第 9 章 剛体の運動 129
13.5 静電エネルギー
れる．
E= σ 20
(13.30) 上の極板と下の極板，両方から電場は生じるので，その2倍が極板間にかかってい る電場である．
E= σ 0
(13.31) σ=Q/S，V =Edより，
V d = Q
0S ∴Q= 0S
d V (13.32)
S= 1 cm2として，d= 0.1mmを代入すると，C≒0.9×10−12F =0.9 pF（ピ コファラッド）となる．
13.5 静電エネルギー
仕事と静電エネルギー 原点に点電荷Q1があり，無限遠から点電荷Q2 を近づけ，2つの距離がRとなったとしよう．移動に必要な仕事W は
W =−
∫ R
∞
d rF(r) =−
∫ R
∞
dr 1 4π0
Q1Q2
r2 = Q1Q2
4π0R (13.33) となる．F(r)は電荷Q2に働く力である．この仕事はエネルギーとして蓄 えられる．これを静電エネルギーU とよぶ．静電エネルギーは
U = Q1Q2
4π0R (13.34)
である．
クーロン相互作用している粒子系の静電エネルギーUは U = 1
2
∑N j=1
∑N i=1,i6=j
QiQj
4π0Rij (13.35)
で得られる． 1/2と い う 因 子 は ，2重 カ ウントを補正するためであ る．たとえば，i = 1, j = 2 とi = 2, j = 1 の 項 はそれぞれQ1Q2/4π0R12， Q2Q1/4π0R21で，同じも のを2回数えている．
Φiをi番目の粒子の位置でのポテンシャル，Qiをその電荷として，(12.12) 式と組み合わせると，
U = 1 2
∑N i
QiΦi (13.36)
で与えられる．
逆にQ1, Q2がRだけ離れていたとする．電荷の符号は同符号だとする と，2つは斥力をおよぼし合う．一方（たとえばQ1）を固定し，もう一方 (Q2)を動けるようにすると，この斥力によりQ2は加速する．無限まで行っ たとき，Q2の運動エネルギーKは，エネルギーの保存則より
K= mv2
2 = Q1Q2
4π0R (13.37)
となる．
静電場のエネルギー 静電エネルギーを電場から求めてみよう．平行平 板コンデンサの静電エネルギーは，電荷をQからQ+ ∆Qに増やすために
∆Q×V の仕事を電池がすることから求められる．
U =
∫ Q 0
dQ V =
∫ Q 0
dQ Q C = Q2
2C (13.38)
ここでコンデンサ間の電場E= σ 0 = Q
0S，C= 0S
d を使って，C, Q +式(13.29)
を消去すると
U =S×d× 0E2
2 (13.39)
となる．これは単位体積あたり
u= 0E2
2 (13.40)
のエネルギーが存在していることを意味している．このように静電エネル ギーを静電場のもっているエネルギーと解釈することが可能である．
演習問題13
A 1. 地球の静電容量
地球を金属球と見なすと，その静電容量はいくらか．
2. 1次元イオン結晶の静電エネルギー
N個の+eの電荷とN個の−eの電荷が，aだけ離れて交互に直線 上に配置されている．Nが十分大きいとき，中心の電荷の静電エネ ルギーは
U =− e2
4π0a ×2 ln 2 となることを示せ．
3. 微小なコンデンサー
大きさが1µm，間隔が0.1µmの平行平板コンデンサに素電荷eを ためると，何Jのエネルギーになるか?
4. 帯電した球の静電エネルギー
接地されていない半径Rの球殻を考える．これに電荷Qを与える．
球殻の内部の電場は0である．
(a) このとき，球殻のまわりの電場を求めよ．
(b) 球殻のもつ静電エネルギーを，電荷を無限から移動する仕事を 計算することで求めよ．
(c) 球殻のもつ静電エネルギーを，球殻のまわりの電場を計算する ことで求めよ．
14 分極
原子や分子は中性である．では，これらは電磁相互作用をしないのかと いうと，実はかなり強い相互作用をする．この章では，こうした中性の原 子・分子の電気的な相互作用を学び，誘電体の仕組みを説明する．
14.1 電気双極子ポテンシャル
遠くのポテンシャル 中性の原子がクーロン相互作用をするのはおかし いと思うかもしれないが，原子は原子核と電子からできており，電荷はあく まで合計してプラスマイナスが打ち消し合っているのを，中性と呼んでい るのである．
原子核の周りに球対称に電子が分布していると，クーロン力は働かない．
球対称の場合，中心に点電荷があると見なしてよいので，電子の点電荷と +重力の場合，質量分布が 球対称の場合，質点と見なし てよいのと同じである．
原子核の点電荷が中心で打ち消し合うからである．
では球対称でない場合，どうなるであろう？ ここで，その例として，大 きさが同じで符号が逆の2つの点電荷が，dだけ離れて位置している場合
（電気双極子）を考えよう．電荷qが(0,0, d/2)，−qが(0,0,−d/2)に位置 しているとすると，クーロンポテンシャルは(12.12)より，
Φ(r) = q 4π0
( 1 r+ − 1
r− )
(14.1) となる．ただし，r±=√
x2+y2+ (z∓d/2)2である．r=√
x2+y2+z2 dとすると，
r± =√
x2+y2+ (z∓d/2)2=r
√
1 + ∓zd+d2/4
r2 ≒r∓ zd
2r (14.2)
これより， +ここでは，近似式
(1 +δ)n≒1 +nδ
（ただし，|δ| 1,|nδ| 1） を用い，n= 1/2とした．な お，|z| dを仮定し，d2/4 の項を落としている．
Φ(r) = p·r
4π0r3 (14.3)
と書ける．ここでp=q(0,0, d)は電気双極子モーメントとよばれるもの である．pは，電荷の大きさと2つ電荷間の距離に比例する．2つが遠いほ ど，完全には中性とは見なせなくなるからである．(14.3)を電気双極子ポ テンシャルとよぶ．
図14.1 双極子による電場
図14.2 電場中に置かれた双極子
電気双極子による電場 電気双極子による電場はポテンシャルの勾配を とれば求められる．
E(r) =−∇Φ(r) = 1 4π0
[3(r·p)r−r2p r5
]
(14.4) これを図示すると，図14.1のようになる．磁石の周りの磁力線と同じ形を していることがわかる．
電場中の双極子のエネルギー 一様な電場E中の電気双極子のエネル ギーを考えよう．2個の点電荷が電場中にあるとする．2つの距離はdで一 定とする．双極子ベクトルは負の電荷から正の電荷に向かう．双極子ベクト ルが電場と平行とする．この状態から双極子ベクトルがθだけ傾くと，正 の電荷は電場と逆の方向にd(1−cosθ)/2だけ動き，負の電荷は電場の方 向にd(1−cosθ)/2だけ動く（図14.2）．このとき，電荷がされた仕事は，
2× d
2(1−cosθ)×qE=qd(1−cosθ)E (14.5) である．双極子には，傾きが戻るときこれだけの仕事を行う能力があるの で，ポテンシャルエネルギーはqd(1−cosθ)Eだとわかる．ポテンシャル エネルギーの原点は適当にとれるので，ここでは，qdEを原点として，
U =−qdEcosθ=−p·E (14.6) をポテンシャルエネルギーと定義する．
+磁石を磁場中に置くと磁 場の方向を磁石が向くのと同 じである．
双極子に電場をかけると，ポテンシャルエネルギーを下げようとして，電 場の向きに双極子はそろいたがる．