II 『数学基礎 』期末試験略解

1

『数学基礎 II _{』 期末試験略解}

^{2001年9月14日}

  担当：金井 雅彦

1. 「期末試験に対する準備のための問題」参照のこと．

2.

(1)

基底は







 1

−2 0



,



 0 11 2







,

次元は

2.

(2)

基底は















−1 5

−1 2





,





 0 1 2 2





,





 0 0 8 5















,

次元は

3.

(3)

基底は















−2 1 1 0















,

次元は

1.

3.

(1)

ベクトル



1 1 1





_{が線形部分空間}

V

の元であるための必要十分条件は，

λ



 1

−1 2



+µ



 3 1

−2



=



 1 1 1



 (*)

を満たす実数

λ,µ

が存在することである．方程式

(*)

は

λ,µ

に関する連立

1

次方程式 である．それを行列表示すると，



 1 3 1

−1 1 1 2 −2 1





となる．この行列に，行列の行に関する基本変形を適当に適用すれば，次の行列に変形でき る：



 1 3 1 2 1 2



.

2

これより，元の連立

1

次方程式

(*)

は解を持たないことがわかる．よって，



1 1 1



∈V

が結論される．

(2)

容易に分かるとおり，

W

の基底は，

c= 1

のとき







1 1 1







 c=−1

のとき







1 1 1



,



0 0 1







 c=±1

のとき







1 1 1



,



0 1 0



,



0 0 1









である．したがって，







c= 1

のとき

dimW = 1 c=−1

のとき

dimW = 2 c=±1

のとき

dimW = 3

(3)

まず，

V

が

2

次元，すなわち

3

次元ユークリッド空間

R³

^{内の原点を通る平面で} あることに注意しよう．一方，

(1)

および

(2)

よれば，



1 1 1



∈V,



1 1 1



∈W

である．

これらの事柄より以下が従う．

c= 1

のとき，

V ∩W ={0}

^かつ

dim(V ∩W) = 0

， また

c = −1

のときには，

V ∩W

は

R³

内の原点を通る直線であり，したがって

dim(V∩W) = 1

である．一方，

c=±1

の場合には，

W =R³

^{であるから，}

V ∩W =V

かつ

dim(V ∩W) = 2

を得る．以上より，

V ∩W

の次元が

1

に等しいのは，

c=−1

のときおよびそのときに限ることが結論される．