基礎数学 II 試験
2007年1月22日, 青木/西岡
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/〜nishioka/
注意: • 電卓/参考書/ノート類の持ち込みは自由とする.
• 青木/西岡のどちらのクラスで受講申請を行ったかを答案用紙に明記し, (i) 問題1+問題2 は全員,
(ii) 問題3 は青木の講義を受講しているもの,問題4 は西岡の講義を受講しているもの が解答せよ.
問題 1. 関数F(x)を次で定義する:
F(x)≡1 +x+x2+· · ·+xk+· · ·, |x|<1.
(i) 関数F(x)の微分F0(x)をもとめよ.
(ii) |x|<1とする. 関数G(x)≡ 1
1−x の微分G0(x)をもとめよ.
(iii) |x|<1 にたいし, F(x) =G(x) となる. |x|<1として, 1 + 2x+ 3x2+· · ·+kxk−1+· · · を計算せよ.
解答 (i) F0(x) = 1 + 2x+ 3x2+· · ·+kxk−1+· · ·. (ii) G0(x) = 1
(1−x)2.
(iii) |x|<1 ではF(x) は項別微分が可能であり, F0(x) =G0(x)である. よって(i) と (ii) より
1 + 2x+ 3x2+· · ·+kxk−1+· · ·=F0(x) =G0(x) = 1
(1−x)2. 2 問題2. (i) 次の関数を微分せよ
(1) f(x)≡ x+ 1
ex+ 1. (ii) 関数g(x)≡ 1
x およびh(x) =exのグラフを描き,g(x)とh(x)の交点は唯一つであるこ
とを示せ.
(ヒント: 交点はa= 0.5671· · · である.)
(iii) (1) で与えられた関数f(x)の極値をもとめ,概形を描け.
解答 (i)
f0(x) =(ex+ 1)−(x+ 1)ex
(ex+ 1)2 =−xex+ 1 (ex+ 1)2.
(ii) 細い描線がg(x),太い描線がh(x):
(iii) まず
x→ −∞のときf(x)∼x→ −∞
f(−1) = 0
x→ ∞のときf(x)∼1/ex→0 f(x)のより詳しい挙動を調べる. 前問(ii)のグラフより
0< x < a ⇒ ex<1/x a < x ⇒ ex>1/x.
これと(i)の計算結果より
x <0 ⇒ −xex+ 1>0 ⇒ f0(x)>0 ⇒ 単調増加
0< x < a ⇒ ex<1/x ⇒ −xex+ 1>0 ⇒ f0(x)>0 ⇒ 単調増加 a < x ⇒ ex<1/x ⇒ −xex+ 1<0 ⇒ f0(x)<0 ⇒ 単調減少.
以上の結果を総合すると,f(x)のグラフは以下の通り:
2
問題3. (青木クラス) 次の2変数関数f(x, y), g(x, y)のグラフを描け.
f(x, y) =x2+y2, g(x, y) =−x2−y2.
解答
図1: f(x)のグラフ
図2: g(x)のグラフ 2
問題 4. (西岡クラス) ある工場での投下労賃をx,設備投資費をy とおくと, 製品生産量は F(x, y) =x(y2+7
3)となる.
いま,x+y= 4とするとき,製品生産量F(x, y)を極大にする x, yをもとめよ.
解答y= 4−xを F(x, y)に代入する:
L(x)≡F(x, y) =x(
(4−x)2+7 3
).
これを微分する:
L0(x) = 3x2−16x+55
3 = 3(x−8
3)2−3 = 3(x−11 3 )(x−5
3).
これより
0≤x <5/3 x= 5/3 5/3< x <11/3 x= 11/3 11/3< x≤4 L0(x)>0 L0(x) = 0 L0(x)<0 L0(x) = 0 L0(x)>0
L(x) 単調増加 単調減少 単調増加
となるので, L(x) は xM = 5/3 で極大値 L(5/3) = 350/27 をとる. つまり, (xM, yM) ≡ (5/3,7/3)でF(x, y)は極大値をとる.
また,L(4) = 9/3 = 252/27だから, L(x) の0≤x≤4 での最大値はx=xM で達成され ている. 2
