第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 43 を考える．V1＝T， V2＝N， V3＝Bがあると，セレーフレネ公式は微分 方程式
ヨ ・1Σ・・ゴ・ゴ ゴ＝1 言い換えると
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率
曲線α（s）を定義するために，
α（・）一螺聯
とおく．その曲率をκ（8），ねじれ率を7（8）とする．導関数をとると，
T（・）一小）一二（孟）蜘（・）
44
より，vl（8）＝＝ T （S）＝κ（S）1vr（S）となる．また， vi（S）＝k（S）N（S）である ことより，κ（s）＝＝k（s）である。同様に，垢（s）ニNt（s）＝一κ（s）T（s）＋
T（s）B（s）は，垢（s）＝一K（s）T（5）＋7（s）B（s）であることより，T（8）＝7（s）
である．定理の後半は定理3．4．4と同様に示される． □ 例3．6．8（1）正則単位速度曲線α：（α，b）→R3に対し，αが平面曲線で
あるための必要十分条件は，任意のs∈（α，b）でτ（s）＝0である．
（2）α（s）が正則単位速度曲線で，κ（s）が定数，T（s）＝0であるならば，
α（s）は半径走の円の一部である．
ここで，螺線を一般化する曲線のクラスを導入することにする．
定義3．6．9曲線α（s）が一般螺線であるとは，あるベクトルvでT（8）と vがお互いに一定の角を維持するようなものがあるときにいう．vを螺線 の軸と呼ぶ．vは単位ベクトルととることができる． □
螺線α（8）＝（cos s， sin s， s）に対してv＝（0，0，1）ととる．α（s）の導関 数をとると，
of （s） ＝ （一 sin s， cos s， 1）．
T（・）一お（一・i・s，…s，1）で・T（・）・v一お ＝＝…θとなる・よって θ＝450で，α（s）は一般螺線である．
命題3．6．10α（s）を正則単位速度曲線とする．α（8）が一般螺線であるた めの必要十分条件は，7（s）＝cκ（s）となる定数。があることである．
証明 α（s）を一般螺線であるとし，vがα（8）の軸とするなら， T（s）・v＝
cosθであり， Tt（8）・v＝0である．したがって，κ（s）N（8）・v＝0で，
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 45 v⊥1＞（s）である．Ilvll＝1で， vはT（s）とB（8）で張られる平面上にあ
るので，
v ＝ （T（v） ・ v）T（s） ＋ （N（s） ・ v）N（s） ＋ （B（s） ・ v）B（s）
＝ （cos e）T（s） 十 （sin e）B（s）．
さらに，
d
O ＝＝ ai，T（v） ＝＝ （cose）T （s） ＋ （sin e）B （s）＝ （cos e）K（s）N（s） 一 （sin e）T（s）N（s） ＝ （（cos e）K（s） 一 （sin e）7（s））N（s）．
N（s）≠0より，（cosθ）κ（8）＝（sinθ）7（s）で， T（s）＝（cotθ）κ（8）である．
逆にT（s）＝cκ（s）とすると，ある角θに対して。＝cotθである． V（s）＝
（cosθ）T（8）＋（sinθ）B（s）とする． llV（s）ll＝1である．微分すると，
d
tiiti（V（s）） ＝ （cos e）K（s）N（s） 一 （sin 0）T（s）N（s）
＝ （（cos e）K（s） 一 （sin e）T（s））N（s） ＝ o．
よって，V（S）は定ベクトルVである．さらに， T（S）・V＝COSθでα（S）は 一般螺線となる． □ 命題3．6．11必ずしも単位速度でない正則曲線α：（α，b）→R3に対して，
曲率とねじれ率は
・（ Ha （t） × a （tt） ＝ 11cM （t）113）1㌧（t）一（響1謙編修オ）
で与えられる．
証明 β（s）＝α（t（s））を弧長によってパラメータ付けられてるとする．
ds
ii／ii ＝＝ Vx （t）2 ＋ y （t）2 ＋ z （t）2 ＝＝ 11cM （t）11
で・塞一ll誌川である・さらに・
d2t 1 2x x 十 2ytyn 十 2ztzn dt of （t） ・ dv （t）
ds2 M 2 （cct2＋yt2＋；z，2）； ds llcu （t）II4
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率
となる．また，
dt ds
とき，連鎖律より，
dtx2 ds
（［Xtt（to） ／at（to） ・ orlt（to）
llα （t・川2 11α （t）l14
＝1！1glL！！g2，1！−1，0f！to．），1，1？一，！g．1！！iglLl−g：！，！gg22Zt（eo）lal，！go））2
11cv （to）ll
11cu （to）116
6 （s） 一 cM （t（s））illl， s （s） ＝ or （t（s））（illi）2＋a （t（s））i￡？l1
46
である．80＝8（to）とし，α（to）での曲率とねじれ率を計算したい．その
2
K（to）2 ＝＝ 11s （so）112 ＝＝ llcu （to）（illi）2＋ af （to）illl 1
2
一（9iL 1Eft：X（iz ，t，？（ i o ）at（t）
（cu （to） ・ af （to））2 ll cxt （to）112
十
11cu （to）118
ilα ￠o）l1211α （to）112−2（α （to）・α （to））2十（αノ（to）・α ￠o））2
llα （t。）116
11α （t。）l1211cv （t。）H2一（α （t。）・α （t。））2
11α （t。）116 11α （t。）×α （t。川2
ワ ノ げ へ ぷ
llα1τo川∪
となる・κ㈲〉・より・・㈲一II♂1薩1離。）IIである・
セレーフレネの公式を用いて，
T（to）＝B（s（to））・N （s（to））＝（T（So）×N（So））・N （So）
が計算できる．弧長によってパラメータ付けられた曲線β（s）において，
B（・・）一丁（・・）・N（・・）一β（・・）瑠一5 （30綜（50）・
定義3・6・・より・N（・・）一鵠）・これを微分すると・
T （8。）κ（8。）一丁 （5。）κ （5。）
N （s。）＝
κ（s。）2 β （So） β （So）（tk κ（S。） κ（S。）2 ds
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 47 これらの式から，
．（t（，，））．．（Elg：Egliiiig311−gEg−2一（so）×，，g（so））．（Elilillizg2一 ls，o）一tfl 一．sz．；：：ftfi3−1：｝：Eg−z．（so），｛，（so））
（5 （so） × 6 （so）） 5 （so）
rc（So）2 ．
β （SO）＝7「（SO）＝il護；Xliii・β （SO）＝II多llil｝1・＋α （to）農から・
6・（so）×st・（s，）＝＝ww （iX）．1，，X S O）＋9iL ！｛iiiliiii，aflii ii92一（ ：＆，1，，gli（tO）illg｝l
a （to） × orn（to）
Il cMt（to） 113
同様に，ある定数01と02を用いて，
X3 （So） ＝ Tl一［．iilll gts−1 it（，tO）i13 ＋ C2（tz （to） ＋ Ci（）f （to）
と表せるから，
（6 （so） × 6 （so）） 5 （so）
T（tO） ＝
K（so）2
（of（to） × or （to）） ・ （orM（to） ＋ C211a （to）l13a （to） ＋ Ci Ilcu （to）1130f （to））
（（Mt（to） × （｝ftt（to）） ・ CUM（to）
11cu （to）116
（ort（to） × an（to）） ・ （）ftlt（to）
11cu （to） × cy t（to）112
となる．
rc（so）21icu （to）116
11cMt（to）116
1icM （to） × cu （to）112
D
48