期末試験問題(ベクトル解析基礎)解答例

期末試験問題（ベクトル解析基礎）解答例

各問10点、50点満点。適宜部分点を与える。

１．

AB   4 ,  8 , 2 

，

AC   6 , 3 , 7 

，

AD   9 , 6 , 3 

なので（ここまでで3 点），四面体 ABCDの体積が平行六 面体の体積の1/6であることを利用すれば，

  ^{79 79}

1 2 3

7 3 6

1 4 2

3 6 9

7 3 6

2 8 4 6 AD 1 AC 6 AB

1   











V

^（+7点）

Vの計算で1/6をかけなかった場合には全体で5点としました．

２．例えば，



^{2 2 2}



^1/2



^{2 2 2}



^3/2



^{2 2 2}



^3/2

2 2

2

2

2 1

1

  



















 

 



 

 x y z x x y z x x y z

z x y

x x

^より，

 ^{x y z}   ^{x y z} 

f , ,

grad  

²



²



^{2 3/2} （3点），すなわち，P点における勾配の値は

   1 , 2 , 3 

14 14 3 1

, 2 , 14 1 14

grad f

_P

  1  

．（+2点）

一方，

a  3

より，a方向の単位ベクトルbは

 ^{1 , 1 , 1} 

3 1  



b

（+2点）．ゆえにa方向の方向微分係数は

0 grad 



 f

_P

f

D

_a

b

^（+3点）

３．放物面と xy 平面の交線は単位円

x

²

 y

²

 1

である．極座標に変換すると定積分の計算が楽になる：x = rcos，y = rsin，dxdy = rdrd（3点）だから

 

2 4

2 2 1

1

0 4 2 2

0 1 0

2

  



 



 



 







  ^zdxdy   ^{r rdrd r r}

V

R

（+7点）

あるいは，求める体積Vは対称性を利用して

 ^{x y}  ^dydx  ^x  ^{y y dx}

V

^x

x

 

^





 

 



  









¹

0 1 0

1 0

1

0 3 2

2 2

2

2

1 3 4 1

4

^（3点）

     

2 16 3 3 1 8

3 1 1 8

3 1 1 1

1

4

¹

0

2 1 2

0

2 2

2

2

 









 

 

 

     

  ^{x x x x dx}  ^{x x dx}

^（+7点）

（最後の定積分はx = costの置換積分．変わり種としては，平面z = zでの切り口は半径

1  z

の円であるこ

とに着目して，円の面積

  1  z 

^をzについて0から1まで積分して解答したものがありました．） ４．

x  a  t  sin t 

，

y  a  1  cos t 

だから，

a  t 

dt

dx  1  cos

，

a t dt

dy  sin

（3 点）．教科書の式(4)に代入

する．ただし，グリーンの定理の向きによれば，tについて2から0まで積分することに注意．

   

⁰2 ² 0 2

2 0 2

2

cos 2 3

2 2 1

cos 2 2 sin

1 2

1 dt a t t t dt a t t t a

dt y dx dt x dy

A

_







       



 



 

  

^（+7点）

教科書p.205, (4)式を使ってほしかったのですが，極座標の公式(5)を使って間違えた人が多数いました．与え

られたパラメータtは極座標のパラメータではありません．

５．S内の空間領域をTとして，ガウスの発散定理を適用すれば，

 

32 3 2

3 4 3

3  

³







   



S

F n dA

T

div F dV

T

dV

T

dV

（10点）

（



T

dV

は半径2の球の体積である．体積積分に変換したところまでで途中点5点）

体積積分を実行する際に円柱座標に変換していた人が何名かいました。球の場合なので，円柱座標は不適切で す．球座標を用いなければなりません．