定義3．6．1T（s）＝α （s）を正則単位速度曲線α（s）の接ベクトルとする．
αの曲率をκ（s）＝「1α （s）1＝llT （8）1と定義する．κ（s）≠0のとき，
N（s）一瑠はαの単位主法ベクトルを表すものとする・また，B（・）一 T（s）×N（s）はαの単位従法ベクトルを表すものとする． □
T（8）・T（s）＝llT（s）I12＝1より，微分するとTt（8）・T（s）＋T（s）・T （s）＝0 となり，T（s）・T （s）＝0である．ゆえにT（s）⊥T （s）で， T （s）は法ベク
トルである．また，ilB（s）I12＝「IT（s）×N（s）l12は外積の性質より，
llB（s）112 一 11T（s）112HN（s）II2 一 （T（s） ・ Ai （s））2 一 1
よって，llB（s）Il＝1である．外積の1生質より，B（s）⊥T（s）， B（s）⊥1VF（8）
であることも分かる．
命題3．6．2α（s）を正則単位速度曲線とする．B（s）が定ベクトルであるた めの必要十分条件は，α（8）は平面上にあることである．
証明 α（s）が平面上にあるとする．T（s）もN（s）もその平面上にある．よっ て，B（s）は定ベクトルである，
B（s）は定ベクトルq，Ilqll＝1とする．関数！（8）＝（α（s）一α（0））・B（s）
を考え，その導関数をとると，
［lil ＝ a （s） ・ B（s） ＋ （（M（s） 一 cM（o）） ・ B （s）
＝ of（s） ・ B（s） ＝ T（s） ・ B（s） ＝ O．
したがって，！（s）＝c（c：定数）で，c＝！（0）＝0より！（8）≡0である．
x＝α（s）とおくと，
（x 一 dv（O）） ・ q ＝ O．
よって，α（5）がqに垂直な平面にある． □ R3の中の一般的な単位速度曲線に対し， B（8）⊥T（8）， B（s）⊥N（s）
となる．11B（s）「1ニ1であるので， B（8）・B （s）＝0よりB（s）⊥B （s）で ある．B（s）・T（s）＝0から，
O ＝ B （s） ・ T（s） ＋ B（s） ・ T （s） ＝ B （s） ・ T（s） ＋ B（s） ・ K（s）N（s）
＝ B （s） ・ T（s）．
よって，B （s）⊥T（s）である．したがって， B （s）はN（s）の方向にある．
この事実を用いて次を定義する．
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 41
定義3．6．3B （8）＝一7（5）N（s）と表される。7（s）をsでのαのねじれ率と
いう． □
例3．6．4（1）円：α（s）＝（r・cos（g），rsin（農），0）とする．接ベクトルはT（s）＝
（一sin（募），cos（葺），0）で， T （s）＝（一（ ） cos（葺），一（｝）sin（葺），0）となる．だ
から・・（・Hα （・）li−llT 剛⇒である・したがって・N（s）一需一
（一cos（g），一 sin（農），0）となる． B（8）を計算すると，
B（s） ＝＝ T（s） × N（s） ＝ Oei ＋ Oe2 ＋ le3
より，B （s）＝0，τ（s）＝0で，α（8）は平面的である．
（2）螺線：α（s）＝（αcos（7毒），αsin（訴），bPt）とする．ω＝7毒 と表すことにする．そのとき，
T（s） ＝ （一aw sin ws， aav cos cvs， cvb）．
導関数をとると，
T （s） ＝ （一aw2 cos ws， 一aw2 sin avs， O）．
よって，κ（s）＝αω2である．したがって，N（s）＝（一cosω5，一sinωs，0）
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B（s） ＝ （bcu sin ws， 一bca cos ws， aw）
によって与えられる．したがって，
B （s） ＝ （bw2 cos ws， bw2 sin evs， O）
で，7（s）＝bω2となる．
定義3．6．5正則単位速度曲線α（s）において，
｛K（s），7（s），T（s），N（s），B（s）｝
をセレーフレネの組織と呼ぶ．正規直交基底｛T（s），N（s），B（s）｝を動標 構または曲線に沿った動三面体と呼ぶ， □ 定理3．6．6 （セレーフレネの公式）α（8）をκ（8）≠0の正則単位速度曲線
とすると，
T is） ＝K（s）N（s）， N （s） ＝一K（s）T（s）＋T（s）B（s）， B （s） ＝＝ 一7（s）N（s）
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 42
証明 曲率とねじれ率の定義により，T （s）＝κ（s）N（s）， B （8）＝一ア（s）N（s）
である．｛w1，w2，w3｝をR3の任意の正規直交基底とするなら， R3の任
意のベクトルvは
V ＝ （V ・ Wl）Wl ＋ （V ・ W2）W2 ＋ （V ・ W3）W3
を満たす．動標構にこの事実を適用すると，
N （s） ＝ （T（s） ・ N （s））T（s） ＋ （N（s） ・ Ai （s））N（s） ＋ （B（s） ・ N （s））B（s）
となる．N（s）・T（s）＝0より， N （s）・：T（8）＋N（s）・T （s）＝0である．し たがって，
N （s） ・ T（s） ＋ N（s） ・ （K（s）N（s）） ＝ O
となり，N （8）・T（s）＝一κ（8）が従う．また， N（s）・B（s）＝0より， N （s）・
B（s）＋N（s）B （8）；0である．したがって，
N （s） ・ B（s） 一 7（s）N（s） ・ N（s） 一 O
となり，N （s）・B（s）＝7（s）が従う．よって，1V （s）＝一κ（8）T（s）＋T（s）B（s）
である．
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と表せる．
D
定理3．6．7κ，7：（α，b）→R3（k＞0）を連続関数とする．そのとき，弧 長によってパラメータ付けられた曲線α：（α，b）→R3で，曲率とねじ れ率がκと7となるものが存在する．さらに，そのような任意の曲線は，
ある剛体運動の差だけ異なる．すなわち，石が任意のそのような曲線と
すると，弧長を保存する線形写像A：R3→R3とベクトルv∈R3で
可3）＝＝、A・α（s）＋vとなるものが存在する．
証明 行列値をもつ関数
9（・）一。聾）零1）紛一圃
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 43 を考える．V1＝T， V2＝N， V3＝Bがあると，セレーフレネ公式は微分 方程式
ヨ ・1Σ・・ゴ・ゴ ゴ＝1 言い換えると