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部分積分の計算 2012-10-5

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(1)

部分積分の計算 2012-10-5

ここが重要

∫

f(x) g

′

(x) dx

から

∫

f

′

(x) g(x) dx

が計算可能になるように変形する

.

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = (1)

g

′

(x) = (2)

とおくと

 

 

 

 

 

 

 

f

′

(x) = (3) 簡単な式

g(x) = (4)

∫

f(x) g

′

(x) dx = f(x) g(x) −

∫

f

′

(x) g(x) dx

= = =

= (1) (4) −

∫

(3) × (4) dx

=

部分積分の公式は複雑なので , 公式を書いてから計算する

1

(2)

【 例題

58

】

(1)

∫

x cos x dx

 

 

 

 

 

f (x) =

g

′

(x) =

とおくと

 

 

 

 

 

f

′

(x) =

g(x) =

∫

f(x) g

′

(x) dx = f(x) g(x) −

∫

f

′

(x) g(x) dx

= = =

= −

∫

dx

=

(2)

∫

xe

x

dx

 

 

 

 

 

f (x) =

g

′

(x) =

とおくと

 

 

 

 

 

f

′

(x) =

g(x) =

∫

f(x) g

′

(x) dx = f(x) g(x) −

∫

f

′

(x) g(x) dx

= = =

= −

∫

dx

=

2

(3)

【 例題

59

】（１が かくれんぼ ） 

(1)

∫

log x dx

 

 

 

 

 

f (x) =

g

′

(x) =

とおくと

 

 

 

 

 

f

′

(x) =

g(x) =

∫

f(x) g

′

(x) dx = f(x) g(x) −

∫

f

′

(x) g(x) dx

= = =

= −

∫

dx

=

【 練習問題

49

】（１が かくれんぼ ） 

∫

Tan

−1

x dx

 

 

 

 

 

f (x) =

g

′

(x) =

とおくと

 

 

 

 

 

f

′

(x) =

g(x) =

∫

f(x) g

′

(x) dx = f(x) g(x) −

∫

f

′

(x) g(x) dx

= = =

= −

∫

dx

=

3

(4)

部分分数分解

1

(x + 1)(x + 2) =

x + 1 +

x + 2

x + 4

(2x + 1)(x − 3) =

2x + 1 +

x − 3

3x + 2

(x + 3)(x − 4) =

x + 3 +

x − 4

x (x + 1)

2

=

x + 1 +

(x + 1)

2

3x

3

x

2

− 1 = +

x + 1 +

x − 1

有理化

√ 1

x + 1 + √

x = 1

√ x + 1 + √

x × =

√ 1

x + 1 − √

x + 3 = 1

√ x + 1 − √

x + 3 × =

4

参照

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