」「線形空間」「集合と位相」「
解析基礎」「解析学II」「
関数方程式論I・II」「関数解析」および解析系のすべての科目●教員と院生の研究内容
「解けない方程式から新しい関数を発見する」三角関数や指数関数などの大学初年次までに学ぶ様々な 関数は初等関数とよばれ、変化や形状を定式化するための基本となります。しかし、振り子の大きな振 動やまわっている縄跳びの形など、特殊関数なるものを用いないと定式化できないものも多くありま す。本研究室では、然るべき関係式（関数方程式、特に微分方程式）について、その数理構造と解の存 在性や性質を研究することにより、個性的な特殊関数の発見と応用を目指しています。
●どのような学生に合った研究室か
• 真面目だと言われることがあるが、自分ではそれほど真面目だとは思っていない人。
• 曲がったことは嫌いだが、非線形はやってみたい人。
• 飲み会や合宿などの行事が実は苦手な人。
• 余裕を感じさせる数学教員となって幸せな人生を歩みたい人。
• 他大学の大学院（解析系）も受験したい人。
研究室ウェブページには研究室の研究業績・過去の総合研究概要書・メンバーの進路等の情報があるの で、配属を希望する人は必ず読んでください。http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~shingo/
一般化ヤコビ楕円関数（
2012, S.Takeuchi ） 𝑥𝑥 = �
0
sn
𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑥𝑥,𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑝𝑝
(1 − 𝑑𝑑
𝑞𝑞)(1 − 𝑘𝑘
𝑞𝑞𝑑𝑑
𝑞𝑞)
芝浦工業大学 システム理工学部 数理科学科関数方程式研究室
教授 竹内 慎吾
𝑘𝑘 = 0 𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 = 2
𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 = 2 𝑘𝑘 = 0
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑝𝑝−2𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 −1 𝑞𝑞
𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑞𝑞−2𝑑𝑑 1 +𝑘𝑘𝑞𝑞−2𝑘𝑘𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 0
𝜕𝜕𝑑𝑑
𝜕𝜕𝑑𝑑 = div(|𝛻𝛻𝑑𝑑| 𝑝𝑝−2 𝛻𝛻𝑑𝑑) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑 , 𝛻𝛻𝑑𝑑)
三角関数 𝑥𝑥=�
0
sin𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 1− 𝑑𝑑2
ヤコビ楕円関数（1829, C.G.J.Jacobi） 𝑥𝑥=�
0
sn(𝑥𝑥,𝑘𝑘) 𝑑𝑑𝑑𝑑
(1− 𝑑𝑑2)(1− 𝑘𝑘2𝑑𝑑2)
一般化三角関数（1879, E.Lundberg） 𝑥𝑥=�
0
sin𝑝𝑝𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑝𝑝1− 𝑑𝑑𝑞𝑞
非線形微分方程式の解析
線形代数・微分積分・微分方程式 論・ルベーグ積分・関数解析を基 礎として、非線形微分方程式の解 の存在・一意性・安定性・分岐・
漸近挙動・力学系等を研究してい ます。非線形の中に潜む数理を発 見・解明することが目的です。
数学教育への貢献
数学概念を解説・理解するに あたり『最も優れた説明』が 存在するという信念のもとに、
日々その方法を模索していま す。学生とともに行うゼミは その発見と実践の場です。
新しい特殊関数の発見
一般に非線形微分方程式の厳密 解は初等関数で表すことができ ません。多くの方程式の解を表 現できるような、役に立つ特殊 関数と特殊値の発見を目指しま す。非線形微分方程式と数論、
特に楕円積分との新しい関わり を研究中です。
文化としての数学
数学の理論は抽象的で、理工 学というよりは哲学や芸術に 近い印象を受けるかもしれま せん。しかしそれは曖昧さが なく客観的で、その『真偽』
が人や時代によらず不変です。
文明としての数学
人は数学を学ばなくても生き ていけるでしょう。しかし産 業人が数学の素養を失えば、
開発が途絶えて国が滅びます。
数学は資源のないものづくり 立国を支え続けています。
