f (x) = − x − 7 で定義される写像 f : R → R が連続 写像であることを示しなさい．

幾何学序論２

第４章 ユークリッド幾何学から位相幾何学へ

市原一裕

2016年10月03日（月）２限

小テスト

1

位相幾何学とはどんな学問か，簡単に説明しなさい．

2

f (x) = − x − 7 で定義される写像 f : R → R ^が等長 写像であることを示しなさい．

3

f (x) = − x − 7 で定義される写像 f : R → R ^が連続

写像であることを示しなさい．

連続関数と開集合・閉集合 ε-近傍

ε-近傍

すぐわかること：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は合同ではない，

つまり，Rの等長写像で移り合わない

今日しめしたいこと：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は，Rの同相写像で移り合わない

まず連続の概念を一般化する為に，ひとつ用語を導入しておこう． 定義 4.2.1【ε-近傍（ε-neighborhood）】

xをR^{内の点とする．}ε >0に対して，

xの（R^{における）}ε-近傍とは，(x−ε, x+ε)のこと．

これをN(x, ε)で表す．

連続関数と開集合・閉集合 ε-近傍

ε-近傍

すぐわかること：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は合同ではない，

つまり，Rの等長写像で移り合わない 今日しめしたいこと：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は，Rの同相写像で移り合わない

まず連続の概念を一般化する為に，ひとつ用語を導入しておこう． 定義 4.2.1【ε-近傍（ε-neighborhood）】

xをR^{内の点とする．}ε >0に対して，

xの（R^{における）}ε-近傍とは，(x−ε, x+ε)のこと．

これをN(x, ε)で表す．

連続関数と開集合・閉集合 ε-近傍

ε-近傍

すぐわかること：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は合同ではない，

つまり，Rの等長写像で移り合わない 今日しめしたいこと：

閉区間[0,1]と開区間(0,1)は，Rの同相写像で移り合わない

まず連続の概念を一般化する為に，ひとつ用語を導入しておこう．

定義 4.2.1【ε-近傍（ε-neighborhood）】

xをR^{内の点とする．}ε >0に対して，

xの（R^{における）}ε-近傍とは，(x−ε, x+ε)のこと．

これをN(x, ε)で表す．

連続関数と開集合・閉集合 ε-近傍

連続関数の定義の言い換え

定義 4.2.2【ε-近傍と連続関数の定義】

f :R→R^とし，a∈R^{とする．このとき，}

fがaにおいて連続 ⇔

∀ε >0,∃δ >0s.t. x∈N(a, δ)⇒f(x)∈N(f(a), ε) さらに，∀a∈R^においてfが連続であるとき，f はR^{上で連続，}

または，単に，fは連続関数であるという．

注意 4.2.1

関数の定義域はR全体ではなく，その一部かもしれない（例えば，

f(x) = ¹_xとかf(x) =√

xとか）．そのような場合どうするか，は次回．

連続関数と開集合・閉集合 開集合と閉集合

開集合とは

定義 4.2.3【開集合（open set）】

U ⊂R^{が開集合である}⇔

任意のa∈Uに対して，あるε >0が存在して，N(x, ε)⊂U が成り立つ．

注意 4.2.2, 4.2.3

εはaに応じてとれれば良い．

(0,1)は開集合だが，[0,1)は開集合でない．

もちろん[0,1]も開集合ではない．

∅^{は開集合．}R^{も開集合．}

連続関数と開集合・閉集合 開集合と閉集合

開集合の性質

定理 4.2.1【開集合の性質】

1 U1,· · ·, UmをR^{の開集合とすると，}U1∩ · · · ∩UmもR^{の開集合．}

2 Λを添字集合とした集合族{Uλ}λ∈Λに対して，

全てのU_λが開集合ならば，∪

λ∈Λ

U_λも開集合．

連続関数と開集合・閉集合 開集合と閉集合

閉集合とは

定義 4.2.4【閉集合（closed set）】

F ⊂Rが閉集合であるとは，R−Fが開集合であること．

注意 4.2.4，4.2.5，4.2.6

閉集合を先に定義して，あとから開集合を定義するやり方もある．

ただ，先に開集合を定義する方が一般的．

∅^{は閉集合．}R^{も閉集合．}

つまり，開かつ閉である集合というものがありえる．

開集合でないからといって閉集合になるとは限らない．

どちらでもない集合やどちらでもある集合も存在する．

連続関数と開集合・閉集合 連続写像と開集合・閉集合

連続写像と開集合

定理 4.2.2【連続関数と開集合】

関数f :R→R^{に対して，}f がR^{上の連続関数}⇔ 終域R^{の任意の開集合}V に対して，

f によるV の逆像f⁻¹(V)が始域R^{の開集合．}

この定理から，閉区間[0,1]と開区間(0,1)が，

Rの同相写像で移り合わないことが示される．

注意 4.2.7

連続関数f :X →R^{において，}

Xの開集合U の像f(U)が開集合にならない場合もある． 例えば，f(x) =x²で定義されるf :R→R^{は連続関数だが，} 開集合(−1,1)の像は[0,1)なのでR^{の開集合でない．}

連続関数と開集合・閉集合 連続写像と開集合・閉集合

連続写像と開集合

定理 4.2.2【連続関数と開集合】

関数f :R→R^{に対して，}f がR^{上の連続関数}⇔ 終域R^{の任意の開集合}V に対して，

f によるV の逆像f⁻¹(V)が始域R^{の開集合．}

この定理から，閉区間[0,1]と開区間(0,1)が，

Rの同相写像で移り合わないことが示される．

注意 4.2.7

連続関数f :X →Rにおいて，

Xの開集合U の像f(U)が開集合にならない場合もある．

例えば，f(x) =x²で定義されるf :R→R^{は連続関数だが，} 開集合(−1,1)の像は[0,1)なのでR^{の開集合でない．}

連続関数と開集合・閉集合 連続写像と開集合・閉集合

連続写像と開集合

定理 4.2.2【連続関数と開集合】

関数f :R→R^{に対して，}f がR^{上の連続関数}⇔ 終域R^{の任意の開集合}V に対して，

f によるV の逆像f⁻¹(V)が始域R^{の開集合．}

この定理から，閉区間[0,1]と開区間(0,1)が，

Rの同相写像で移り合わないことが示される．

注意 4.2.7

連続関数f :X →Rにおいて，

Xの開集合U の像f(U)が開集合にならない場合もある．

例えば，f(x) =x²で定義されるf :R→R^{は連続関数だが，}

開集合(−1,1)の像は[0,1)なのでR^{の開集合でない．}

連続関数と開集合・閉集合 連続写像と開集合・閉集合

連続関数と閉集合

定理 4.2.3【連続関数と閉集合】

関数f :R→R^{に対して，点}a∈R^においてf が連続⇔ 終域R^{の任意の閉集合}V に対して，

f によるV の逆像f⁻¹(V)がR^{の閉集合．}

練習問題

練習問題

練習問題 4.2.1

[3,4]が開集合でないことを示しなさい．

練習問題 4.2.2

(5,6)が閉集合でないことを示しなさい．

練習問題 4.2.3

(−1,1]が開集合でも閉集合でもないことを示しなさい．