写像の連続性

幾何学序論２

第

章 ユークリッド距離空間，

1.2

写像の連続性

市原一裕

2017

年

月

日（月）２限

ε-

近傍

復習：

微分積分学で関数

の連続性の定義を学んだ。

関数が連続

f

が点

^{で連続であるとは，}

論法で

∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈R (|x−a|< δ−→ |f(x)−f(a)|< ε)

が成り立つこと。

では，写像

では？

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連続写像の定義

定義

X

^と

^{をそれぞれ}

^と

の部分距離空間とする。

f :X→Y

が点

で連続

であるとは，

∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈X (d_m(x, p)< δ−→d_n(f(x), f(p))< ε) (1)

が成り立つことをいう。

ここで，

と

はそれぞれ

^と

上のユークリッドの距離関数。

X

上のすべての点で連続であるとき，

は

で連続であるという。

注意

トポロジーでの連続写像を考えたいので，この定義を距離関数を使わな

いで書き換えたい．

近傍（きんぼう）

ユークリッド距離空間

^{の部分距離空間}

^{が与えられたとき，}

^の点

の「近傍」を次のように定義する。

定義

p∈X

と

に対して，

N_δ(p;X) :={x|x∈X d(x, p)< δ}

を

^{における点}

^{を中心とする半径}

^の近傍

^という。

定義からわかるように

N_δ(p;X) =N_δ(p;R^m)∩X

となっていることに注意。

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近傍と連続写像

近傍を用いて，連続を表現すると次のようになる。

定理

f :X→Y

^が点

で連続であるための必要十分条件は次が成立すること。

∀ε >0 ∃δ >0 f(N_δ(p;X))⊂N_ε(f(p);Y) (2)

不連続な写像

写像の連続性を理解する為には，連続ではない事をとらえることも重要。

部分ユークリッド距離空間

，

に対して，

写像

^が点

で不連続であることを距離を用いて表すと，

∼(∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈X (d_X(x, a)< δ−→d_Y(f(x), f(a))< ε))

≡ ∃ε >0 ∀δ >0 ∼(∀x∈X (dX(x, a)< δ−→dY(f(x), f(a))< ε))

≡ ∃ε >0 ∀δ >0 ∃x∈X dX(x, a)< δ

^かつ

が成立するということになる。

近傍を用いて表すと，

∼(∀ε >0 ∃δ >0 f(N_δ(a;X))⊂Nε(f(a);Y))

≡ ∃ε >0 ∀δ >0 f(Nδ(a;X))̸⊂Nε(f(a);Y)

≡ ∃ε >0 ∀δ >0 ∼(∀y (y∈f(N_δ(a;X))−→y∈N_ε(f(a);Y)))

≡ ∃ε >0 ∀δ >0 ∃y (y∈f(N_δ(a;X))

かつ

が成立するとなる。

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連続写像に関する様々な定理

ここで連続写像の定性的な性質をいくつか見ておこう。

以下，

，

，

，

などは全てユークリッド部分距離空間とする。

補題

写像

^{が連続であることと，}

^{が連続であること} は同値である。

定理

【合成写像の連続性】

２つの連続写像

^と

^が

^{をみたすとき，}

f

^と

^{の合成写像}

^{は連続である。}

系

A⊂X

^とする。

^{が連続ならば，}

^の

^{への制限写像}

も連続である。

連続写像に関する様々な定理

定理

２つの連続写像

^{を考える。このとき，}

(1)

^写像

^，

^{は連続である。}

(2)

^写像

^，

^{は連続である。}

(3)

写像

g :X− {x|g(x) = 0} →R

^，

g(x) = f(x)

g(x)

^{は連続である。}

系

X ⊂R^m

^{上の多項式関数}

p:X→R, (x₁, . . . , x_m)7→ ∑

有限和

a_i1,...,imxⁱ₁¹· · ·xⁱ_m^m

は連続である。

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連続写像と直積集合

定理

写像

，

に対して，

h:X→Y ×Z, x7→(f(x), g(x))

が連続であるための必要十分条件は

^と

が共に連続であること。

系

写像

^，

が連続であるための必要十分条件は写像

が連続であること。

練習問題

練習問題

f :R→R

^，

が連続関数であることを

^{論法で示しな} さい．

練習問題

f :R²→R

^，

が点

で連続であることを示し なさい．

練習問題

合同変換

は連続写像であることを示しなさい．

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練習問題

練習問題

R

^{における点}

^の半径

^{の近傍を書きなさい．}

練習問題

X =R× {0}

^を

の部分距離空間と見るとき，

^内の点

^の

^にお ける近傍

を集合として表なさい．

練習問題

f :R→R

^，

が連続であることを近傍を使って示しなさい．

練習問題

練習問題

写像

を次のように定義します。

f(x) = {

1 (x∈Q) 0 (x∈R−Q).

このとき，

はすべての点で不連続であることを示しなさい。

練習問題

系

^{を使って，写像}

^，

^が連続 写像であることを示しなさい。

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