第 4 章 重力下の複雑な運動 43
4.3 終端速度
4.3 終端速度 49
質量mの物体がhだけ落下したと想定すると，3.3節でのべたように，
v=√
2gh (4.23)
の速度となる．いま，高度1万メートルの高さの積乱雲から，ひょう（あ られ）が地上に落下したとすると
v=√
2gh≒440 [m/s]≒1600km/h (4.24) となり音速を超え，マッハ1.3という速さとなってしまう．これは新幹線の +マッハとは音速を基準に
測った速度である．音速は約 340 m/s =約1200 km/h．
5倍以上，ジェット旅客機の2倍ということになる．こんなひょうにあたっ たらたいへんである．農作物，山や森の植物は全滅，民家の屋根や窓も莫 大な被害を受け，多くの死傷者がでてしまう．
もちろんこんな高速のひょうは降らない．それは大気の空気抵抗が有効 に働き，速度を減速するからである．重力の影響で落下速度が大きくなる とCvが増え，やがてこれが重力と等しくなる．
mg=Cv (4.25)
こうなると物体には力が働かず，等速運動となる．そのときの速さはmg/C である．これを終端速度とよび，v∞と表す．
v∞= mg
C (4.26)
∞の意味は，時間が無限大になった場合の速さを意味する．
+ひょうの場合には先に述 べた慣性抵抗を考慮しなけれ ばいけない．例題参照．
速度-時間グラフ これまでにわかったように，空気抵抗がある場合の速 度の変化はなかなか複雑である．tが小さいとtと速度vの関係はv=gtで あるが，tが大きいときはv=v∞である（図4.5）．したがって，一般的な v−t曲線はこれらの極限を図4.5のようになめらかに結んだものである．
図4.5 空気抵抗がある場合のv-t曲線
そこでこの曲線を表現する式を推測してみる．こころみに
v=v∞−Ae−Bt (4.27)
4.3 終端速度 51 を考える．tが大きいと，これは確かにv=v∞ となる．
tが小さいとき，e−Bt≒1−Btとなることを使うと
v≒v∞−A(1−Bt) =v∞−A+ABt (4.28) となる．これがgtに等しくなるためには
A=v∞, B=g/v∞ (4.29) となっていればよい．v∞=mg/Cを代入するとB=C/mとなるので，
v=v∞(1−e−(C/m)t) (4.30)
をうる．
このvの表式が式(4.21)を満たしていることを代入して確かめてみよう．
dv
dt = 0−v∞ d
dte−(C/m)t (4.31)
=−v∞ (
−C m
)
e−(C/m)t (4.32)
よって式(4.21)の左辺は mv∞
(C m
)
e−(C/m)t=mge−(C/m)t ここで終端速度の表式，v∞=mg/C (式(4.26))を用いた．
一方，式(4.21)の右辺は
mg−Cv=mg−Cv∞(1−e−(C/m)t) =mg−Cv∞+Cv∞e−(C/m)t= 0+mge−(C/m)t である．よって式(4.30)は解となっている．初期条件を決めれば解は1つ
しかない．よって式(4.30)が唯一の解である．物理ではこのように物理的 な直感から解の形を仮定して，実際に運動方程式を満たしていることを示 すことが，強力な方法となる．
例題4.1 空気抵抗がある場合のボールの運動
初速度v0で上方に投げられた質量mのボールが最高点に達して，落 下し始めた．
1. 終端速度はどうなるか．
2. 空気抵抗があるときとないときで，最高点の高さに達する時間 はどう違うか．
ただし空気抵抗は速度vのボールに対してFv =−Cvとする．
終端速度v∞はmg+Fv=mg−Cv= 0となる速度なので，v∞=mg/Cのま まである．
この場合の速度を式(4.30)を参考に
v(t) =A−Be−mCt (4.33) と仮定してみる．この表式が運動方程式，
mdv
dt =mg−Cv
を満たすには，BCe−Cmt=mg−C(A−Be−mCt)，つまりA=mg/Cである必 要がある．
v(t) = mg
C −Be−Cmt=v∞−Be−mCt (4.34) またt= 0でv(t) =−v0（鉛直下向きを正としていることに注意）より，−v0 = mg/C−B，つまりB =mg/C+v0 =v∞+v0となっていなければならない．
よって
v(t) =v∞−(v∞+v0)e−mCt= (v∞+v0)(1−e−mCt)−v0 (4.35) を得る．最高点ではv= 0となっているので
0 = v∞−(v∞+v0)e−mCt
∴e−mCt = v∞ v∞+v0
(4.36) よって最高点に達する時間は
−C
mt = log v∞ v∞+v0
∴t = m
C log v∞+v0
v∞
(4.37)
さて，v∞v0の場合，log v∞+v0
v∞ = log(1 +v0/v∞)≒v0/v∞− 1
2(v0/v∞)2 である．これを代入して
+|x| 1の場合，
log(1 +x)≒x−x2/2 t≒m C
v0
v∞
„ 1− v0
2v∞
«
= v0
g
„ 1− v0
2v∞
«
(4.38) 空気抵抗がない場合はt=v0/gであるから，空気抵抗があるときは最高点に早め に達する．