10 積分の応用： 体積、表面積の計算

9 _部分積分

定理9.1(不定積分の 部分積分の 公式) 教科書p.128定理4.8F⁰(x) =f(x) とするとき 、

Z

f(x)g(x)dx=F(x)g(x)− Z

F(x)g⁰(x)dx 証明 積の 微分公式をF(x)g(x)に 対し て用いると、

{F(x)g(x)}⁰=F⁰(x)g(x) +F(x)g⁰(x) =f(x)g(x) +F(x)g⁰(x) となるの で、右辺の 不定積分はF(x)g(x) +Cとなる。し た がっ て、

F(x)g(x) +C= Z

f(x)g(x)dx+ Z

F(x)g⁰(x)dx となり、移項し て

intf(x)g(x)dx=F(x)g(x)− Z

F(x)g⁰(x)dx+C 定数Cは不定積分R

F(x)g⁰(x)dxに 入れてし まっ てよいの で、

intf(x)g(x)dx=F(x)g(x)− Z

F(x)g⁰(x)dx

と書け る。

例9.1 教科書p.129問4.13 (1)および 例題4.8 (2) (1)

Z

xsinx dxを計算する。

(−cosx)⁰= sinxだから、上でf(x) = sinx, g(x) =xとおく と Z

xsinxdx=−xcosx+ Z

cosx dx=−xcosx+ sinx+C

(2) x >0とし て、

Z

logx dxを計算する。

Z

logx dx= Z

1·logx dx=xlogx− Z

1dx=xlogx−x+C 定理9.2(定積分の 部分積分)教科書p.130定理4.9

F⁰(x) =f(x)の とき 、 Zb

a

f(x)g(x)dx= [F(x)g(x)]^b_a− Zb

a

F(x)g⁰(x)dx

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証明 積の 微分公式から

{F(x)g(x)}⁰=f(x)g(x) +F(x)g⁰(x) から、

[F(x)g(x)]^b_a = Zb

a

(f(x)g(x) +F(x)g⁰(x))dx

= Zb

a

f(x)g(x)dx+ Zb

a

F(x)g⁰(x)dx

あとはこ れを移項すれば良い。

例9.2 (1) Zπ

0

cos²x dxを求める。

もちろん、半角の 公式

cos²x=1 + cos 2x 2

を使っ ても計算でき るが、部分積分を使っ てみる。

Zπ 0

cos²x dx = Zπ

0

cosx·cosx dx

= [sinxcosx]^π₀− Zπ

0

sinx·(−sinx)dx= Zπ

0

(sin²x)dx sin²x= 1−cos²xだから、

Zπ 0

cos²x dx= Zπ

0

(1−cos²x)dx=π− Zπ

0

cos²x dx 移項し て

2 Zπ

0

cos²x dx=π し た がっ て

Zπ 0

cos²x dx=π 2 (2) In=

Zπ 0

cosⁿx dxを求める。

In = Zπ

0

cosⁿdx= Zπ

0

cosx·cosⁿ⁻¹x dx

=

sinxcosⁿ⁻¹xπ 0−

Zπ 0

(n−1) cosⁿ⁻²x(−sin²x)dx

= (n−1) Zπ

0

cosⁿ⁻²sin²x dx

= (n−1) Zπ

0

cosⁿ⁻²x dx−(n−1)In

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移項し て

nIn= (n−1)In−2 ∴In=n−1 n In−2

となり、

I0= Zπ

0

dx=π, I1= Zπ

0

cosx dx= [sinx]^π₀= 0 だから、

I2k = 2k−1 2k

2k−3 2k−2· · ·1

2I0

= 2k−1 2k

2k−3 2k−2· · ·1

2π I2k+1 = 2k

2k+ 1 2k−2 2k−1· · ·2

3I1

= 0 がわかる。

10 積分の応用： 体積、表面積の計算

立体をある方向(x方向とし よう)に 直交する平面で切っ た時の 切口の 周の 長さやb(x)や断面積S(x)が分かると、こ の 立体の 表面積Aや体積V が

A= Zh

0

b(x)dx, V = Zh

0

S(x)dx

で求められる。（もちろんS(x), b(x)が連続など の 良い性質を持つ必要はある が）こ こ で、hはこ の 立体の 左端の x-座標を0とし た 時の 立体の 右端の x- 座標を表す。

例10.1(回転体の 体積、表面積)y=f(x), a≤x≤bをx-軸の 回りに 回転 し て出来る図形の 表面積Aと体積V は

A= 2π Zb

a

f(x)dx, V=π Zb

a

f(x)²dx y軸の 回りに 回転する時はx=f⁻¹(y)と書き 直し てから計算する。

(1) 三角錐の 体積底面積S高さhの 三角錐の 体積を求める。高さxの 時 の 切口の 面積は相似性から(x/h)²Sだから、

V= Zh

0

x² h²S dx= S

h² Zh

0

x²dx=hS 3

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(2) y=x^−1/3,0< x <1をx-軸の 回りに 回転し て得られる図形の 体積は

V =π Z1

0

x^−2/3dx=π

"

1−²₃ x

1/3#¹

0

= 3π および 表面積は

A= 2π Z1

0

x^−1/3dx=π

"

1−¹₃ x

2/3#¹

0

=3 2π となる。

練習10.1次の 不定積分を計算せ よ (1)

Z x⁴e^xdx (2)

Z

x²sinx dx (3)

Z x+ 1

x(x+ 2)(x+ 3) (こ れは部分積分で はなく 、部分分数展開の 問題 です。）

練習10.2 (1) 楕円

x² a²+y²

b² = 1

をx軸の 回りに 回転させ て出来る立体の 体積を求めよ。

(2) こ の 立体を−a/2≤x≤a/2で切り取っ た樽型の 立体の 体積を求めよ。

(樽の 体積の 求め方：オイラーに よる方法)

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