行列要素 M の計算

行列要素Mを計算する。コンプトン散乱の全散乱振幅Mは、

M=M1+M2 =e²u¯_s(p^′) [

ϵ/^′∗ (p/+k/+m)

(p+k)²−m²ϵ/+ϵ/ (p/−k/^′+m) (p−k^′)²−m²ϵ/^′∗

]

u_r(p) (3.55) ここで、ϵ/=ϵµγ^µ, k/=kµγ^µである。

散乱前の電子の４元運動量をp= (m;0)、散乱前、散乱後のフォトンの偏極ベクトルを 実粒子であるから横成分のみ考え、さらに成分を実数にとって、それぞれϵ = (0;ϵ), ϵ^′ = (0;ϵ^′)とする。

このとき、以下の式が成立する：

ϵ·p= (0;ϵ)·(m;0) = 0 (3.56)

ϵ^′·p= (0;ϵ^′)·(m;0) = 0 (3.57)

ϵ·k= (0;ϵ)·(ω;k) = ϵ·k = 0 (3.58)

ϵ^′·k^′ = (0;ϵ^′)·(ω^′;k^′) = ϵ^′·k^′ = 0 (3.59) ϵ·(p^′ +k^′) = ϵ·(p+k) =ϵ·p+ϵ·k= 0よりϵ·=−ϵ·k^′ (3.60) ϵ^′·(p^′−k) = ϵ^′·(p−k^′) =ϵ^′·p−ϵ^′·k^′ = 0 (3.61) ϵ·ϵ=ϵ^′ ·ϵ^′ =−1 (∵横成分偏極ベクトル(λ = 1,2)に式(3.24)を適用) . (3.62) このことから、

ϵ/p/=ϵ_µγ^µp_νγ^ν =ϵ_µp_ν(2g^µν−γ^νγ^µ) = ϵ·p−p/ϵ/=−p/ϵ/ (3.63) ϵ^′

/ p/=ϵ^′_µγ^µp_νγ^ν =ϵ^′_µp_ν(2g^µν−γ^νγ^µ) = ϵ^′·p−p/ϵ/^′ =−p/ϵ/^′ (3.64) ϵ/k/ =ϵ_µγ^µk_νγ^ν =ϵ_µk_ν(2g^µν−γ^νγ^µ) =ϵ·k−k/ ϵ/=−k/ ϵ/ (3.65) ϵ^′

/ k/^′ =ϵ^′_µγ^µk_ν^′γ^ν =ϵ^′_µk^′_ν(2g^µν −γ^νγ^µ) =ϵ^′ ·k^′ −k/ ϵ^′/^′ =−k/ ϵ^′/^′ (3.66) が得られる。

p+k =p^′ +k^′より、

(p+k)² = (p^′+k^′)²

m² + 2p·k+k² =m²+ 2p^′·k^′+k^′2

p·k =p^′ ·k^′ (∵式(3.22)) (3.67) であり、p−k^′ =p^′−kより、

(p+k^′)² = (p^′−k)²

m²−2p·k^′+k^′2 =m²−2p^′·k+k²

p·k^′ =p^′ ·k (∵式(3.22)) (3.68) である。

式(3.22)より、

(p+k)²−m² =p²+ 2p·k+k²−m² = 2p·k (3.69) (p−k^′)²−m² =p² −2p·k^′+k^′2−m² =−2p·k^′ (3.70) であり、式(3.63)、(3.64)より、

(p/+m)ϵ/u(p) = (−ϵ/p/+mϵ/)u(p) =−ϵ/(p/−m)u(p) = 0 (3.71) (p/+m)ϵ/ u(p) = (^′ −ϵ/ p^′/+mϵ/^′)u(p) = −ϵ/^′(p/−m)u(p) = 0 (3.72)

が成り立つから、全散乱振幅Mは、

M=e²u¯_r(p^′) [ ϵ/^′k/ ϵ/

2p·k + ϵ/k/^′ϵ/^′ 2k^′·p

]

u_s(p) (3.73)

となる。式(3.42)を用いて断面積を計算するから、スピンについて平均をとった全散乱 振幅の2乗を計算する：

|M|² = e⁴ 2

∑

r,s

¯ u_r(p^′)

[ ϵ/^′k/ ϵ/

2p·k + ϵ/k/^′ϵ/^′ 2k^′ ·p

] u_s(p)

{

¯ u_r(p^′)

[ ϵ/^′k/ ϵ/

2p·k + ϵ/k/^′ϵ/^′ 2k^′·p

] u_s(p)

}_∗

(3.74) ここで、

{u¯_r(p^′)γ^µγ^νγ^ρu_s(p)}^∗

=u_s(p)^∗γ^ρ†γ^ν†γ^µ†u¯_r(p^′)^∗

=us(p)^∗γ⁰γ⁰γ^ρ†γ⁰γ⁰γ^ν†γ⁰γ⁰γ^µ†γ⁰ur(p^′) (∵(γ⁰)² = 1を挟んだ)

= ¯u_s(p)(γ⁰γ^ρ†γ⁰)(γ⁰γ^ν†γ⁰)(γ⁰γ^µ†γ⁰)u_r(p^′)

= ¯u_s(p)γ^ργ^νγ^µu_r(p^′) (∵式(3.20)) より、式(3.74)は、

|M|² = e⁴ 2

∑

r,s

¯ u_r(p^′)

[ ϵ/^′k/ ϵ/

2p·k + ϵ/k/^′ϵ/^′ 2k^′ ·p

]

u_s(p)¯u_s(p) [ ϵ/k/ ϵ/^′

2p·k + ϵ/ k^′/^′ϵ/

2k^′·p ]

u_r(p^′)

= e⁴ 2Tr

[

(p/^′+m)

{ ϵ/^′k/ ϵ/

2p·k + ϵ/k/^′ϵ/^′ 2k^′·p

}

(p/+m)

{ ϵ/k/ ϵ/^′

2p·k + ϵ/ k^′/^′ϵ/

2k^′·p }]

(∵(3.13式)) (3.75) となり、このトレースを計算すれば良い。

まず、kの２乗の項のトレースを計算する：

Tr[(p/^′+m)ϵ/ k^′/ ϵ/(p/+m)ϵ/k/ϵ/^′]

= Tr[p/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/p/ϵ/k/ϵ/^′] +m²Tr[ϵ/ k^′/ ϵ/ϵ/k/ϵ/^′]

(∵mに比例する項は奇数個のγ行列のトレースであるから、式(3.19)より0)

= Tr[p/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/k/ ϵ/ϵ/^′] +m²Tr[ϵ/ ϵ/k^′ /k/ ϵ/ϵ/^′] (∵式(3.65)) (3.76) m²に比例する第二項は、k/k/がトレースに含まれているから0になる。実際、任意の行列 をA, Bとして、

Tr[Ak/k/B] = Tr[Ak_µγ^µk_νγ^νB]

= Tr[Ak_µk_ν(2g^µν −γ^νγ^µ)B] (∵式(3.15))

= 2kµk^µTr[AB]−Tr[Ak/k/B]

=−Tr[Ak/k/B] (∵式(3.22)、k_µk^µ= 0)

より、

Tr[Ak/k/B] = 0 (3.77)

である。式(3.76)の第１項については、

k

/p/= 2k·p−p/k/ (3.78)

より、

Tr[p/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/k/ ϵ/ϵ/^′] = 2k·pTr[p/ ϵ^′/ ϵ/k^′ / ϵ/ϵ/^′] + Tr[p/ ϵ^′/ ϵ/p^′ /k/k/ ϵ/ϵ/^′]

= 2k·pTr[p/ ϵ^′/ ϵ/k^′ / ϵ/ϵ/^′] (∵式(3.77))

= 2k·pTr[p/ ϵ^′/ ϵ/(^′ −ϵ/k/)ϵ/^′] (∵式(3.65))

= 2k·pTr[p/ ϵ^′/ k^′/ϵ/^′] (∵式(3.24)よりϵ/ϵ/= 2ϵ·ϵ−ϵ/ϵ/=−2−ϵ/ϵ/だからϵ/ϵ/=−1)

= 2(k·p)p^′_ρϵ^′_σkαϵ^′_β4(g^ρσg^αβ +g^ρβg^σα−g^ραg^σβ) (∵式(3.18))

= 2(k·p)4{(p^′·ϵ^′)(k·ϵ^′) + (p^′·ϵ^′)(ϵ^′·k)−(p^′·k)(ϵ^′·ϵ^′)}

= 8(k·p){2(p^′·ϵ^′)(k·ϵ^′) + (p^′·k)} (∵式(3.62))

= 8(k·p){2(k·ϵ^′)²+ (p·k^′)} (∵式(3.60)).

である。よって、まとめると、

Tr[(p/^′+m)ϵ/ k^′/ ϵ/(p/+m)ϵ/k/ϵ/^′] = 8(k·p){2(k·ϵ^′)²+ (p^′ ·k)}. (3.79) 次に式(3.75)のk^′2の項について考えると、この項は第１項のkをk^′に置き換えたも のに等しい。実際、

Tr[ϵ/k/ ϵ^′/^′(p/+m)ϵ/ k^′/ ϵ/(p^′ /^′+m)] = Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ p^′/ϵ/ k^′/ ϵ/p^′ /^′] +m²Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/]^′

= Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ p^′/ϵ/ k^′/ ϵ/p^′ /^′]−m²Tr[ϵ/k/ k^′/ ϵ/]^′

= Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ p^′/ϵ/ k^′/ ϵ/p^′ /^′]

= 2(ϵ^′·p^′)Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/p^′ /^′]−Tr[ϵ/k/ p^′/ϵ/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/p^′ /^′] であり、第1項は、

2(ϵ^′ ·p^′)Tr[ϵ/k/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/p^′ /^′] = 2(ϵ^′·p^′)Tr[ϵ/(−ϵ/ k^′/^′)k/ ϵ/p^′ /^′] = 0 。

第2項は、

Tr[ϵ/k/ p^′/ϵ/ ϵ^′/ k^′/ ϵ/p^′ /^′] =−Tr[ϵ/k/ p^′/k/ ϵ/p^′ /^′]

=−2(k^′ ·p)Tr[ϵ/k/ ϵ/p^′ /^′] + Tr[ϵ/p/k/ k^′/ ϵ/p^′ /^′]

=−2(k^′ ·p)Tr[ϵ/k/ ϵ/p^′ /^′]

=−2(k^′ ·p)4{(ϵ·k^′)(ϵ·p^′) + (ϵ·p^′)(ϵ·k^′)−(ϵ·ϵ)(k^′·p^′)}

=−2(k^′ ·p)4{2(ϵ·p^′)(ϵ·k^′) + (k^′·p^′)}

=−2(k^′ ·p)4{−2(ϵ·k^′)²+ (k^′·p^′)}

=−8(k^′ ·p){−2(ϵ·k^′)²+ (k·p)} (∵式(3.67)) 。 よって、

Tr[ϵ/k/ ϵ^′/^′(p/+m)ϵ/ k^′/ ϵ/(p^′ /^′+m)] = 8(k^′·p){−2(ϵ·k^′)²+ (k·p)} (3.80) である。

最後に、k^′·kに比例する項を計算する。

Tr [(p/^′+m){ϵ/^′k/ ϵ/}(p/+m){ϵ/ k^′/^′ϵ/}]

= Tr [p/ ϵ/^{′ ′}k/ ϵ/p/ϵ/ k^′/^′ϵ/] +m²Tr [ϵ/^′k/ ϵ/ϵ/ k^′/^′ϵ/] (∵γ行列を奇数個含むトレースの項は0)

= Tr [p/ ϵ/^{′ ′}ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.65)、(3.66))

= (Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]) + Tr [k^′ / ϵ/^′ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ −Tr [k/ ϵ/^{′ ′}ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵p^′ =p+k−k^′) (3.81)

まず、この式(3.81)の第１項を計算する。γ行列の交換関係より、

p /p/= 1

2{p/, p/}= 1

2p_µp_ν2g^µν =p·p=m² (3.82) であるから、

Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]^′

= 2(k·p)Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ −Tr [p/ϵ/^′ϵ/p/k/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.78))

= 2(k·p)Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ −Tr [ϵ/^′p/p/ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.63)、(3.64))

= 2(k·p)Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ −m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.82))

= 2(k·p)Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/^′ϵ/ ϵ/]^′  

= 2(k·p)2(ϵ^′·ϵ)Tr [p/k/^′ϵ/ ϵ/] + 2(k^′ ·p)Tr [p/ϵ/ϵ/ k^′/^′ϵ/ ϵ/]^′ (3.83) とわかる。

この式(3.83)の第1項は、

4(k·p)(ϵ^′·ϵ)Tr [p/k/^′ϵ/ ϵ/] = 4(k^′ ·p)(ϵ^′·ϵ)4{(p·k^′)(ϵ^′·ϵ) + (p·ϵ)(k^′·ϵ^′)−(k^′·ϵ)(p·ϵ^′)}

= 16(k·p)(p·k^′)(ϵ^′·ϵ)² (∵式(3.56)、式(3.57)) 。 第2項は、

2(k·p)Tr [p/ϵ/ϵ/ k^′/^′ϵ/ ϵ/] = 2(k^′ ·p)Tr [ϵ/p/ϵ/ k^′/^′ϵ/ ϵ/]^′

= 2(k·p)Tr [ϵ/ϵ/p/ϵ/ k^′/^′ϵ/^′] (∵式(3.15))

=−2(k·p)Tr [p/ϵ/ k^′/^′ϵ/^′] (∵ ϵ/)ϵ/=−1)

=−2(k·p)4((p·ϵ^′)(k^′·ϵ^′) + (p·ϵ^′)(ϵ^′ ·k^′)−(p·k^′)(ϵ^′ ·ϵ^′))

=−8(k·p)(k^′·p) (∵式(3.56)、式(3.57)) 。 である。よって、式(3.83)は、

Tr [p/ϵ/^′ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/] +^′ m²Tr [ϵ/^′ϵ/k/k/^′ϵ/ ϵ/] = 16(k^′ ·p)(p·k^′)(ϵ^′ ·ϵ)²−8(k·p)(k^′·p)

= 8(k·p)(p·k^′){2(ϵ^′ ·ϵ)²−1} (3.84) となる。

式(3.81)の第２項は、

Tr [k/ ϵ/^′ϵ/k/p/k/^′ϵ/ ϵ/] =^′ −Tr [k/ ϵ/^′k/ ϵ/p/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.65))

=−2(k·ϵ^′)Tr [k/ ϵ/p/k/^′ϵ/ ϵ/] + Tr [^′ ϵ/^′k/k/ ϵ/p/k/^′ϵ/ ϵ/]^′

=−2(k·ϵ^′)Tr [k/ ϵ/p/k/^′ϵ/ ϵ/]^′ (∵式(3.15)

=−2(k·ϵ^′)Tr [ϵ/k/ ϵ/p/k/^′ϵ/^′] (∵式(3.65))

= 2(k·ϵ^′)Tr [k/ ϵ/ϵ/p/k/^′ϵ/^′] (∵ϵ/)ϵ/=−1)

=−2(k·ϵ^′)Tr [k/p/k/^′ϵ/^′]

=−2(k·ϵ^′)4((k·p)(k^′ ·ϵ^′) + (k·ϵ^′)(p·k^′)−(k·k^′)(p·ϵ^′))

=−8(k·ϵ^′)²(p·k^′) (∵式(3.57)、(3.59))

式(3.81)の第３項は、

−Tr [k/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/k/ ϵ^′/ ϵ/] = Tr [k^′ / ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/ k^′/ ϵ/]^′ (∵式(3.66))

= 2(k^′·ϵ)Tr [k/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/^′]−Tr [k/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/ ϵ/k^′ /^′]

= 2(k^′·ϵ)Tr [k/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/^′] (∵Tr [k/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/ ϵ/k^′ /^′] = Tr [k/ k^′/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/ϵ/ ϵ/] = 0)^′

= 2(k^′·ϵ)Tr [ϵ/ k^′/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/]

= 4(k^′·ϵ)(k^′·ϵ^′)Tr [ϵ/ ϵ/k^′ /p/]−2(k^′·ϵ)Tr [k/ ϵ^′/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/]

=−2(k^′·ϵ)Tr [k/ ϵ^′/ ϵ^′/ ϵ/k^′ /p/] (∵式(3.59))

= 2(k^′·ϵ)Tr [k/ ϵ/k^′ /p/]

= 2(k^′·ϵ)4((k^′·p)(ϵ·k) + (k^′·ϵ)(k·p)−(k^′·k)(ϵ·p))

= 8(k^′·ϵ)²(k·p)

である。ゆえに、まとめると、式(3.81)は、

Tr [(p/^′+m){ϵ/^′k/ ϵ/}(p/+m){ϵ/ k^′/^′ϵ/}] = 8(k·p)(p·k^′)(2(ϵ^′·ϵ)²−1)−8(k·ϵ^′)²(p·k^′) + 8(k^′·ϵ)²(k·p) (3.85)

行列要素Mの計算は、以上をまとめると、

|M|² = e⁴

8(p·k)²8(k·p){2(k·ϵ^′)²+ (p^′·k)}+ e⁴

8(p·k^′)²8(k^′ ·p){−2(ϵ·k^′)² + (k·p)}

+ e⁴

4(p·k)(p·k^′)(8(k·p)(p·k^′)(2(ϵ^′·ϵ)²−1)−8(k·ϵ^′)²(p·k^′) + 8(k^′·ϵ)²(k·p))

=e⁴

[2(k·ϵ^′)²+ (p^′·k)

p·k +−2(ϵ·k^′)²+ (k·p)

k^′ ·p + 2{2(ϵ^′·ϵ)²−1)− (k·ϵ^′)²

p·k + (k^′ ·ϵ)² p·k^′ }

]

=e⁴ [p·k^′

p·k + k·p

k^′ ·p+ 4(ϵ^′ ·ϵ)²−2 ]

となる。さらに、

p·k = (m;0)·(ω;k) =mω, (3.86) p·k^′ = (m;0)·(ω^′;k^′) = mω^′ (3.87) より、

|M|² = =e⁴ [mω^′

mω + mω

mω^′ + 4(ϵ^′·ϵ)²−2 ]

=e⁴ [ω^′

ω + ω

ω^′ + 4(ϵ^′·ϵ)²−2 ]

図 3.5: 光子の波数ベクトルk, k^′と偏極ベクトルϵ_λの関係。偏極ベクトルϵ₁、ϵ₂、波数 ベクトルkをもつ入射光子が散乱角θでコンプトン散乱されて、偏極ベクトルϵ^′₁、ϵ^′₂、波 数ベクトルk^′となる。その影響でϵ₂とϵ^′₂は変わらないが、ϵ₁は角度θだけ方向の違うϵ^′₁ になる。

とわかる。断面積は式(3.42)で与えられているから、

dσ dΩ

LAB

= 1

64π²m²_ee⁴ (k^′

k )2[

ω^′ ω + ω

ω^′ + 4(ϵ^′·ϵ)²−2 ]

(3.88)

= e⁴ 64π²m²_e

(ω^′ ω

)2[ ω^′

ω + ω

ω^′ + 4(ϵ^′·ϵ)²−2 ]

. (3.89)

光子の偏極方向について平均をとると、

dσ dΩ

LAB

= 1 2

∑

λ,λ^′

1 64π²m²_ee⁴

(ω^′ ω

)2[ ω^′

ω + ω

ω^′ + 4(ϵ_λ·ϵ^′_λ′)²−2 ]

(3.90)

= 1

64π²m²_ee⁴ (ω^′

ω )2

2 [

ω^′ ω + ω

ω^′ +∑

λ,λ^′

(ϵ_λ·ϵ^′_λ′)²−2 ]

. (3.91) 入射する光子と散乱される光子での偏極ベクトルは図3.5となる。偏極ベクトルϵ₁、ϵ₂、 波数ベクトルkをもつ入射光子が散乱角θでコンプトン散乱されて、偏極ベクトルϵ^′₁、 ϵ^′₂、波数ベクトルk^′となる。その影響でϵ₂とϵ^′₂は変わらないが、ϵ₁は角度θだけ方向の 違うϵ^′₁になる。そのため、

ϵ2·ϵ^′₂ = 1

ϵ₁·ϵ^′₁ =|ϵ₁||ϵ^′₁|cosθ= cosθ であるから、

dσ dΩ

LAB

= 1

32π²m²_ee⁴ (ω^′

ω )2[

ω^′ ω + ω

ω^′ + (1 + cos²θ)−2 ]

. (3.92)

ここで、式(3.92)を自然単位系からSI単位系に変換し、一般に用いられる式に直す。微

分散乱断面積は距離の2乗の単位であるから、 ¹

m²_e の項について、

1

m²_e → ℏ²c² [MeV²·cm²]

m²_ec⁴ [MeV²] = ℏ²

m²_ec² (3.93)

e⁴ → e⁴[C⁴]

ϵ²₀[C⁴/(MeV²·cm²)]ℏ²c²[MeV²·cm²] (3.94) とすれば、SI単位系に直る。式(3.92)の ^e4

32π²m²_e において、

1 32π²

1

m²_ee⁴ → 1 32π²

( ℏ² m²_ec²

) ( e⁴ ϵ²₀ℏ²c²

)

= e⁴

32π²ϵ²₀m²_ec⁴ である。さらに、古典的電子半径r_e= _4πϵ^e2

0mec² を用いれば容易に表せて、

e⁴

32π²ϵ²₀m²_ec⁴ = r_e² 2 となる。^ω′

ω は、コンプトン散乱で散乱された光子のエネルギーhν^′が式(3.6)で与えられ ているから、

ω^′

ω = hν^′ hν

= 1

hν

mec²(1−cosθ) + 1.

= 1

α(1−cosθ) + 1 となる。ここで、

α= hν

m_ec² (3.95)

である。ゆえに、式(3.92)の最後の項は、

ω^′ ω + ω

ω^′ + (1 + cos²θ)−2 = 1

1 +α(1−cosθ) + (1 +α(1−cosθ)) + (1 + cos²θ)−2

= (1 + cos²θ) + 1−1−α(1−cosθ) +α(1−cosθ) +α²(1−cosθ)² 1 +α(1−cosθ)

= 1 + cos²θ+ α²(1−cos²θ) 1 +α(1−cosθ). したがって、式(3.92)はSI単位系で、

dσ dΩ

LAB

= r²_e 2

[ 1

1 +α(1−cosθ) ]2[

1 + cos²θ+ α²(1−cos²θ) 1 +α(1−cosθ)

]

. (3.96)

である。

最後に入射光子のエネルギーが662 keVのときのコンプトン散乱の微分断面積を図3.6 に示す。その特徴は次のようにまとめることができる。前方散乱(θ <90^◦)での微分断面 積は後方散乱(θ <90^◦)での微分断面積に比べて最大で8倍程度大きいことがわかる。前 方散乱では微分断面積が大きく変化しているのに対して、後方散乱では微分断面積はほ とんど一定である。前方散乱ではθが小さいほど微分断面積は大きくなり、θ = 0^◦で最 大、θ = 90^◦で最小である。一方、後方散乱ではθが大きいほど僅かだが微分断面積は大 きく、θ = 180^◦で最大である。

図3.6: 入射光子のエネルギーが662 keVのときのコンプトン散乱の微分断面積。前方散 乱(θ <90^◦)での微分断面積は後方散乱(θ <90^◦)での微分断面積に比べて大きいことが わかる。前方散乱では微分断面積が大きく変化しているのに対して、後方散乱では微分 断面積の変化量は少ない。前方散乱ではθが小さいほど微分断面積は大きくなる。一方、

後方散乱ではθが大きいほど僅かだが微分断面積は大きくなる。

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