基礎数学 I 試験

基礎数学 I _試験

2009/07/24,

1. _平均点23 _点/100 _点

2. 0 _点は 4_人= E_評価.

得点 0−4 5−9 10−14 15−19 20−24 25−29 30−34

人数 8 26 41 52 56 55 33

得点 35−39 40−44 45−49 50−54 55−59 60−64 65−

人数 15 19 9 8 5 2 6

0 10 20 30 40 50 60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

!"1

問題 1. (i) _箱に,_赤,_青,_白, _{黄の玉がそれぞれ}50 _{個入っている}. _いずれ かの一色の玉を 11個以上必ず取り出すためには,_{最少何個の玉を取り出} せばよいか.

(ii) _{一辺の長さ}2 _{の正方形の内部に},5 個の点を任意に配置する. _このと き,_{「互いの距離が}3/2 _{より小い二点が}, 少なくとも一組存在する」こと を厳密に論証せよ. (_ヒント: √

2<3/2.)

[_問題 1 _解答] (i) 一番具合の悪い状況を考える. _赤,_青,_白,_{黄 がそれぞ} れ10 _個ずつ = _計40 _{個のときは}, _どの色も11 _{に達していない}. _よって 41 _{個取り出せばよい}.

(ii) _{正方形を各辺の中点で} 4 _分割し,_一辺 1 _{の正方形を}4 _つ作る.

!

"

5 つの点を 大正方形 内に配置すると, _{少なくとも}2 _{つの点は同じ小正方} 形内にある. _{また小正方形の} 2 _{点間の最大距離}AO _は √

2<3/2. !

問題 2. A, B _{を空でない集合とする}. _「命題 A→B _{が成立しない」と} き,_{以下の 命題} (i) – (vi) それぞれの真偽を判定せよ. (_ヒント: _不成立の 例が一つでもあれば偽.)

(i) A _でないB _がある. (ii) B _でない A_がある. (iii) A_かつ B _{は空でない}. (iv) A_かつ B _{は空である}. (v) B _であれば A_である. (vi) B _{でなければ}A _でない.

[_問題 2 _解答] A→B _{が偽なので},A∩B^c&=∅. つまり 下図のどれかが 成立している.

!

"

!

" " !

図1 _{左より 図} 1, _図 2, _図 3

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) 真偽 偽 真 偽 偽 偽 偽 反例 図2 _図3 _図 1 _図3 _図3

!

問題 3. I. _{次の極限を求めよ}: (i) lim

n→∞

2n³+ 1

4n³+ 5 (ii) lim

n→∞

√ 1 n !√

n+ 2−√ n+ 1"

(iii) lim

n→∞

!n²+ 3n+ 2

n²

"n

.

[_問題 3 _解答] I. (i) 2n³+ 1

4n³+ 5 = 2 + 1/n³ 4 + 5/n³ → 2

4 = 1

2 asn→ ∞. (ii)

√ 1 n !√

n+ 2−√

n+ 1" =

√n+ 2 +√ n+ 1

√n!

(n+ 2)−(n+ 1)" =

√n+ 2 +√ n+ 1

√n

=

# 1 + 2

n +

# 1 + 1

n →√ 1 +√

1 = 2 asn→ ∞.

(iii)

!n²+ 3n+ 2

n²

"n

=! 1

n² (n+ 1)(n+ 2)"n

=

= (1 + 1

n)ⁿ (1 + 2

n)ⁿ →e·e²=e³ asn→ ∞.

II. (i) 2 _{以上の自然数} n _に対し,_{次の不等式を証明せよ} 1

n < 1 n + 1

n² < 1 n−1.

(ii) (_難問) _{次の極限を求めよ}.

nlim→∞n $

log(1 +n+n²)−2 logn% .

[_解答] (i) 1 n−1−!1

n+ 1 n²

"= 1

n²(n−1)

!n²−n(n−1)−(n−1)"= 1

n²(n−1) >0.

(ii)

n$

log(1+n+n²)−2 logn%

=n log! 1 n²+1

n+1"

= log! 1 n²+1

n+1"n

となる. ! 1 n² + 1

n + 1"n

の挙動を調べる. (i)_より

!1 + 1

n

"n

' () *

→easn→ ∞

<! 1 n² + 1

n + 1"n

< !1 + 1 n−1

"n

' () *

→e asn→ ∞ よって

nlim→∞

! 1

n² + 1

n + 1"n=e⇒ lim

n→∞log! 1 n² + 1

n + 1"n = loge= 1. !

問題 4. _{次の数値を求めよ}. (i) (x+ 2

x)¹⁰ _のx⁶ _の係数, (ii)

&10

k=0

10Ck3^k(−1)^10−k.

[_問題 4 _解答] (予想より出来が良かった) (i) _{二項定理より} (x+ 2

x)¹⁰=

&10

k=0

10Ck x^k 2^10−k x^10−k

x⁶ _はk−(10−k) = 6 _だから,k= 8. _つまり, _係数は

10C8 2² = 10·9

2 ·2² = 90×2 = 180.

(ii) _{二項定理より}

&10

k=0

10C_k 3^k (−1)^10−k = (3−1)¹⁰= 2¹⁰= 1024. !

問題 5. 対数関数f(x) = logxの値を以下の通りとする.

x 1/10 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8

logx a1 a2 −1.1 a3 a4 0.7 a5 a6 1.6 a7 1.9 a8

(_注: _{この表の値は},対数関数の実際の値とは誤差がある. )

(i) _{この表から}, a1,· · ·, a8 の値を小数点以下 1 _{位まで計算せよ}. _なお計 算方法も示すこと.

(ii) _つぎの b1,· · · , b4 を計算せよ.

b1 =e^0.7, b2=e^a3, b3=e^1.6, b4 =e^2.3.

(iii) _関数 f(x), 0< x <10 _{のグラフの概形を描け}.

[_問題 5 _解答] (i) _{正解者もいたが}, まったく解答できないものが多かっ た. _判断/_{推理能力が必要}.

log(a·b) = loga+ logb, loga^b =bloga_{を上手く使う}. _例えば log 1/2 = log(2)⁻¹=−log 2 =−0.7,

−1.1 = log 1/3 = log 3⁻¹=−log 3⇒log 3 = 1.1, log 6 = log 2×3 = log 2 + log 3 = 0.7 + 1.1 = 1.8.

x 1/10 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8

logx −2.3 −1.4 −1.1 −0.7 0 0.7 1.1 1.4 1.6 1.8 1.9 2.1 (ii) _{上の表より}

log 2 = 0.7→e^0.7= 2, log1

2 =a3→e^a3 = 1 2, log 5 = 1.6→e^1.6= 5, log 1

10 =−2.3→e^2.3= 10.

2 4 6 8 10

!2

!1 1 2

!