基礎数学 II 試験
2006
年,
青木,
西岡1
注意
:
青木/
西岡のどちらのクラスで受講申請を行ったかを答案用紙に明記し,
•
問題1 –
問題3
は全員,
•
問題4
は青木の講義を受講しているもの,
問題5
は西岡の講義を受講しているもの が解答せよ.
問題
1.
関数f (x)
およびg(x)
は微分可能とする. (i)
関数f (x) · g(x)
を微分せよ.
(ii)
ここでf(x) = sin x, g(x) = log x
とするf (x)
の微分f 0 (x),
およびg(x)
の微分g 0 (x)
を計算せよ. (iii)
関数(sin x) · (log x)
を微分せよ.
解答
(i) (f (x) · g(x)) 0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x).
(ii) f 0 (x) = (sin x) 0 = cos x, g(x) = (log x) 0 = 1 x . (iii) (i)
の結果にf (x), f 0 (x), g(x), g 0 (x)
の値を代入して,
((sin x) · (log x)) 0 = (sin x) 0 · (log x) + (sin x) · (log x) 0
= (cos x) · (log x) + (sin x) · ( 1 x )
= (cos x) · (log x) + sin x x . 2
問題2. f (x) = √
x, g(x) = x 2 + 1
とする. (i) f (x)
の微分f 0 (x)
を求めよ.
(ii)
合成関数f ¡ g(x) ¢
及び
f 0 ¡ g(x) ¢
を具体的に記せ
. (iii)
関数p
x 2 + 1
の微分を求めよ.
解答(i) f (x) = √
x = x 1/2
だから, f 0 (x) = x 1/2−1 = 1
√ x . (ii) f ¡
g(x) ¢
= p
g(x) = √
x 2 + 1. f 0 (g(x)) = 1
p g(x) = 1
√ x 2 + 1 . (iii) f ¡
g(x) ¢
= √
x 2 + 1
だから, ³ f ¡
g(x) ¢´ 0
= f 0 (g(x)) · g 0 (x)
を求めればよい. g 0 (x) = 2x
とf 0 (g(x)) = 1/ p
g(x)
を代入して³ f ¡
g(x) ¢´ 0
= 2x
√ x 2 + 1 . 2
1 質問の連絡先:
[email protected], 2
号館11
階38
号室問題
3.
関数H (x)
を(1) H (x) = 1 − x
1! + x 2 2! − x 3
3! + · · · + x 2k
(2k)! − x 2k+1
(2k + 1)! + · · · , −∞ < x < ∞
とおく.
(i) H (x)
の微分H 0 (x)
を計算せよ.
(ii) H (x)
の2
階微分H 00 (x)
にたいし,つぎの等式が成立することを示せ.H 00 (x) = H(x), −∞ < x < ∞.
解答
(1)
の右辺はe −x
のテイラー展開式だからH (x) = exp{−x}.
H 0 (x) = (exp{−x}) 0 = − exp{−x} = −H(x).
よって
,
H 0 (x) = −
³ 1 − x
1! + x 2 2! − x 3
3! + · · · + x 2k
(2k)! − x 2k+1 (2k + 1)! + · · ·
´
= −1 + x 1! − x 2
2! + x 3 3! − x 4
4! + · · · + x 2k−1
(2k − 1)! − x 2k
(2k)! + · · · . (ii) (i)
よりH 0 (x) = −H (x)
を利用して,
H 00 (x) = (H 0 (x)) 0 = (−H (x)) 0 = −H 0 (x) = −(−H(x)) = H (x). 2
問題
4. (青木クラス)
関数f(x) = − log x, x > 0,
のグラフを書き, それを用いて凸関数 であることを示せ.
解答
f(x)
上の2
点(a, f (a))
と(b, f (b))
を結ぶ線分が,
常にf (x) = − log x
より上にあるので,
f(x)
は凸関数である. 2
問題
