数理工学第一　期末試験略解

(1)

数理工学第一期末試験略解 ²⁰¹⁰

年

7

_月

27

_日実施

問題1

(1)

各点の定義は次のようになる

•

^触点：

A

の閉包

A ¯ = A

ⁱ

∪ A

^b上の点を

A

の触点という．

•

^{集積点：点}

x ∈ <

ⁿ^が

A − { x }

^{の触点であるとき，}

x

を

A

の集積点という．

•

孤立点：点

x ∈ A

が

A

の集積点でないとき，

x

を孤立点という．

(2) B

ⁱ

∪ C

ⁱ

= ∅

であれば明らかに成り立つ．以下では

B

ⁱ

∪ C

ⁱ

6 = ∅

とする．

x ∈ B

ⁱ

∪ C

ⁱをとる．このとき，

x ∈ B

ⁱまたは

x ∈ C

ⁱとなる．

x ∈ B

ⁱのとき，ある

² > 0

が存在して，

B(x, ²) ⊂ B ⊂ B ∪ C

となる．したがって

B(x, ²) ⊂ B ∪ C

となり，

x ∈ (B ∪ C)

ⁱとなる．

x ∈ C

ⁱのときも同様にして

x ∈ (B ∪ C)

ⁱがいえる．以上により，

x ∈ B

ⁱ

∪ C

ⁱ

⇒ x ∈ (B ∪ C)

ⁱ となり，

B

ⁱ

∪ C

ⁱ

⊂ (B ∪ C)

ⁱが成り立つ．

(3) <

上で考える．

B = [0, 1], C = [1, 2]

とする．このとき，

1 6∈ (0, 1) ∪ (1, 2) = B

ⁱ

∪ C

ⁱおよび

1 ∈ (0, 2) = (B ∪ C)

ⁱとなり，左辺の集合と右辺の集合は等しくならない．

問題2

(1)

D = { (x

1

, x

2

) | max {| x

1

| , 2 | x

2

|} < 2 }

= { (x

1

, x

2

) | | x

1

| < 2, 2 | x

2

| < 2 }

= { (x

1

, x

2

) | − 2 < x

1

< 2, − 1 < x

2

< 1 }

となる．よって集合

D

を図示すると次のようになる．境界は含まない．

x1

x2

-2 2

-1 1

O

図1 集合Dの図示

(2) p = (1, 0)

とする．内点の定義より，ある

² > 0

がとれて，

B

_∞

(p, ²) ⊂ D

となることを言えばよい．距離関数

d

_∞のもとでの球

B

_∞

(p, ²)

は

B

_∞

(p, ²) = {x = (x

1

, x

2

) ∈ <

²

| d

_∞

(x, p) < ²}

= { x = (x

1

, x

2

) ∈ <

²

| max {| x

1

− 1 | , | x

2

− 0 |} < ² }

= { x = (x

1

, x

2

) ∈ <

²

| 1 − ² < x

1

< 1 + ², ² < x

2

< ² }

(2)

となるので，図形的にいえば球

B

_∞

(p, ²)

は

p

を中心とする

1

辺の長さが

2²

の正方形になる．したがって，例えば

² = 1/2

とすれば球は

D

に含まれる

(

図

2

参照

)

．実際，

x1

x2

2 -2

-1 1

D

) 2 / 1 , ( p B∞

p -1/2

1/2

3/2 1/2

O

図2 包含関係の図示

B

_∞

(p, 1/2) = { x = (x

1

, x

2

) ∈ <

²

| 1/2 < x

1

< 3/2, − 1/2 < x

2

< 1/2 }

となり，

B

_∞

(p, 1/2) ⊂ D

となることが容易に確認できる．

(3)q = (0, 1)

とする．図形的にとらえると，

q

を中心とするどのような半径の球であっても

D

お

よび

D

^cと共有点を持つ

(

図

3

参照

)

．式の上でもこのことを確認する．

² > 0

とすると，

B

_∞

(q, ²)

x1

x2

2 -2

-1

D

) , ( εp B∞

q Dc

O z y

図3 包含関係の図示

は

B

_∞

(q, ²) = { (x

1

, x

2

) | − ² < x

1

< ², 1 − ² < x

2

< 1 + ² }

となる．ここで，

y = (0, 1 − ²/2), z = (0, 1 + ²/2)

とすると，

y ∈ B

_∞

(q, ²), y ∈ D

および

z ∈ B

_∞

(q, ²), z ∈ D

^c となる．したがって，

q

は

D

の内点でも外点でもないので

D

の境界点である．

問題3

ユークリッド空間

<

²における開集合系を

D

とする．位相

( <

²

, D )

のもとで，

E

の内部

E

ⁱ，外

(3)

部

E

^e，境界

E

^bは

E

ⁱ

= { (x

1

, x

2

) | x

²₁

+ x

²₂

< 1 } E

^e

= { (x

1

, x

2

) | x

²₁

+ x

²₂

> 1 } E

^b

= { (x

1

, x

2

) | x

²₁

+ x

²₂

= 1 }

となる．

D

0

= {∅, <

²

}

とする．密着位相

(<

²

, D

0

)

のもとでは

E

の内部

E

ⁱ，外部

E

^e，境界

E

^bは

E

ⁱ

= ∅

E

^e

= ∅ E

^b

= <

²

となる．

D

1

= 2

^<²とする．離散位相

( <

²

, D

1

)

のもとでは

E

の内部

E

ⁱ，外部

E

^e，境界

E

^bは

E

ⁱ

= { (x

1

, x

2

) | x

²₁

+ x

²₂

< 1 }

E

^e

= {(x

1

, x

2

)| x

²₁

+ x

²₂

≥ 1}

E

^b

= ∅

となる．以上のような例を用いて説明すればよい．

問題4

x, y ∈ S, α ∈ [0, 1]

とする．このとき，

αx + (1 − α)y ∈ S

となることを示せばよい．そこで任意の

z ∈ <

ⁿに対して

f (αx + (1 − α)y) ≤ f (z)

となることを示す．

x, y

は大域的最小解であるから，

f (x) ≤ f (z)

かつ

f (y) ≤ f (z)

となる．このことを踏まえると，

f (αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f (y)

≤ αf(z) + (1 − α)f (z)

= f (z)

となり，

f (αx + (1 − α)y) ≤ f (z)

となる．以上により題意が成り立つ．

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