基礎数学 II 試験
2010/01/29,
西岡注意
:
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1. A, B, C
三本の柱が立っており, A
の柱には大きさの異なるn
個の輪が下から大きい順に積み重 ねてある.
「輪は
1
回に1
個だけ動かし,
小さい輪の上にそれより大きい輪を乗せてはならない.
」 というルールの基で,
輪を別の柱に移す.
(i)
下図のようにn = 5
として以下の問いに答えよ.
(a)
輪1, 2, 3
を柱B
に下から大きい順に積み直すには最低何回の移動が必要か.
(b)
輪1, 2, 3, 4
を柱C
に下から大きい順に積み直すには最低何回の移動が必要か.
(c) 5
個総ての輪を柱B
に下から大きい順に積み直すには最低何回の移動が必要か.
A B C 1
2 3 4 5
(ii) (
難問) A
に積み重ねてある輪がn
個のとき,
総ての輪を柱B
に下から大きい順に積み直すには最低何回の移動が必要か
.
問題
2.
次の関数を微分せよ. (
難問.
ヒント:
合成関数の微分公式を複数回使う.) (i) f (x) = (
1 + (1 + x 2 ) 1/2 ) 1/2
, (ii) g(x) = (
sin x ) 2x
.
問題
3.
次の関数の極値を求めよ. (i) f (x) = x
log x , x > 1. (ii) g(x) = (x − 2) (x + 1) x 1/2 , x > 0.
問題
4
関数f (x), x ≥ 0
は2
階微分可能で, f (0) = 0
かつf ′′ (x) > 0
とする. (i) g(x) ≡ x f ′ (x) − f (x)
とおく.
「x > 0
でg(x) > 0
」となることを示せ. (ii)
関数f (x)
x , x > 0
は「単調増加」もしくは「単調減少」のどちらであるかを述べ,
それを証明せよ.
問題5
次の複素数をa + i b (a, b :
実数)
の形で表せ.
(i) e log 2+i π/6 , (ii) (
e log 2+i π/8 ) 2
× e i π/12 , (iii) log(
√ 3 2 + i 1
2 ).
以上
[
問題1
解答] Step 1 A
に積み重ねてある輪N
個のうち,
上からn
個の輪を柱C
に下から大きい順に積 み直すのに,
最低a n
回の移動が必要とする.
n+1 ...
N
1 ...
n
A B C
図
1
柱C
にn
個の輪積み直した状態は
,
1.
図1
の状態になるのに, a n
回の移動.
2.
上の図で 柱A
の 番号n + 1
の輪を 柱B
に移す.
移動1
回.
3.
次に,
柱C
のn
個の輪を総て 柱B
に移す,
このための移動最低数はa n
回.
n+1 ...
N
1 ...
n n+1
A B C
図
2
柱B
にn + 1
個の輪4.
つまり 図2
の状態になるのに, a n+1 = a n + 1 + a n = 2 a n + 1
回の移動.
Step 2. b n ≡ a n + 1
とおくとa n+1 = 2 a n + 1 ⇒ b n+1 = 2 b n ⇒ b n = 2 n − 1 b 1 ⇒ a n = 2 n − 1 a 1 + 2 n − 1 − 1 = 2 n − 1.
これより
, a 3 = 7, a 4 = 15, a 5 = 31. 2 [
問題2
解答] (i) u(x) ≡ 1 + x 2 , v(x) ≡ 1 + √
x, w(x) = √
x
とおくと, ( 1 + (1 + x 2 ) 1/2 ) 1/2
= w ( v (
u(x) )) .
合成関数の微分公式を
2
回使う: d
dx w ( v (
u(x) ))
= w ′ ( ( v (
u(x) ))
× d dx v (
u(x) )
= w ′ ( ( v (
u(x) ))
× u ′ (v(x)) × v ′ (x).
ここで
w ′ (x) = 1 2
√ 1
x , v ′ (x) = 1 2
√ 1
x , u ′ (x) = 2x
だから
d dx
( 1 + (1 + x 2 ) 1/2 ) 1/2
= 1 2
√ 1 v (
u(x) ) × 1 2
√ 1
u(x) × 2x =
= x
2 √ 1 + √
1 + x 2 √ 1 + x 2
.
(ii)
まず, a = e log a
を使って,
( sin x ) 2x
= (
e log(sin x) ) 2x
= e 2x log(sin x)
に注意
.
ここで, u(x) = e x , v(x) = 2x log(sin x)
とおく. u ′ (x) = u(x)
だから,
合成関数の微分公式からd
dx
( sin x ) 2x
= d dx u (
v(x) )
= u ′ ( v(x) )
× v ′ (x) = e v(x) × v ′ (x).
つぎに
, v ′ (x)
を計算する.
積の微分公式よりv ′ (x) = 2 log(sin x) + 2x (
log(sin x) ) ′
.
最後の微分を合成関数の微分公式から計算するために
A(x) = log x, B(x) = sin x
とおく: (
log(sin x) ) ′
= (
A (
B(x) )) ′
= A ′ ( B(x) )
× B ′ (x) = 1
B(x) × B ′ (x) = 1
sin x × cos x.
以上をまとめて
, d dx
( sin x ) 2x
= e 2x log(sin x) × (
2 log(sin x) + 2x 1
sin x × cos x )
= 2 (
sin x ) 2x (
log(sin x) + x cos x sin x
) . 2
[
問題3
解答] (i) f ′ (x) = 1 (log x) 2
(
log x − x · (1/x) )
= 1
(log x) 2 (
log x − 1 )
.
よって, f ′ (x) = 0 ⇔ x = e.
f
の増減表をつくるとx 1 e
f ′ (x) − 0 + f (x) ∞ ↘ e ↗
つまり, x = e
で極小値f (e) = e.
1 2 3 4
1 2 3 4
(ii) g ′ (x) = (x+1) x 1/2 +(x − 2) x 1/2 +(x − 2)(x+1) 1 2 √
x = 1 2 √ x
(
(x − 2)2x+(x+1)2x+(x − 2)(x+1) )
= 1
2 √ x
(
5x 2 + − 3x − 2 )
= 1
2 √ x
(
(x − 1)(5x + 2) )
.
よってg ′ (x) = 0 ⇔ x = 1, − 2/5. x > 0
に注意し て, g
の増減表をつくるとx 0 1
g ′ (x) −∞ − 0 +
g(x) 0 ↘ − 2 ↗
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
!2 2 4 6
つまり
, x = 1
で極小値g(1) = − 2. 2
[
問題4
解答] (i) g ′ (x) = x f ′′ (x) + f ′ (x) − f ′ (x) = x f ′′ (x). f ′′ (x) > 0
だから, x ≥ 0
でg ′ (x) > 0.
つ まりx ≥ 0
でg(x)
は単調増加. g(0) = − f (0) = 0
だから0 = g(0) < g(x) for x > 0.
(ii) (i)
よりd dx
f(x) x = 1
x 2 (
x f ′ (x) − f (x) )
= g(x)
x 2 > 0 for x > 0.
すなわち
