で，さらに，
kge，3）．g，xel％）2．Ss，i？Zl）2．． i
である．ゆえに，φ＠，y， z）＝（ax， by， cz）∈Mである．
微分同相写像の概念はR3のすべての正則曲面の集合上の同値関係を与
えている．
4．2 接平面
関数の導関数は点での関数の線形近似である．R3の2次元線形部分空 間は点における正則曲面の近似であるという意味で，線形近似の幾何的 実現は接平面である．
正則曲面Sの座標片をx：（σ⊂R2）→Sとし， p∈x（U）， p＝
X（zeo，VO），とする．但し，（ILo，VO）∈σである．（ZL，、VO）∈σとなるZLo−C＜
U〈ILo＋Cと，（UO，V）∈σとなるILo 一η＜V＜VO＋ηに写像Xを制限す る．これらの制限は2つの曲線
uex（u，Vo）， vト〉 x（ZLo，v）
第4章 曲面と第一基本形式
を決定する，これらはpを通るS上の座標曲線と呼ばれる．
Ox
O
ccu ＝ 5t （x（2L7 vo）） 1（uo，vo）＝ 5E／iT（zLo，vo），
Ox （a
x． ＝ 5tt（x（zLo，v）） 1（uo，vo）＝ Zsi／i（zeo，vo）
56
を定義すると，x。とxvはR3におけるpでのSの接ベクトルである（図
4．1）．
び
N
／／1；一一；
Xv
s
Cu
図4．1
命題4．2．1写像x：（U『⊂R2）→Sが正則性条件を満たすための必要十 分条件はXu×xv≠0である．
証明
一（OXI OXI6u evOX2 OX26u OvOX3 OX30u Ov）調
である．rank 」（x）＝2であるための必要十分条件はxu×xv≠Oである ことより，命題が従う．
D
R3の正則曲面上の各座標片に対して，法方向Xu×xvが定義される。 p での曲面の単位法ベクトルをXu × Xv
N（p） 一
ll賜×賜ll で定義する．
第4章 曲面と第一基本形式 57 命題4．2．2pを正則曲面Sの点とし， x：（U⊂R2）→S， y：（V⊂
R2）→Sをpを含む2つの座標図とするならば， pにおいて
Xu × Xv
玩×砺 ＝±
11xu × xvll
llya × ziiill となる．
証明 W＝x（U）∩y（V）とする．x−1（W）⊂U， y−1（W）⊂Vは微分同相 写像
y−i ox ： x−i（W） 一〉 y i（W）， y i ox（iL，v） ＝ （1（u，v），T（ze，v））
で関係付けられる．座標図xの中の座標曲線はx（ze， Vo），x（ZLo，v）である．
接ベクトルは
∂π ∂万 ∂■ ∂万 Xu＝ツ・1万＋防〜兀， Xv＝y・函＋ツ・〜万 になる．よって，
・一箇年爾
＼ し3ノ ＼〃3ノ
とすると，i＝1，2，3に対し， Xi（IL， V）＝蝋π（u， v），τ（u，v））となる．これ より，
OT OI
（勾・＝（砺万＋（〃∂・砺
で，
鵡i！一（liii）震＋（ilil慧＋鵡
である．他も同様である．したがって，Xu×Xvを計算すると，
・・ ×・・v一（ツ・鶉＋欄・（〃器・霧）
一儲一献一
＝＝ detJ（y−i o x）yit × yiT
第4章 曲面と第一基本形式 58 となる．このことから，
Xu × Xv detJ（y−10x） 影π×㌢万
11：r． × cc． I l 1 detbT（y−i o x） 1 11yit × ziii−11
防×駒 ＝±
11z／it × yof l 1
となる．
D
定義4．2．3正則曲面Sが向き付け可能とは，Sをおおう座標図の集合
｛xα：（Uα⊂R2）→sjα∈．4｝，但し，S＝σα∈A妬（σα）で，p∈Sが p∈Xfi（σβ）∩Xr（Ur）ならばpでのヤコビアン」（cF1。靭）pの行列式が正 になるものが存在するときにいう． □ 定義4．2．4p∈S， pを含む任意の座標図をx：（σ⊂R2）→Sとする．
N（p）＝li舞踊llに垂直なベクトル全体からなるR3の部分ベクトル空間 をpでのSの接平面と呼び，Tp（S）で表示する． □ 命題4．2．5v∈R3がTp（S）の要素であるための必要十分条件は，微分可 能な曲線α：（一E，．c）→Sでα（0）＝＝ p，v＝α （0）となるものがあることで
ある．
証明α（0）＝pとなる曲線α：←c，E）→Sがあったとする． c＞0を十分 小さくとることにより，αの像をpを含む細片x：（σ⊂R2）→Sの中にあ
るようにとれる．X−1。α：（一C，の→σを考える．＠一1・α）（t）＝（U（t），V（ ））
とかけ，α（t）＝x（ZL（t），v（t））である．鎖の法則より，
at（t）一義審＋霧審一鞠窪＋豊
となる．すなわち，α （ ）はxuとxvの1次結合である．したがって，α （0）
はTp（S）の要素である．
逆に，p＝X（ILo， VO）とする． V∈Tp（S）ならばV＝αX。（zeo，VO）＋
bXv（U。，VO）と表せる．β（t）＝X（ZLo＋αt， VO＋bt），一E＜t＜Eを考え る。cを十分小さくとることにより，（ILo＋αt，v。＋bt）∈σとしてよい．
βノ（t）＝賜窪＋回忌＝αXu＋bXvである．よって，β （0）＝αXu（ILo，Vo）＋
bxv（ZLo，VO）ニVとなる．したがって， Tp（S）の任意のベクトルはS上の曲
線の接ベクトルとして実現される． □
第4章 曲面と第一基本形式 5g S上の滑らかな関数の集合0。。（S）＝｛！：S→Rl！は微分可能｝を定 義する．00Q（S）の局所版として， p∈Sに対し，
00。（p）＝｛！：（V⊂S）→RlVはSの開部分集合， p∈y；！は微分可能｝
を考える．0。。（S），0。○（p）は，それぞれ！，g∈0。。（S），！，g∈0。o（p）と
q∈Sに対し，
（fg）（q） 一 f（q）g（q）
によって積が与えられたベクトル空間である．また，00。（S），oo。（p）は可 換環の構造が入ることも知られているが，ここでは深く言及しない．
Tp（S）を次のように定義することもできる；
ライプニッツの条件：v（fg）＝！（p）v（g）＋g（p）v（f）
を満たす任意の線形写像v：σo。（p）→Rの集合をTp（S）とする．
α：←c，．c）→S，α（0）＝pとする．α （0）：C。。（p）→Rを
d
cif （o）（f） ＝ iiitT （f o a（t）） lt−o
で定義する．α （0）は線形写像であることが，以下のように確かめられる：
d
of（O）（f ＋ 9） ＝＝ iiitT（（f ＋ g） o a（t）） lt−o
d．A ．．．， d
一読（ノ・α（t））1・一・＋nt（90α（t））il一・
d
一 a （O） （f） ＋ of （O） （g） of （O） （Af） 一 it （Af o cy （t）） lt＝o
d
＝＝ AEIt （f o cu（t）） lt＝o
一 Acv （O）（f）
また，α （0）はライプニッツの条件を満たす：
of（o）（fg） ＝ 8t （（fg） o or（t）） lt＝o ＝ ￡t （（f o a（t））（g o （M（t））） lt−o
＝ （Sltf o a（t）） 1，，．，（g o a（o）） ＋ （f o cv（o）） （2ilt （g o a（t）） 1，＝，
一 a （0）（f）g（p） ＋ f（p）of（O）（g）・
第4章 曲面と第一基本形式 60 −F：Si→S2はなめらかな写像でp∈S1とする． V∈Tp（Si）はα：
←E，c）→Siのα （0）に対応しているとする．一Fの合成は別の曲線F・α：
（一E，の→S2を決定する．ここで， d瑞：Tp（S1）→TF（p）（S2）を
d
dF，（cu （O）） ＝＝ iitf（F o or） lt−o
と定義できる（図4．2）．
F（dv（t））
or
α i誘 賜（α （t））
図42
命題4．2．6写像dFp：Tp（Sl）→TF（p）（S2）は線形写像である．
証明pとF（p）がそれぞれSi，S2上の座標図x，hiの像の中にあるとする．
合成写像
（u c R2） ！1＞ s， 一｛1＞ s， ．1 ll±＞i （v c R2）
を考え，F O X（ze， V）＝hi（Fl（U， V），F2（U，V））とおく．α：←C，．C）→Siが α（t）＝x（IL（t），v（t））で与えられると
．F o or（t） ＝ hi（Fi（ze（t），v（t））， F2（ze（t），v（t）））
である，v＝α （0）∈T（Si）とする．｛Xu，、Xv｝に関して，
dze dv
v＝賜薔＋賜斎
第4章 曲面と第一基本形式 61 と表すことができる．
dFp（v）一読（F・α）1・・＝・一（奮＋誓留，雑＋懲）t．。
一（OFI aFlau 6vOF2 OF2au av）（凱
と計算できる．このことから，4瑞が線形写像の和とスカラー倍に関する 条件を満たすことが容易に確かめられる， □
4．3 第一基本形式
定義4．3．1正則曲面S上の点p∈Sに対し，第一基本形式
Ip：Tp（S） × Tp（S） 一〉 R
とは，R3のドット積によって誘導されたTp（S）上の内積のことである．
すなわち，ち（V，W）＝V・Wである．また，ち（V，W）を〈V，W＞pと表すこ ともある． □ p∈x（U）⊂Sに対し，Tp（S）はXu，Xvによって張られる． Tp（S）の接ベ
クトルv＝α （0）とw＝β （0）は曲線α：（一。，E）→Sとβ：（一η，η）→S に付随したものである．α（t）＝x（u（t），v（t）），β（t）＝x（Of（t），T（ ））と書け
ば，ち（v，w）を次のように計算できる：
1， （v， w） ＝ 1， （d （O）， 5 （O））
一・p（ d賜 dv d■ 61万割石＋コじ・薔，賜弄＋」じ・薔）
一ち幅）鷲＋ち幅）（du（海 面伽一：一 一：一 十 TTdt dt dt dt）＋・p（禍）器
ここで，
E（ze， v） ＝＝ lp （xu ， xu）， F（iL， v） ＝ lp （xu， xv）， G（ iL， v） ＝ lp （xu， xv）
とおく．これらの関数はσ⊂R2上で定義され，微分可能である．それ らをS上の距離成分関数という．基底｛Xu，Xv｝に関して，接ベクトルを 縦ベクトルとして表すと，
．一（1／＃i）・w＝（S／／）
第4章 曲面と第一基本形式
である．vtはVの転置すなわちVの横ベクトルとすると，
・p（Vlw）一E膿）＋F鷹＋蜘＋G儲）
一儲）（eg）（霧）
，．． ．t （EFFG）．
と表せる，
62
例4．3．2（1）uu平面｛（u，v，0）∈R3｝は，単一座標図x：R2→R3， x（u， v）＝
（u，v，0）によって与えられる．この座標図に対し， x。＝（1，0，0）， Xv＝
（0，1，0）である．また，距離成分関数は，
E（u， v） ＝ 1 ＝ G（zL， v）， F（？L， v） ＝ O
である．原点と正のu軸を除くと極座標（r，θ）は別の座標図を与える．そ の座標図は
nj・ ／n AAN v tn ）mrN L D3 ntrrri nN 一ttr， nAa n rvia；n n n／
y・k），∪）ノ〈曳U，L Lノーアーし ， y），UノーVL UDU， O■■lVl）ノ
の形式をもつ．そのとき，yr＝（cosθ， sinθ，0）， yθ＝（一γcosθ，r cos e，0）
である．また，距離成分関数は
E（r， e） ＝ 1， F（r， e） ＝ O， G（r， e） ＝ r2
で与えられる，
（2）S2上の標準球面座標はx：（0，2π）×（0，π）→S2，
x（th， e） ＝ （cos th sin e， sin th sin e， cos 0）
で与えられる．この座標図に対して，
xth ＝ （一 sin￠ sin e， cos th sin e， O）， xe ＝ （cos V cos 0， sin th cos 0， 一 sin e）
で，距離成分関数は
E（th， o） 一 sin2 e， F（th， e） ＝ o， G（th， 0） 一 1
である，
第4章 曲面と第一基本形式 63 行列