熊本大学 数理科学総合教育センター
積分の応用 : 面積 , 体積 , 長さ 問題 1 解答
1 以下の問題における面積 S を求めよ.
(1) a >0 とする. 次の極方程式はカージオイド (cardioid)曲線と呼ばれる.
r=a(1 +cosθ), (0≤θ ≤2π) この曲線で囲まれる図形の面積 S を求めよ.
[解]: 求める面積 S は
S = 1 2
Z 2π
0
a2(1 +cosθ)2dθ= a2 2
Z 2π
0
(1 + 2cosθ+cos2θ)dθ
= a2 2
Z 2π
0
1 + 2cosθ+ 1 +cos2θ 2
dθ
= a2 2
θ+ 2sinθ+1 2
θ+ 1
2sin2θ 2π
0
= 3 2πa2.
x y
0 2a
a
−a
図1 カージオイド
(2) n を自然数とする. 次の極方程式
r=sin(nθ)
0≤θ ≤ π n
による曲線で囲まれる図形の面積 S を求めよ. [解]: 求める面積 S は
S = 1 2
Z nπ
0
r2dθ = 1 2
Z πn
0
sin2(nθ)dθ
= 1 2
Z nπ
0
1−cos(2nθ)
2 dθ= 1 4
θ− 1
2nsin(2nθ) πn
0
= π 4n. したがって, S = π
4n.
1
熊本大学 数理科学総合教育センター 2 a >0 とする. 以下の問題における曲線の長さ l を求めよ.
(1) 次の曲線
y=acoshx a
を考える. b >0 に対し,この曲線の区間 [−b, b] における長さ l を求めよ. [解]: y0 =sinhx
a より,
1 + (y0)2 = 1 +sinh2 x
a =cosh2x a したがって求める長さ l は
l= Z b
−b
p1 + (y0)2dx= Z b
−b
coshx a dx=
h
asinhx a
ib
−b
= 2asinhb a
=a
eba −e−ba . (2) 次の極方程式はアルキメデスの螺旋と呼ばれる.
r =aθ.
このとき θ が区間 [0,2π] を動くときの曲線の長さ l を求めよ.
[解]: r2+ (r0)2 =a2θ2+a2 =a2(θ2+ 1)となるから, 求める長さ l は l =
Z 2π
0
s r2+
dr dθ
2
dθ
=a Z 2π
0
pθ2+ 1dθ
=a 1
2(θp
θ2+ 1 +sinh−1θ) 2π
0
=a 1
2sinh−12π+πp
1 + 4π2
= a 2
2πp
1 + 4π2+log
2π+p
1 + 4π2 . (3) 次の極方程式は等角螺旋と呼ばれる.
r=e−aθ.
広義積分を使い, θ が区間 [0,∞) を動くときの曲線の長さ l を求めよ.
[解]: r2+ (r0)2 =e−2aθ+a2e−2aθ= (a2+ 1)e−2aθ となるから, 求める長さ l は l =
Z ∞
0
s r2+
dr dθ
2
dθ=p a2+ 1
Z ∞
0
e−aθdθ
=p
a2+ 1 lim
R→∞
−1 ae−aθ
R
0
=
√a2+ 1
a .
2
