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線形代数学 II 期末試験

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Academic year: 2021

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(1)

線形代数学

II

期末試験

L, L

0 は線形空間とする

.

解答は途中の計算も書く事

.

1. M

を

L

の部分空間,

M 0

を

L 0

の部分空間とし,

T : L → L 0

を線形写像とするとき,

T (M)

は

L 0

の部 分空間であり,

M 0

の

T

による逆像

T −1 (M 0 )

は

L

の部分空間であることを示せ.(15点)

2. R

3 で

  1 2 3

  ,

  4 5 6

  ,

  7 8 9

 

から張られる部分空間の次元を求めよ.(15点)

3. R

3の基底

  1

−1 0

  ,

  1 0

−1

  ,

  1 2 3

 

に対してシュミットの直交化で正規直交基底を求め

よ.(15点)

4. M, M 0

を線形空間

L

の部分空間とするとき, dim(M

+ M 0 ) = dim M + dim M 0 − dim(M ∩ M 0 )

を示せ.

5. e

をユークリッド空間

(実計量空間)L

の単位ベクトルとし,

T : L → L

を

T (x) = x − 2 hx, ei e

によ り定めるとき,次を示せ.(20点)

(a) T

は線形変換で,直交変換であり,

T

2

= I

が成立する.

(b) Ker(T + I) = Re = {ae | a ∈ R}, Ker(T − I) = (Re) ⊥

が成立する.

6.

対称行列

 

1 2 −1

2 −2 2

−1 2 1

 

を直交行列を用いて対角化せよ.(20点)

参照

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