法政講義2017後期 講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

入門物理学 B 2017/9/21

入門物理学 B

第1回 イントロダクション (9/21)

・自己紹介・連絡先・講義 URL ・注意事項・成績評価など ・スケジュール (講義概要)

次回 (9/28) 光の反射と屈折

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

入門物理学 B 2017/9/21

自己紹介

1984年生まれ (32 歳) 略歴

2003 年 京都大学入学 以降 9 年間京都で過ごし、博士 (理学) 取得 2012 年 理研 特別研究員

2013 年 イタリア Catania でポスドク 2015 年 阪大でポスドクをしながら、

大阪工業大学の非常勤講師 (物理学実験)

2016 年から現在  工学院大学学習支援センター講師 (法政大学兼任講師) 専門分野: 原子核理論 (核力、中性子星)  趣味：カラオケ

オフィスアワー・連絡先

1. 授業期間中の木曜日 BT ８階 0813 号室 (一番奥の部屋)         15:10 から1時間半程度

2. その他の時間は基本的に e-mail で随時受け付けます。 連絡先: kenji.fukukawa.98@hosei.ac.jp

3 日後には返信するので、それまでに返信がない場合は申し訳ないですが、   もう一回連絡してください。

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講義情報の URL

私の個人 HP (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017) に講義ノート、スライド・レポート(問題・解答) のPDF、

その他のアナウンスをアップロードするので、 随時 (週 1 回位) チェックしてください。

昨年のノート

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2016)

授業を受ける際の注意事項

1. 試験における不正行為は厳に慎んでください。

2. 講義中の私語は慎みましょう。ゆっくり授業を行いたいと思いますので、  質問はいつでも構いません。

3. 食事は控えてください。

  水分補給等は周囲に迷惑のかからない範囲で自由に行ってください。   トイレ等は自由にいってください。

4. スマートフォン・携帯電話はマナーモードでお願いします。

入門物理学 B 2017/9/21

授業の流れ

15分 ̶ 20分 前回のフォロー

20分 ̶ 80分 講義・動画・問題演習など 講義はスライドを中心に行う。

問題演習を授業中に行う (10 題程度 ?)。

80 分 ̶ 授業アンケート (基本的には何でも OK)

持参物として推奨するもの ノート・電卓

課題レポートについて

1. レポートは、簡単な計算問題・講義で扱えなかったことを   中心に取り扱います。

(シラバスには 2 回と書きましたが、1回にします。 11月の上 - 中旬頃に出す予定)

※ レポートは授業時に回収する。授業に出席できない場合は、 ファイルを連絡用メールアドレスに送ってください。

入門物理学 B 2017/9/21

評価について

1. 成績評価は基本的にテスト (80%) で行います。

・テスト問題は、記述式問題とその他の問題 (簡単な計算問題、知識問題) を予定。

 詳細は近づいたら発表する。 ・必要な数学の公式は書きます。

・試験時のやむを得ない欠席については (病気、事故、忌引、大会出場等)

 追試験について学部事務に問い合わせてください

 (早めに相談してもらえると助かります)。 問題はこちらで用意します。 2. その他にレポート問題 (20%) や 出席点 (10%)を加味して評価します。 3. A+ (90 点以上)、A (80 点)、B (70 点以上)、C (60 点以上)、

D (59 点以下)、E (未受験) で評価します。

4. 平均点が著しく高い (低い) 場合は調整します。

入門物理学 B 2017/9/21

スケジュール

前期は、力学 (地上の物体と惑星の運動、

    ガリレオ・ケプラー・コペルニクス・ニュートン) について論じた。 以下のスケジュールは、授業の進度によって前後します

① 序章 [9/21]: 全体の紹介

光の性質・波の性質

② 光の反射・光の屈折 [9/28]

③ 光の分散・散乱、波の伝わり方 [10/5]

④ 光の回折と干渉 [10/12]

6

Wikipedia 「虹」の項目より

(アイスランド・グトルフォスの滝) Wikimedia Commons, Photo by Laurent Deschodt

https://commons.wikimedia.org/wikiFile:Gullfoss_rainbow.JPG (2006年9月5日 (火) 21:25) GFDLとCC-BY-SA のデュアルライセンス

光 … 人間の目を刺激して

明るさを感じさせるもの (広辞苑)

古代から現代物理まで、

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スケジュール(続き 1)

相対性理論 時空間、エネルギーの概念を新しくする大発見

⑥ 相対性理論が出てくるまで (マイケルソン・モーリーの実験) [10/26] 光の速さ (秒速 30 万 km) は、

地球の運動 (秒速 約 30 km) によって変わらない。

⑦ 相対性理論とは何か? (相対性理論から出てくる結果の紹介) [11/2]

上の光の実験を認めると、時間と空間が互いに関係しあうということになる。

※関係の仕方はやや複雑である (ローレンツ変換と呼ばれる変換を用いる)。

※ただし、普通は光速度と比べ非常に小さい速度で動いているので、通常人間には分からない。

時間の概念を変更しながら、力学を再構築すると、 最終的に E = mc2 _{という式にたどり着く。}

「物体は止まっているだけでも、その質量に応じたエネルギーを持つ」

非常に粒子が早く動ける(= 軽い)、

素粒子・原子核物理では非常に重要な式である。

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スケジュール(続き 2)

原子説 (エネルギーと並んで最も重要な物理概念)

⑧ 万物の根源とは

(古代・中世の化学)[11/9]

⑨ 元素・原子・分子・周期表 [11/16] (ラブォアジェ、ドルトン等

18 世紀後半 ∼20 世紀初頭)

ファインマン物理学 第１章「踊るアトム」より

この世の終わりが来て、科学知識の中からたった一つの文章だけ、 後世に残すことができるとしたら．．．

「すべてのものは原子−永久に動きまわっている小さな粒で、

近い距離では互いに引き合うが、あまり近付くと互いに反発する− からできている」

8 原子の画像

日本物理学会東北支部「出前授業」「電子顕微鏡で見る原子の世界」より

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スケジュール(続き 3)

前期量子論、量子力学へ (1897 年 ̶ 1927 年)

⑩ 原子模型 11. 光と粒子の 2 重性 [11/23, 11/30]

(電子の発見、原子核の発見、量子の概念、光電効果、ボーアの原子模型)

12. 電子軌道 (周期表と電子軌道、量子力学の始まり) [12/7]

画像は仁科加速器研究センター研究紹介「原子核の研究」より http://www.nishina.riken.jp/research/nucleus.html

原子は atom

(分割不可能な存在) ではない

電子+原子核 (陽子、中性子)

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スケジュール (続き 4) 現代の話題から

13, 14. 放射線 (放射線の種類)、原子核と人類 (原発問題等) [12/14、12/21]

10

Wikipedia 「原爆ドーム」(英語版)より引用

Wikipedia 「福島第一原発」の項より Wikimedia Commons, Photo by Digital Globe

(17:19, 17 March 2011),CC-BY-SAライセンス

原子爆弾、水素爆弾等への

物理学の悪用 果たして、原子力の平和利用は _{可能なのか？}

過去の物理学者の発言を他山の石としながら、

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スケジュール(続き 5)

15. 宇宙における元素合成 [1/11]

(核力の概念、我々を形作る元素はどこから来たのか?)

16. テスト [1/18]

11

画像は仁科加速器研究センター研究紹介「原子核の研究」より http://www.nishina.riken.jp/research/nucleus.html

核図表

安定な核: 約300種 (黒色) 実験的に存在を確認

3000種

理論的に存在が予想 (黄色) 10000種

これらの元素はどうやって できたのか?

入門物理学 B 2017/9/21

参考文献リスト その他にも沢山あるので、是非 1 冊選んで読んでみよう！ 中学理科・高校物理全般

1. 「発展コラム式・中学理科の教科書 (物理・化学編)」   (滝川洋二編、ブルーバックス、1339 円、2014 年) 2. 「新しい高校物理の教科書」

(山本明利、左巻健夫 著、ブルーバックス、1242 円、2006 年) 3. 「宇宙一分かりやすい高校物理 (力学・波動)」

(Gakken、鯉沼拓 著、1592 円、2012 年) 光 「Newton 別冊 光とは何か？」

  (江馬一弘監修、1900 円+税、ニュートンプレス、2009年) 量子力学 「ぷちマンガでわかる量子力学」

     (川端潔監修、1620 円、オーム社、2009 年)

原子核物理「原子核物理」(F. Close 著、1080 円、丸善、2017 年) 宇宙論・素粒子物理学「宇宙創成はじめの 3 分間」

         (S. Weinberg 著、1296円、ちくま学芸文庫、2008年) 物理学史 「歴史をたどる物理学」

     (安孫子誠也著、2160円、東京教学社、2012 年) その他、適宜テーマに応じて紹介する予定である。

2016/9/28 入門物理学 B

入門物理学 B

第 2 回 (9/28) 光の反射と屈折 ・幾何光学とその歴史

・光の直進

・光の反射 (鏡による像) ・光の屈折 (スネルの法則)

第 3 回 (10/5) 光の屈折 (続き)・光の分散

・光の屈折 (フェルマーの最小時間の原理・全反射・レンズ) ・光の分散

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

2016/9/28 入門物理学 B

幾何光学

(geometrical optics)

とは

・光の進む線 (光線) の性質を図形的に研究する。

※1 私たちが光線と呼んでいるものは実際には光の束であり、   光線とは頭の中で考えた限りなく細い光の束のことである

※2 ２つ以上の光線は互いに他の光線に影響を与えずに通り抜けることを仮定する

歴史

・古代ギリシアで、数学の一分野として始まる

[ユークリッド(紀元前)、プトレマイオス (2 世紀) 等の著作がある)  目から出た光によって物体が見える

・イブン=アル=ハイサム

(965 年 - 1040 年頃、天文学者・物理学者・医学者・哲学者) 「光学の書」(1015年頃？、1572 年にラテン語訳)

光の直進・ 反射、ガラスによる屈折の実験的研究、 人間の眼の構造の研究、ピンホールカメラの発明

物に光が当たり、その光が眼に入ることで物体が見える

→ 当たった光がどこに行くかを知ると物体の見え方がわかる。

2016/9/28 入門物理学 B

光は直進する

光は真空中や均一な物質の中を直進する。

実験 物がない場所でペンを二人でもって、お互い少し離れて、

(1) 両目を開けながら (2) 片目をつむりながら

二人が持ったペンを触れ合わせる。(1)と(2) どちらが簡単か?

3

光線による物体の位置の決定

レンズの焦点を合わせることによっても

距離感が得られるが、両目でものを見ることにより、 より正確に物体との正確な距離が経験的にわかる。 (三角測量の簡単な実例)

光の反射

(Reflection)

鏡面反射 … 鏡の面や、磨いた金属面、

水面などで起こる反射

反射面に垂直に引いた線 (法線)から

測った角度は入射光と反射光で等しい。

(入射角) =(反射角)

入射角 _反射角

2016/9/28 入門物理学 B

鏡による像 (基礎編)

4

鏡による反射は(実際には存在しない) 別の場所から出た光線が作っている

ように見える。このような像を虚像と呼ぶ。

虚像は近くにいる人しか見えない。

・ヘロン (B.C.130 B.C.75) による説明

光は鏡面で反射する時、物体から目までの通 過距離が最短になるように反射する。

「ヘロンの最小距離の原理」

図の A → B → C と進むよりも、

A → B → C と進む方が距離が短くなる。 この時、(入射角)=(反射角) が満たされる。 A

C

B B

アレクサンドリアのヘロン

(古代ローマの工学者・数学者) ヘロンの公式

(三角形の面積の公式)で有名 世界最古の自動販売機を作成 画像は Wikipedia より引用

2016/9/28 入門物理学 B

考えてみよう (応用編)

2枚の鏡を直角に組み合わせると、 どのように見えるか？

5

像

像 像の像

万華鏡などに、合わせ鏡の 原理が応用されている

Wikimedia commons より https://

2016/9/28 入門物理学 B 6

乱反射 (拡散反射)

光の屈折

(Refraction)

※画像は Wikipedia 「拡散反射」の項より引用

Photo by Theresa knott , (24th December 2007), CC-BY-3.0 ライセンス

表面の細かい凹凸によって、

一本の光線については反射の法則が 成り立つが、全体としてはあらゆる 方向に光が拡散される。

物体が見えるのは乱反射のおかげ

Claudius Ptolemaeus (83頃 - 168 頃)

天動説で有名 (春学期の講義を参照) 入射角と屈折角の最古の表を作成 ※画像は Wikipedia より引用

ユークリッドの頃から (紀元前 3 世紀)、

現象としては知られていた。 紀元 140 年ごろ、

2016/9/28 入門物理学 B 7

(右下) Wikipedia 英語版 「屈折」の項より Wikimedia Commons, Photo by Zátonyi Sándor (ifj.) Fizped (talk) (11 June 2005), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

入射角 i (空気中、度)

屈折角 r

(水中、度) i/r

sin i/ sin r

10 8 1.25 1.25

20 15.5 1.29 1.28

30 22.5 1.33 1.31

40 28 1.43 1.37

50 35 1.43 1.34

60 40.5 1.48 1.33

70 45 1.56 1.33

80 50 1.63 1.29

光の屈折

プトレマイオスによる世界最古の表

(iとrの数値はファインマン物理学より引用) 入射角 反射角

2016/9/28 入門物理学 B

三角比 (少し数学)

8

A

B

C

i

角度 i の sin (sine, サイン) を BC=AB (sin i)

[(角度 i と接していない辺) = (斜辺) (sin i)] で定義する。

また、sin 0 =0, sin 90 =1 とする。

空気 (屈折率 n1)

ガラス (屈折率 n2)

i

r

A

_B

境界面

法線

C

D

O

スネルの法則 (1621年)

境界面上の点 O を中心として円を描き、 それと光線との交わる点を A, D とする。 左の図で、 CD = OD (sin r)

AB = OA (sin i). OA = OD なので、

CD/AB = [OD (sin r)]/[OA (sin i)] = sin r/ sin i = n1/n2

「屈折率が大きい物体に入射すると  より大きく光が曲がる」

n1, n2 を物質の(絶対)屈折率と呼び、

2017/10/5 入門物理学 B

入門物理学 B

第 3 回 (10/5)

・光の屈折 (フェルマーの最小時間の原理・全反射・レンズ)

第 4 回 (10/12) 光の屈折 (レンズ)・光の分散・散乱

2016/9/28 入門物理学 B

幾つかの物質の屈折率

2

物質  屈折率

真空 1 (定義から) 空気 1.00292

氷 1.309 水 1.3334 ダイヤモンド 2.417

Willebrord Snell (1580-1626)

数学者、蘭 ライデン大学教授 三角測量法による子午線の長さの 最初の実測

画像はWikipedia より引用

なぜ屈折が起こるか? (フェルマーによる最小時間の原理)

Pierre de Fermat (1607? 8? - 1665)

フランスの数学者「数論の父」 フェルマーの最終定理で有名

「光は最小時間で通過できる 経路を進む」

(速いところを沢山走る方が有利) ヘロンの最小距離の原理の拡張

2016/9/28 入門物理学 B 3

なぜ屈折が起こるか?(続き)

フェルマーによる最小時間の原理からスネルの屈折の法則を導く。

② 時間が最小になるところでは、少し経路がずれても時間が変わらない。

① 光の物質中での速さは

(約30万km)/ (物質の屈折率) = c/n物質

(真空や空気中では光の速度が速く、ダイヤモンドでは遅い)

※導出には大学の電磁気学の知識が必要

A A

A

通過に必要な時間

A A A 通過点

2016/9/28 入門物理学 B

なぜ屈折が起こるか?(続き)

4

i

i

r

r

A

B

C D

前ページの A 点(真の経路) 付近の拡大図

真の入射光線と点線 CD は光が十分遠くから 来ている場合、殆ど平行である。

ここで、AB = AC (sin r), CD = AC (sin i)   AB/CD = [AC (sin r)]/[AC (sin i)]

= sin r/sin i …… (※)

一方、前のページの ② からABを進む時間と CD を進む時間は同じであるべき。

①から AB では光速が CD の n1/n2 倍になるので、

AB /(n1/n2 )= CD AB/CD= n1/n2 …… (※※)

(※)と(※※) から sin r/ sin i = n1/n2         (7ページ目の式)

屈折率 n1

屈折率 n2

直感的には車が砂利道へ進むと、 曲がるイメージ (左図)

舗装道路

2017/10/5 入門物理学 B 5

全反射

屈折率が大きい物体から、小さい物体に光を入射させた時、

入射角が 臨界角 ic に達すると、屈折角が 90 になる。         

空気 (屈折率 1)

物質 r

i

境界面

法線

ic

これ以上入射角を大きくすると、 光は屈折することができなくなり、 入射した光は全て反射する。

この現象を全反射と呼ぶ。

スネルの法則 によると、sin r/sin i= n物質/1 臨界角 ic で入射する時 r が 90 になる。 sin 90 = 1 なので、1/sin ic= n物質

ic は sin ic = 1/n物質 を満たす角度である。

2017/10/5 入門物理学 B 全反射の利用

1. 光ファイバー

6

コア(屈折率大) クアッド(屈折率小)

※ 画像はWikipedia より

Photo by Timewether (2005), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

2. ダイヤモンド

ダイヤモンドに入射した光は、

多数の面で全反射を繰り返し輝きを放つ。

※画像は Wikipedia より

photo by Mario Sarto (4 Feb. 2004), CC-BY-SA 3.0 license

3. 魚の視野

魚には鏡のように

2017/10/5 入門物理学 B

レンズ

光の屈折が起きる時、境界面が平行でないと、光の方向が変わる (左図)

その原理を利用して一点に光を集めるのがレンズ

境界面としては製造が簡単な球面の一部を考えることが多い。 レンズの中心を通る軸を光軸 (optical axis)と呼ぶ。

平行光線が入ってきた時、光線が一点に集まる点を焦点 (focus)、 中心と焦点の距離を焦点距離 (focal length)と呼ぶ (右図)。

7

焦点F 焦点距離 f

光軸

焦点距離 f は レンズの屈折率を n、 周りの物質の屈折率を n物質

曲率半径 (レンズを球の一部だと した時の球の半径)を R とすると、

1/f = 2(n/n物質-1)/R

で表される。

※ 曲率半径 R は面が凸の時に正、凹の時に負とする

※ f がレンズの厚さより大きい時には十分正しい

R が小さいほど (レンズが厚くなれば)、

2017/10/5 入門物理学 B

凸レンズによる実像 (屈折式望遠鏡の原理)

E

焦点F1

焦点距離 f

焦点F2 G

焦点距離 f C

D

Hi

Si

So

A

B

O Ho

倒立実像

① レンズの軸に平行な光は焦点 F1を通る

② レンズの焦点F2を通った光は、軸に平行に進む ③ 光軸を通る光はそのまま直進

※ レンズを薄いとした時は、

レンズは円盤とみなして、 中心で一回だけ屈折すると 近似して良い。

像の位置と倍率

△ ABF₂ と △ GOF₂ は相似なので、H_i/H_o = f/S_o (像の倍率) △ CDF₁ と △ EOF₁ は相似なので、H_i/H_o = S_i/f

従って、f/So = Si/f なので、So Si=f2

※ この式で、BO = a = S_o+f, OD = b = S_i+f として変形すると、

入門物理学 B 2017/10/12

入門物理学 B

第 4 回 (10/12) 光の屈折(レンズ)・光の分散・散乱

・光の屈折 (レンズ)

・光の分散

・光の散乱

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

2017/10/12 入門物理学 B

凸レンズによる実像 (屈折式望遠鏡の原理)

E

焦点F1

焦点距離 f

焦点F2 G

焦点距離 f C

D

Hi

Si

So

A

B

O Ho

倒立実像

① レンズの軸に平行な光は焦点 F1を通る

② レンズの焦点F2を通った光は、軸に平行に進む ③ 光軸を通る光はそのまま直進

※ レンズを薄いとした時は、

レンズは円盤とみなして、 中心で一回だけ屈折すると 近似して良い。

像の位置と倍率

△ ABF₂ と △ GOF₂ は相似なので、H_i/H_o = f/S_o (像の倍率) △ CDF₁ と △ EOF₁ は相似なので、H_i/H_o = S_i/f

従って、f/So = Si/f なので、So Si=f2

※ この式で、BO = a = S_o+f, OD = b = S_i+f として変形すると、

 レンズの公式 1/a + 1/b = 1/f が導ける。

2017/10/12 入門物理学 B

凸レンズによる虚像 (虫めがねの原理)

焦点F1

焦点距離 f 焦点距離 f

焦点F2

So E G _H i C D Si Ho

物体を焦点距離よりも近くに置くと、 物体 AB が拡大されて

正立虚像 CD ができる

人間の目が疲れることなしに見る

ことのできる距離を明視距離 とよぶ。 (個人にもよるが、25 ̶ 30 cm 位) 明視距離 を d とすると、大体

Si = d＋f なので、 (※)の関係式を用い

Hi/HO= (d＋f)/f=d/f+1

従って、焦点距離が小さい方が 倍率が高い。

像の位置と倍率

△ ABF₁ と △ EOF₁ は相似

Hi/Ho = f/So

△ CDF₂ と △ GOF₂ は相似

Hi/Ho = Si/f …(※)

従って、f/So=Si/f なので、SoSi=f2

A B O

2017/10/12 入門物理学 B

F2

A

B

Ho

F1

So

D C

Hi

Si

G

O f

f E

凹レンズでは

2つの焦点が果たす役割が凸レンズの場合の逆になる

凹レンズでは元の物体より小さな正立虚像ができる。 像の位置と倍率

△ ABF₂ と △ GOF₂ は相似なので、H_i/H_o = f/S_o △ CDF₁ と △ EOF₁ は相似なので、H_i/H_o = S_i/f

従って、f/So = Si/f なので、So Si=f2

4

入門物理学 B 2017/10/12

対物レンズ(凸レンズ) 接眼レンズ (凸レンズ)

ケプラー式望遠鏡

構造は顕微鏡と同じ (対物レンズによる実像を接眼レンズの焦点のすぐ内側に作る) 対物レンズの口径距離が大きく(光を集める)、焦点距離が長い (実像を大きくする)

Johannes Kepler (1571 - 1630)

天体物理学の先駆者

画像は Wikipedia より

筒の長さは大体

(対物レンズの焦点距離)

+(接眼レンズの焦点距離)で決まる

大型化すると対物レンズでの透過率が落ちる ➡小型望遠鏡でよく使われる

入門物理学 B 2017/10/12

ガリレオ式望遠鏡

対物レンズ(凸レンズ) 接眼レンズ(凹レンズ)

長所 倒立ではなく、正立の像が得られる。

短所 倍率を高くしようとすると、視野が狭くなってしまう。 (歴史) 1608年10月ハンス・リッペルスハイが望遠鏡を発明 翌年ガリレオが、原理を考え望遠鏡を自作

→ 木星の衛星、月のクレーターや太陽の黒点、天の川などを観測 (望遠鏡での世界初の天体観測)

Galileo Galilei (1564-1642)

画像は Wikipediaより引用

2017/10/12 入門物理学 B

レンズの応用

1. カメラ

カメラは凸レンズで光を集める。 また、凸レンズを前後に動かすこと によってピントを合わせる。

2. 人間の眼

眼に入ってくる光は、

① まず角膜表面で屈折し (屈折力の 2/3 程度)、 ② 水晶体の厚さを調節し、

網膜に像が結ばれる。(屈折力の 1/3 程度)

近視の人は水晶体による屈折作用が強すぎ、 遠視の人は屈折作用が弱すぎる。

7

入門物理学B 2017/10/12

プリズムなどに光を通して屈折させると、光は広がりを見せることが分かる

色によって曲がり具合 (= 屈折率) が違う

光の分散

アイザック・ニュートン

画像はともに Wikipedia より

虹の色の順番に並ぶが、このように並べたものを光のスペクトルと呼ぶ 光がスペクトルに分かれる現象は分散と呼ばれる。

クラウンガラスの屈折率 (数字は PSSC 物理より引用)

色 紫 青 緑 黄 橙 赤

屈折率 1.532 1.528 1.519 1.517 1.514 1.513

入門物理学B 2017/10/12

光の分散 (続き)

左のスリット x で絞った光はほぼ同じ色になっているので、 右のプリズム F を通しても光が広がらない。

ニュートンの二重スリット実験 (ニュートンの主著「光学」より)

画像は Wikimedia Commons より https://commons.wikipedia.org/wiki/

File:NewtonDualPrismExperiment.jpg?uselang=ja

9

光の分散の応用例(1) 虹

画像は Wikimedia commons 「虹 (英語版)」より、

Photo by Lauri Kosonen, (22 Aug 2007), CC-BY-SA 3.0 赤 42 度 (上側) _{紫 40 度 (下側)} 赤 50 度 (下側) _{紫 54 度 (上側)}

主虹

2017/10/12 入門物理学 B

光の分散の応用例(2) 色収差

実際の光線の経路は、理想的に書いてきた光線の経路とは少し異なり、 その結果像にぼやけ、歪み、色づき等が生じる(収差)。

様々な収差があるが、ここでは色収差を紹介する。

10

色収差 … 光の色により屈折率が異なる (分散) ため、紫色の光は赤色の光よりも近くで焦点 を結ぶ (左図上)。

大型望遠鏡では、レンズを用いる屈折式望遠鏡 でなく鏡を用いて光を集める反射型望遠鏡を 用いる理由となっている。

色消し …

屈折率と分散が異なるレンズの組を使って 色収差の影響を少なくする (左図下)

2017/10/12 入門物理学 B

光の散乱 (1)

(問) 宇宙の写真を見ると太陽があるのに真っ暗なのはなぜ？

(実験) 石鹸水と普通の水にレーザーを当ててみる

   レーザー光は果たして見えるか？ (チンダル現象)

注意: レーザー光は ① 直接見ない、② 人に当てない

   ようにしましょう !!

(エネルギー出力が高いので失明の恐れがある)

(答) 太陽の光を反射する物体がほとんど無いため

  (光はまっすぐ通過し、私たちの目には入らない)

11

石鹸水中で光が見えるのは石鹸分子が集まってできる

コロイド粒子が光を四方八方に拡散するためである (光の散乱)

2017/10/12 入門物理学 B

光の散乱 (2) レイリー散乱

なぜ昼の空は青く、夕焼けは赤いのか？

実は光は非常に細かい波であり、

赤い方が青い光よりも波長が長い(後述)ので、

粒子の間をすり抜けやすい (= 散乱が起こりにくい)

昼

昼: 太陽光が大気圏を通る距離が短く、 赤い光は散乱せずに地上に到達し、

見えない

夜：太陽光が大気圏を通る距離が長く、 青い光は散乱を繰り返し、

光が弱くなり見えなくなる

夕方

大気

入門物理学 B 2017/10/19

入門物理学 B

第 5 回 (10/19) 波 (1)

・波とは

・一次元の波

 - 重ね合わせの原理

- 波の反射 (自由端反射・固定端反射) - 波の反射の応用 (定常波・弦の振動) - 共振・共鳴

・二次元以上の空間を伝わる波

- ホイヘンスの原理 (波の直進・屈折・反射)

次回 (10/26) 波 (2)

波の回折・波の干渉

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

入門物理学 B 2017/10/19

LIGO Webサイト ``What is an interferometer? より

https://www.ligo.caltech.edu/LA/page/ what-is-interferometer

波とは

全ての光のモデルが説明しないといけない性質… 光は空間中を伝わる

光の粒子モデル (後述) では、光の粒子が空間を伝わる

ただし、粒子が伝わらなくても、何か運動の形態が伝わっていけば良い。 →波も情報を伝える

水面中に小石を落とすと、水面の中を輪が広がっていく。

波は表面を伝わっていくが、水自身が波と一緒に進んでいくわけではない (水面に浮かぶ木の葉は水面上を (ほぼ) 上下する)。

波を伝える物質を媒質と呼ぶ。

※ 媒は「仲立ち」の意味。媒体、媒酌

入門物理学 B 2017/10/19

t=T/4

B

波の要素 (波の基本式)

振幅 (amplitude) A [m]

波長(wavelength) λ[m]

(Lambda, ラムダ)

山

谷

t=0

B

B t=T/2

t=T

周期 (period) T [s] 媒質が一回振動して元の場所に戻ってくるまでの時間 振動数 (frequency) f [Hz] (Hertz, 1/s の別名)

    一秒あたりの媒質の振動の回数 f=1/T (f と T は互いに逆数の関係) 波は一周期で一波長進む v=λ/T 上の式を代入すると v=fλ

速度 v で波の形が伝わる

3

入門物理学 B 2017/10/12

横波と縦波

横波 (transverse wave)… 媒質の振動方向が波の進行方向と垂直な波 (前ページの点B は進行方向と垂直なので横波である)

例. 光 (電磁波)、ロープや弦の横波、地震波の S 波 (secondary wave) 縦波 (longitudinal wave)… 媒質の振動方向が波の進行方向と平行な波

       疎密波とも呼ばれる

画像はWikimedia commonsより

例. 地震波の P 波 (primary wave), 音波 縦波の横波表示

縦波は時間経過を図に 書きにくいので、

何もない時に比べ

右に動いたものを +,

左に動いたものを - として y 軸にプロットし直す。

入門物理学 2017/10/19

波の重ね合わせの原理

2つの波が出会う時、

媒質の位置の変化 y は、

2つの波による位置の変化 y1, y2 の足し算

y = y1+y2

右の図の場合 2 つの波は何事もなかったか

のようにすり抜ける事になる (下の 2 つの図)。 これは幾何光学の前提として、2つの光線は

互いに影響を与えることなく通り抜けるとし たことに対応する (波の独立性) 。

津波のシミュレーションなどに用いられている。

Wikimedia Commons より引用

入門物理学 B 2017/10/19

波の反射

(1) 自由端反射

端の部分では媒質は力を受けないので、

入射波がそのまま反射波として反射される。

画像は Wikimedia Commons より引用

アニメーション 琉球大前野さん作成のページ (他のページもおすすめ) http://irobutsu.a.la9.jp/movingtext/HanshaTouka/index.html

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2017/10/19 入門物理学 B

波の反射

(2) 固定端反射

端の部分が固定されている時、固定された端点は

媒質から力を受ける(作用)が、壁から逆向きの力を受ける(反作用)。

従って、反射波とは入射波と上下左右反転させた形で同じ大きさを持つ。

画像は Wikimedia Commons より引用

7

入門物理学 B 2017/10/19

定常波 (定在波)

反射が起こると互いに反対向きで、波長と振幅が等しい波が 発生することがある。これらの波が重なり合う場合を考える。 この時、波形の進行しない波ができる。

この波を定常波 (定在波)と呼ぶ。

一番大きく振動する部分を腹、

一番振動しない部分を節 (図の赤点) と呼ぶ。

Wikibooks 高等学校理物理 I 波/波の性質より

Wikibooks 高等学校理物理 I 波/波の性質より Wikimedia Commons より引用

2017/10/19 入門物理学 B

弦の振動

ギターなどの弦では、両端が固定されている。 両端が固定されている弦を振動させると、

両端で固定端反射が起こり定常波ができる。 節から節までの距離が半波長なので、

弦の長さ L は半波長の整数倍である。

従って、L = m (λm/2) なので、λm =2L/m

波が伝わる速さを v とし

(弦の密度・弦を引っ張る力の強さで決まる)、 弦の振動数を f とすると、波の基本式

v = fmλm から、fm = v/λm = mv/2L

したがって、波長λm や、振動数 fm は弦の持つ固有の量である、

v や L によって決まる。したがって、この振動のことを固有振動と呼び、

fm を固有振動数 と呼ぶ。

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2017/10/19 入門物理学 B

共振・共鳴

ある物体の固有振動数と、同じ振動数の周期的な力を与えると、

物体が振動を始める。この現象を共振 (音の場合は共鳴) と呼ぶ。

構造物の崩壊や不具合などを引き起こす可能性があり、 設計には十分な注意が必要とされる。

例.

1. 2 つの音 による共鳴

2. 地震による建物の大きな揺れ

(地盤の揺れの振動数と建物の固有振動数が等しいことによる共振) 3. 人々が歩調を合わせることによる橋の共振

 参考HP 「失敗百選」(英ロンドン・テムズ川) ミレニアム・ブリッジの閉鎖 http://sydrose.com/case100/218/

入門物理学 B 2017/10/26

入門物理学 B

第 6 回 (10/26) 波 (2)

・平面を伝わる波

 - ホイヘンスの原理による波の反射・屈折 - 波の回折

・波の干渉 (振動の位相、ヤングの干渉実験)  - 光のスペクトル

次回 (11/9) 波 (3)

・光の干渉の応用例 (構造色) ・光のスペクトル (続き)

 - 目に見えない光の発見 - 光の色と元素の関係 ・ドップラー効果

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

2017/10/26 入門物理学 B

平面を伝わる波

平面の波の表し方… 同じ時刻に同じ状態 (山なら山、谷なら谷) の点を結んでできる面 (波面) を用いて表す。

          波は波面に垂直に進む (点線の方向、点線を射線と呼ぶ)

直進する直線波

円形のパルス波の広がり方 ある瞬間の波面から次の瞬間の波面を

知る方法としてホイヘンスの原理が知られている。 Christiaan Huygens

(1629-1695、オランダ) 数学者、物理学者、天文学者 1. 土星の環の発見

2. 振り子時計の製作 3. 光の波動説 等の業績 画像は Wikipedia より引用

2

波長

入門物理学 B 2017/10/26

ホイヘンスの原理

ある瞬間の波面 (波の山) の各点が小さい波(素元波)を発生させる 素元波は球面状に広がる。

ある瞬間の波面の各点から出た素元波を重ねあわせた時、 素元波の波面の共通の接線 (包絡線)が新しい波面になる。

例1. ホイヘンスの原理による波の直進

例2. 波の反射

C

例2の説明

波の速さを v,

点 D が点 Bに達する時間を t と すると、BD = vt

この時 A から出た素元波は C まで同じ速さで進む。

したがって、AC = vt AC = BD また 角ACB = 角BDA = 90

△ACB △BDA

従って、緑色の角度が等しく、

角NAE (入射角)= 角NAC (反射角) 反射面

B A

D N

E

2017/10/26 入門物理学 B

例3. 波の屈折

境界面

空気

(屈折率 1) 速さ v1

波長λ

波長λ/n

ホイヘンスの原理によると、 空気から他の物質に入る時、 波の速度が遅くなると

(物質中で波長がλ/nになる ことによる。振動数は

入射波と屈折波で一致する)、 スネルの法則が示される。

物質 (屈折率 n > 1) 速さ vn

(緑の角度)=入射角 i

(ピンクの角度)=屈折角 r

A

B C

D

従って、v1/vn=fλ/f(λ/n)

= AB sin i/(AB sin r) = sin i/sin r = n

4

琉球大前野さんのページ

http://irobutsu.a.la9.jp/movingtext/Kussetsu/index.html#page3 も参照。 (証明)

△ABC と△ABDに注目

波面の定義から、角ACB = 角ADB = 90 また、緑の角度同士、

ピンクの角度同士がそれぞれ等しい。

λ = BC = AB sin i , λ/n = AD = AB sin r

2017/10/26 入門物理学 B

波の回折

媒質中を伝わる波に対し、 障害物が存在する時、

波が障害物の後ろに

回り込んで伝わる現象。

波動ならではの現象である。

波長がスリット 間の長さと 同程度以上の場合には、

回折の程度が非常に顕著になる。

画像はWikimedia Commons より引用

Francesco Maria Grimaldi (1618 -1663,

伊ボローニャ大学)

5

画像はWikipediaより引用

例

2017/10/26 入門物理学 B

振動の位相

位相 (phase)は、周期的な現象におけるタイミングを示す量で、 正弦波の場合対応する円運動の角度で表される。

円運動を一方向から眺めると、振動現象が起こっている。

画像は金沢工業大学 KIT 物理ナビゲーション「物理」(単振動)の項より

干渉など 2 つの波の重ね合わせが起こる時の、位相の差が特に重要

2 つの振動の位相の差が 0 度 (山と山、谷と谷など) → 同位相

2 つの振動の位相の差が 180 度 (山と谷) → 逆位相

2017/10/26 入門物理学 B

振動の位相 (続き)

ある点で同位相の振動を する二つの波が到着

ある点で逆位相の振動をする ２つの波が到着

時間

時間

時間

時間

+

₊

=

=

7

時間

ある点は大きく振動する (腹)

時間

2017/10/26 入門物理学 B

¦l1-l2¦/λ= 3/2 1 1/2 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3

波の干渉

複数の波の重ね合わせにより、波が強めあったり弱めあったりすること

例1. ２つの同位相で振動する波源からの波の干渉

簡単のため、2つの波源の振動数と波の振幅、波長が等しい場合を考える。 二つの波の山と山がぶつかる所 (青の実線)で合成波が強く振動する。

この線を 腹線 と呼ぶ。また山と谷がぶつかる所 (赤点線) では

波として振動しない。 この線を 節線 と呼ぶ。

干渉条件

(2つの波源が同位相で振動する場合) 強め合う条件 (腹線)

¦l1-l2¦ = nλ

弱め合う条件 (節線)

¦l1-l2¦ = (n+1/2)λ (n =0,1,2 … )

8

2017/10/26 入門物理学 B

例2. 2つの波源の振動が逆位相の場合

¦l1-l2¦/λ= 3/2 1 1/2 0 1/2 1 3/2 2 5/2

干渉の強め合う条件 (腹線 [青実線])

¦l1-l2¦ = (n+1/2)λ

弱め合う条件 (節線 [赤の点線])

¦l1-l2¦ = nλ (n は整数)

双曲線: 二つの定点(=焦点)からの

距離の差が 一定であるような点の集まり 節線や腹線は (直線のものを除いて)

波源を焦点とする双曲線である

2017/10/26 入門物理学 B

ヤングの干渉実験

Thomas Young (1773-1829、英)

英語版 Wikimedia ``material in Electronics/

Wave -Particle Duality/ The Two-slit Experiment より引用 画像はWikipedia より引用

遠くにスクリーンを置き回折した光の干渉によって生じる明るい所 (合成波の山) と暗い所 (合成波の節) を観測することによって、

光の干渉が確認できる (光の波動説 [後述] の復活)

10

明線

明線

明線

暗線

暗線

明線 明線

2017/10/26 入門物理学 B

紫線同士の長さは等しくする→S1と S2 からの波は同位相

OP=x, S1S2=d, OQ = L とし、角 PQO=θとする。

点 S1から線分 S2P に下した垂線の足を R とする。

この時 S1P と S2P はほぼ平行と考えると、角S2S1R=θである。

2 つの波源 S1, S2 が通る光の経路差

S2P-S1P S2R (S2S1)sinθ= d sinθ= d OP/PQ d OP/OQ=d(x/L)

明線が見える (光が強め合う) 条件は d(x/L) = nλ

暗線が見える (光が弱め合う) 条件は d(x/L) = (n+1/2)λ (n = 0,1,2 … )

ヤングの実験の干渉条件

Q

R

光源

S0

S1

S2

距離 L (x,d と比べ非常に長い) O P

θ x

2017/10/26 入門物理学 B

ヤングの干渉実験 (続き)

ヤングの干渉実験で暗線が見える条件は、d(x/L) = (n+1/2)λ (nは整数) すなわち、x= (n+1/2)(L/d)λ

したがって、暗線どうしの間隔は、n が一つ増える時の x の増加量Δxになる。式で表すと、Δx=(L/d)λ

この式は、光の波長を拡大して観測していることに対応する 波長λについて解くと、λ=(d/L)Δx

この式は、暗線(明線)どうしの間隔 Δx を測ると、 光の波長λが決まることを示している 。

上: 単色項による干渉縞 下: 白色光による干渉縞 画像は独ハノーバー大学

Prof. Dr. Dietrich Zawischa氏のサイト https://www.itp.uni-hannover.de/

zawischa/ITP/multibeam.html より引用

2017/10/26 入門物理学 B

光のスペクトル

このようにして少なくとも可視光線の光の波長の 長さを測ることができる。

可視光線の波長は文献により細かい値が異なるが、

360 400 nm - 760 830 nm

(1 nm=10-9 _{m, 1m の10億分の1)}

多くの色の光が集まっている白色光に対しては、 光の色によって明線のできる感覚が違うので、 光の干渉縞が色づいて見える

(赤い明線のみが見えるところでは、赤く見える)。 このように光の色(波長)で分けることを

分光と呼ぶ。

(以前紹介したプリズムも分光器の一つである。)

画像は Wikipedia ``Electromagnetic Spectrum より引用、

Photo by Victor Blacos, (1st October, 2012), CC-BY-SA 3.0ライセンスより改変

振動数 波長

入門物理学 B 2017/11/9

入門物理学 B

第 7 回 (11/9) 波 (2)

・

 - 光の干渉の応用例 (構造色) ・光のスペクトル

- 目に見えない光の発見 - 光の色と元素の関係

・ドップラー効果 (赤方偏移)

次回 (11/16) 光速について・相対性理論 (1)

・光の粒子説と波動説 ・光速の測定

・相対性理論の登場

(エーテルの風、マイケルソン・モーリーの実験、   ローレンツとアインシュタインの登場)

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

入門物理学 B 2017/11/9

前回の復習

ヤングの干渉実験

干渉によってできる縞を見ることで、光が波であることを示した実験。 S2R の距離が 2 方向の光が進む距離の差なので、S2R d(x/L) が

d (x/L)= nλ の時、光は強めあい (明線) =(n+1/2)λ の時、光が弱め合う (暗線)

明線 (暗線) 同士の間隔: Δx = (L/d)λ λ=(d/L)Δx (Δxからλが決まる、分光の原理)

光源

S0

S1

S2

距離 L O

P

θ x

R

2

2017/11/9 入門物理学 B

光の干渉の応用例

構造色

      光の干渉を原因とする発色現象

人間が見る角度に応じて光の経路の差が異なるので、様々な色彩が見られる。

画像は Wikipedia ``構造色 より引用、

Photo by en:User:Tagishsimon, (30th July, 2005), CC-BY-SA 3.0ライセンス

シャボン玉

薄膜の上の面で反射した光と 下の面で反射した光の干渉

CD

デジタル情報の記録のため刻まれた凹凸 によって光の干渉が起こる

3

画像は Wikipedia ``構造色 より引用、

入門物理学 B 2017/11/9

目に見えない光の発見

赤外線 ウィリアム・ハーシェルによる発見 (1800年)

Sir Frederick William Herschel (英、1738-1822)

天王星の発見で有名 画像 は Wikipedia より引用

太陽光

赤外線

可視光

温度上昇 大

小

ハーシェルは太陽光をプリズムで分光し、それに温度計をかざして 温度上昇を測定した。色によって上昇幅に違いがあること、

虹の外の領域にも温度上昇を引き起こす光線が到達していることを発見した。

入門物理学 B 2017/11/9

紫外線の発見 (1801年、リッター)

塩化銀を太陽光に当てると黒変することが知られていた。 紫色の光を用いるより、その外側の光 (紫外線)を

用いた方が速く反応することが判明した。 2 AgCl → 2Ag+Cl2

塩化銀の光分解の動画 (Fukuno Katsuhisa さん): https://www.youtube.com/watch?v=IaivTvjD3kE

光の色と元素の関係

原子・分子は、元素に特有な波長を持った 光を吸収したり発したりできる。

太陽光を分光した結果、太陽ガスの吸収による

数多くの暗線があることが判明。(フラウンホーファー線)

(1802年 ウォラストンが発見、

1814年 フラウンホーファーによる系統的な研究)

Johann Wilhelm Ritter (独、1776-1810) 画像は Wikipedia より引用

Joseph von Fraunhofer (独、1787-1826)

画像はともにWikipedia より引用 横軸は Å (オングストローム、 = 1/10 nm =10-10_m,

100億分の 1 m) 単位

入門物理学 B 2017/11/9

炎色反応

各金属を熱すると、それぞれの元素に特有の色を示す

例. 花火大会の花火の着色などに用いられる

画像は Wikipedia より引用 Na の画像は,

Photo by Soren Wedel Nielsen, (13th June, 2005),

CC-BY-SA 3.0ライセンス

Li (リチウム) Ca (カルシウム) Pb (鉛)

Na (ナトリウム) D1, D2 線

1860年 キルヒホッフ &ブンゼン (炎光分析法) 太陽光の暗線の波長と炎色反応で起きる

元素に固有の色の波長が一致する。

1. 太陽や恒星にどんな元素があるのか知る手がかり

2. 新元素 Cs (セシウム), Rb (ルビジウム)

  1868 年、ロッキャーによる He (ヘリウム, D3線) の発見

分光器を覗くキルヒホッフ 画像は Wikipedia より引用

入門物理学 B 2017/11/9

ドップラー効果

音や光などの波源と観測者の間の相対的な速度の存在

によって、波の波長や周波数が異なって観測される現象。

Johann Christian Doppler (独、1803-1853)

画像は Wikipedia より引用

初め点O にいた波源 が、速度 v で離れ、 Sについたとする。

v v/f

λ=V/f

観測者 (静止)

波源 S _O

7

波の基本式

f：振動数 [Hz] λ: 波長 [m] 媒質が波を伝える速さ V＝fλ 波源が止まっていれば、O にいた時に出た波面の次の波面は

入門物理学 B 2017/11/9

ドップラー効果 (続き)

波長の関係式 λ = (V+v)/f =((V+v)/V)λ

ただし、波とは媒質の振動が伝わっていくことであったので、

波の速度は波源の動きと関係なく V

したがって観測者には、波の振動数は f=V/λではなく、

f = V/λ =f V/(V+v) であるように聞こえる (音が低くなる)。 光のドップラー効果

光の場合は、通常の波との以下の違いで式が多少変更される。 1. 特殊相対論的な効果

2. 光の場合は媒質を必要とせずに動くことができる。  真空中では常に光速度 c で伝わる。

速さ v で遠ざかりながら波長λの光を出す光源は、観測者からは

の波長の光であるかのように見える (赤方偏移) 。 これは、c >> v (非相対論) の時、上の通常の波の式と一致する。

λ! = λ

!

c + v c ₋ v

入門物理学 B 2017/11/9

赤方偏移 (redshift)

主に天文学において、観測対象からの光のスペクトルが、 長波長側 (可視光でいうと赤側)にずれる現象。

       で表される。

他にも強い重力をもたらす天体の近く (中性子星・ブラックホール) では、

一般相対論的効果による赤方偏移がある(重力赤方偏移) 光のドップラー効果から

天体が地球から遠ざかる速度 (後退速度) を割り出し、 ハッブルの法則から遠い天体の距離を割り出している。

ハッブルの法則 (1929年)

宇宙は膨張しているので、地球から見ると 全天体が遠ざかっているように見える。

天体と地球の距離を D, 後退速度を vとすると、 v と D は比例する。v = H_{0 ×} D

ただし、H0= 67.15 ± 1.2 km/(s・Mpc)

9

画像は Wikipedia ``Redshift より引用、 Photo by Georg Wiora, (2nd February, 2011), CC-BY-SA 3.0ライセンス

左: 太陽のスペクトル

右: 遠方の超銀河団のスペクトル

フラウンホーファー線が赤い側 に移動している。

2017/11/16 入門物理学 B

入門物理学 B

第 8 回 (11/16)

光速について・相対性理論 (1)

・光の粒子説と波動説 ・光速の測定

・相対性理論の登場 (エーテルの風、マイケルソン・モーリーの実験)

次回 (11/23) 相対性理論 (2)

・アインシュタインの相対性原理 ・ローレンツ変換

・ニュートン力学の変更 (E=mc2)

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

入門物理学 B 2017/11/16

光の粒子説

ニュートンが主著である「プリンキピア」や「光学」で唱える。

ホイヘンスによる波動説(1690 年) ほぼ同年代 以降、両者は 100 年以上対立。

18 世紀は光の粒子説が主流だったが、

1801 年ヤングの実験により波動説が復活した。

光の粒子モデルは、光の持つ幾つかの性質をうまく説明出来る。 ・光の直進

光の粒子は非常に速く飛ぶので、ほぼ重力の影響を受けずに直進できる。 ・光と光が相互作用しないこと

光の粒子が非常に小さいと考えることで、光同士の衝突は確率的に ほとんど起こりえないと考えることができる。

2

・光の吸収と加熱

入門物理学 B 2017/11/16

入射角 反射角

床

光の粒子説 (2)

・粒子説による光の反射

ボールと床の衝突では、よくボールが弾む (弾性的な)場合、ボールの反射角と入射角 はほぼ等しくなる。

3

・粒子説による光の屈折

急な崖 (境界面) 入射角 i

屈折角 r 空気

(屈折率 1)速さ v1

物質 (屈折率 n > 1) 速さvn

粒子が急な崖に差し掛かることで、

境界面に垂直な面に加速されることにより、

屈折が起きる。したがって、

入門物理学 B 2017/11/16

境界面

空気

(屈折率 1) 速さ v1

波長λ

波長λ ＝λ/n

物質 (n=屈折率 > 1)

波動説による光の屈折

空気から他の物質に入る時、 波の速度が遅くなると、

(物質中で波長が短くなることによる)

屈折が起こる。

v1/vn = sin i/sin r = n

したがって、vn = v1/n

4

物質中での光速は空気中より速い (粒子説)か遅い (波動説)か？

水中での光速の測定が必要。

1850 年 フーコーにより水中での光速が空気中より遅くなることが実証

(光の波動説の確立)

1864 年 Maxwell が電磁気学の基本方程式を発表 (Maxwell 方程式)。

入門物理学 B 2017/11/16

光速の測定

1. 真空中での光速 c (= 29.9792458 万 km/秒 = 地球 7 周半)は   物理の基本定数の一つ。

2. 光 (電磁波)や、重力波 (2016 年 2 月発見) は光速 c で真空中を伝わる  ・現在ではレーザーを用いて、波長λと周波数 f を精密に測ることにより、  c=fλからより精密に測定できるようになっている。

・その結果、現在の光速は単位 m [メートル]を定義するのに用いられる。 (1975年 第15回国際度量衡総会 (CGPM) の決議2,

1983年 第17回国際度量衡総会の決議1)

1 m = (光が 1/299792458 秒間に進む距離) と定義されている。 ・光速が有限かどうかは、17世紀中頃には答えが得られていなかった。  ケプラーやデカルトなどは光速が無限であると主張していた。

 次回、光速の測定について、幾つかの歴史的に重要な実験を述べる。

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レーマー

による光速測定

木星の衛星イオが木星に隠れる周期の変化を発見

木星の軌道

木星

衛星イオ 太陽 地球

半年後

太陽 地球

衛星イオ

当時知られていた値

D = 2 億 8300万km から

c = D/t = 21.4 万km/秒 を算出。

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距離 L 直径 D

(上図)

地球がずっと止まっているとすると、 木星はそれほど速く動かないので、 地球から、衛星イオが木星の周りを 回る公転周期はほぼ一定に見える はずである。

距離 L+D

(下図)

実際には、地球は公転しているので、 木星イオの公転周期は、半年後には

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ブラッドリーによる光速測定

光行差現象:

観測者の移動によって、天体の位置が移動方向にずれて見える現象

例え. 雨が降る中を走ると、雨が前から降ってくるように感じられる。

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天体 (光源)

地球 (速度 v)

光の経路

天体から見た 光と地球の運動

地球から見た 天体と光の運動

地上の人にとって、あたかも天体は B にあったかのように見える。

AB : BC = c : v なので、sinθ=BC/AB = v/c となり、 θと v を測れば、c が求まる。

光は、地球 - 太陽間を 8分12秒間 (現代の値は 8分19秒)で動くと推定 地球

天体

A

B C

θ 光の経路

画像はWiipedia より引用

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フィゾーによる地上初の光速測定

画像はWikimedia commons から引用し改変, (16th March 2007), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

距離 L

歯車 G

反射鏡 M 光源からの光が、ハーフミラー(半透明の鏡)

から歯車 G (歯の数 n) の 間を通り、 反射鏡 M で反射され、

歯車の歯に当たって暗くなる時を調べる。

歯車は光が距離 L を往復する間に 1/2n 回転すれば、

光を妨げることができる。

歯車の 1 秒間の回転数を f とすると、 かかる時間は 1/(2nf) 秒である。

これは光が GM を往復する時間 2L/c に等しい。 したがって、1/(2nf)=2L/c

c = 4nLf と求められる。

フィゾーは f =12.6 Hz, n = 720 個, L = 8633 m から c = 31.3 万km/秒 を得た。

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Hippolyte Fizeau (仏、1819-1896)

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フーコーによる光速測定

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Leon Foucault (仏、1819 - 1868) フーコーの振り子 (1851 年) で有名

画像はWikipedia より引用

(左図) 平面鏡 R は静止している。

   S から出た光は R の平面鏡及び球面鏡 Mで反射し、光は Sに戻る。

(右図) 平面鏡は R は回転している。R→M→R を走る時間 2h/c の間に鏡 R が θ回転すると、反射光の角度は 2θずれる。

   この角度を測定し、光速を計算する。

RM 間を水の管で満たせば、水中での光速が測定できる。

水中での光速は空気中の約 3/4 倍 であることを測定 (1850 年)。   

原理

画像はWikimedia Commons から引用、Photo by

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相対性理論 (1)

相対論以前の (そして、おそらく大部分の人の) 常識

静止

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1. ２つの座標系で、時刻は同じになる。 (絶対時間、古典力学における仮定)

2. 速度 v で運動する箱の中で、

 さらに速度 v で運動する物体は、 静止している人からは、

  速度 V = v +v で運動するように見える

(速度の足し算)

v

速度 v で運動する箱

箱の中で• • • • 速度 v で運動する物体は

静止している人からは 速度 V = v ＋ v で運動するように見える。

v

3. 等速度で運動する全ての人にとって、加速度 (速度の時間変化)は同じ。

 力学の基本法則であるニュートンの運動方程式 F = ma「(力)=(質量) (加速度)」

はどのような等速度で運動する人にとっても成り立つ。

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エーテルの風

19世紀の物理学者達は、地球は光を伝える媒質である「エーテル」 の中を運動していると考えていた。

光の進行方向が地球の進行方向と一致するか逆向きかで、光速 c が

変わるのではないか？と考えた (エーテルの風)。

※ 有線LAN の規格である Ethernet の語源は Ether (エーテル) である。

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地球から見た光速• • • • • • • • は c-v ? (地球は光と同方向に

[エーテルの追い風の中を] 運動)

地球から見た光速• • • • • • • • は c+v ? (地球は光と逆方向で

[エーテルの向かい風の中を]運動)

地球

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マックスウェル

の苦悩

マックスウェルは自身の電磁気学の基本方程式 (Maxwell 方程式)から、

電磁波が光速 c で伝わることを導き出し、電磁波は光であると考えた。 c というのは何か物理で基本的な量であるように思える。

しかし、地球がエーテルに対して運動すると光の速度が変わる。 Maxwell 方程式は厳密には成り立たないのだろうか？

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マイケルソン・モーリーの実験

マイケルソンは光速 c に対する地球の速さ v の比 (v/c)

を検出できるような装置 (マイケルソン干渉計、次頁)を考え (1881年)、 地球がエーテルを突き抜け走っているかどうか調べられると考えた。

1887 年に装置を改良し、モーリーと共に十分な精度で実験を行った。

James Clerk Maxwell (英、1831- 1879)

電磁気学、熱・統計力学に業績

Albert A. Michelson (米、1852 - 1931)

1907 年ノーベル物理学賞 (科学部門では米国初)

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画像はWikipedia Michelson-Morley experiment (英語版) から改変、Picture by Stigmatella aurantiaca

(4th November 2013), CC-BY-SA 3.0 ライセンス

左の図: エーテルに対し静止

半メッキ鏡 a から ab と

ac に進む光は、鏡 b と c で それぞれ反射し、

2 光線 baとca は d で同位相で 干渉する。

右の図: エーテルに対し運動 (等速度 v)

a→c→a と移動する距離は、 a→b→a と移動する距離より、 わずかに長い。

(距離の差 は Dv2/c2 となる)。

従って、光の干渉による縞模様 が移動して現れるはず。

d a b c c b a d

実験の原理図

ac = ab = ad = D

実際には、縞模様は移動しなかった。

1. エーテルの影響は検出できなかった。 2. 光の速さは動いている人から見ても 一定の光速 c

 (速度の素朴な足し算 [10ページ] が成り立たない)

2017/11/23 入門物理学B 1

入門物理学 B

第 9 回 (11/23)

相対性理論 (2)

・マイケルソン・モーリーの実験 (復習)

・マイケルソン干渉計の重力波検出への応用 ・アインシュタインの相対性理論

・ローレンツ変換

・ローレンツ変換からの結論 (同時とは、ローレンツ収縮、速度の足し算)

第 10 回 (11/30) 相対性理論 (3)

・ニュートン力学の変更