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命題 A.10 {an} を実数列とする。
(1) 実数a に対して、lim sup
n→∞
an =a であるためには (a) (∀ε>0) (∃N ∈N) (∀n ∈N: n ≥N) an < a+ε (b) (∀ε>0) (∀N′ ∈N) (∃n ∈N: n ≥N′) an> a−ε
(すなわち、任意の正の数ε に対して、an > a−ε を満たすn が無限個存在する) が必要十分である。
(2) lim sup
n→∞ an=∞ であるためには、{an} が上に有界でないことが必要十分である。
(3) lim sup
n→∞
an=−∞であるためには、{an} が上には有界でかつ下には有界でないことが 必要十分である。
(4) 実数a に対して、lim inf
n→∞ an =a であるためには (a) (∀ε>0) (∃N ∈N) (∀n ∈N: n ≥N) an > a−ε (b) (∀ε>0) (∀N′ ∈N) (∃n ∈N: n ≥N′) an< a+ε
(すなわち、任意の正の数 εに対して、an < a+ε を満たすn が無限個存在する) が必要十分である。
(5) lim inf
n→∞ an=−∞であるためには、{an} が下に有界でないことが必要十分である。
(6) lim inf
n→∞ an= +∞ であるためには、{an} が下には有界でかつ上には有界でないことが 必要十分である。
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証明 (準備中)
{an} が実数列の場合、lim
n→∞an =a とは、
(∀ε >0)(∃N ∈N)(∀n ∈N:n ≥N) a−ε< an < a+ε
が成り立つことであるので、上極限と下極限は極限を弱くした概念であり、上極限と下極限が 等しくなるとそれは極限である。正確には次の定理が成り立つ。
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系 A.11 実数列 {an}と a ∈R∪{+∞,−∞} に対して、
nlim→∞an=a ⇔ lim sup
n→∞ an= lim inf
n→∞ an=a.
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例 A.12 an = (−1)n+ 1
n (n∈N) とするとき、{an} は収束しないが lim sup
n→∞
an = 1.
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命題 A.13 (1) lim inf
n→∞ an≤lim sup
n→∞ an. (2) lim sup
n→∞ (−an) =−lim inf
n→∞ an, lim inf
n→∞ (−an) = −lim sup
n→∞ an. (3) an≤bn であればlim sup
n→∞
an≤lim sup
n→∞
bn, lim inf
n→∞ an ≤lim inf
n→∞ bn.
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数列の「集積点」という言葉を知っていれば、{an} の上極限aとは、{an} の集積点のうち
「最大のもの」である、と言っても良い。
(集積点 (特に部分集合の集積点)という言葉は、微積分の教科書レベルでは、あまり使われ
なくなってきている気がする…念のため、定義を書いておく。)
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定義 A.14 (集積点 — 上極限のことを手短に知るという目的からは余談に近くなるけど)
(1) (R の部分集合の集積点) A を R の部分集合、a ∈ R とする。a が A の集積点(an accumulation point) であるとは、∀ε>0 (B(a;ε)\ {a})∩A ̸=∅ が成り立つことをい う。a が A の孤立点であるとは、a が A の集積点ではなく、かつ a∈ A であること をいう。
(2) (実数列の集積点) {an} を実数列、a ∈R とするとき、a が数列 {an}n∈N の集積点(a cluster point, an accumulation point) であるとは、∀ε >0 に対して an ∈ B(a;ε) を 満たすn が無限個存在することをいう。
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任意のn ∈Nに対してan =a とおくとき、aは数列 {an}n∈N の集積点である。{an}n∈Nの 値域 {an|n∈N} は {a} に等しい。a は {a} の集積点ではないので、部分集合の集積点と数 列の集積点を混同しないよう注意が必要である。
A.3.2 正項級数に対する Cauchy-Hadamard の定理
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補題 A.15 (正項級数に対する Cauchy-Hadamard の定理) 正項級数 "∞
n=1
an に対して、
λ:= lim sup
n→∞
√n
an とおくとき、次が成り立つ。
(1) 0≤λ <1 ならば "∞
n=1
an は収束する。
(2) λ>1 (λ=∞ のときも含めて)ならば"∞
n=1
an は発散する。
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(λ= 1 の場合はケース・バイ・ケースである。) 証明
(1) 0 ≤ λ < 1 とする。λ < µ < 1 なる µ を任意に取ると、(∃N ∈ N) (∀n ∈ N: n ≥ N)
√nan< µ. このとき an< µn. N を1つ固定して、
bn:=
- an (1≤n ≤N −1) µn (n≥N)
とおくと、すべての n∈N に対して an≤bn で、
"∞ n=1
bn=
N−1"
k=1
ak+ µN 1−µ. 優級数の定理により、"∞
n=1
an は収束する。
(2) λ > 1 とする。√nan > 1 を満たす n が無限にたくさん存在する。そういう n に対して an>1であるから、lim
n→∞an = 0 とはならない。ゆえに"∞
n=1
an は発散する。
正項級数に対するd’Alembert の定理というものもある。
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命題 A.16 (正項級数に対する d’Alembert の定理)
"∞ n=1
an は正項級数で、an ̸= 0 を満 たすとする。
λ := lim sup
n→∞
an+1
an , µ:= lim inf
n→∞
an+1
an とおくとき、次が成り立つ。
(1) 0≤λ <1 ならば "∞
n=1
an は収束する。
(2) µ >1 ならば"∞
n=1
an は発散する。
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証明 (証明は上と同様に出来るので省略する。)
実は一般に
lim sup
n→∞
an+1
an ≥lim sup
n→∞
√nan ≥lim inf
n→∞
√nan ≥lim inf
n→∞
an+1
an
が成り立つので、(lim sup, lim inf が具体的に計算できる限り) Cauchy-Hadamardの定理の方 が d’Alembert の定理よりも強いが、
- lim sup lim inf
<
√nan の計算は
- lim sup lim inf
<an+1
an
の計算よ り難しいことが多く、応用上は d’Alembert の定理は便利である。
A.3.3 冪級数に対する Cauchy-Hadamard の定理
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定理 A.17 (冪級数に対する Cauchy-Hadamard の定理)
"∞ n=0
an(z −c)n の収束半径を ρとするとき、
ρ= 1
lim sup
n→∞
0n
|an|.
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証明 任意の z ∈C に対して、
lim sup
n→∞
0n
|an(z−c)n|= lim sup
n→∞
(|z−c|0n
|an|)
=|z−c|lim sup
n→∞
0n
|an|.