を解くことになる．
2i4， （fi2 （s） ＋ f22 （s）） 一 2fi （s）f｛ （s） ＋ 2f2 （s） f6 （s）
一 2（fi （s）， f2 （s）） ・ （f｛ （s）， fS （s））
＝ 2rc （S）（fi （S）， f2 （S）） ・ （一f2 （S）， fi （S）） 一 O．
よって，Il！（s）ll＝0（定数）である．初期条件（＊）より，0＝1である．
したがって，任意のs∈（α，b）に対し， llノ（s）ll＝1となり，上の微分方程
式の解は単位速度曲線を与える．この微分方程式を解くためには，次の 常微分方程式論の結果が必要になる．証明はここでは述べない．
補題3．4．5g（t）が（α，b）上の（n×n）行列に値をとる連続関数であるなら，
微分方程式F （t）＝g（t）F（t）の解！：（α，の→Rnが存在する．
補題3．4．5のn＝2のとき，g（s）は
9（・）一（。島ゾ督5））
o
によって与えられ，T （s）＝κ（8）N（s）はT （s）＝g（s）T（8）になる．だか ら，補題において，曲率κ（s）を持つ曲線α（s）に対するT（s）を得ること になる．α（s）を得るためT（s）を積分する．ここでα（αo）をR2上の任意 の点に，u＝T（αo）を任意の単位ベクトルになるように選ぶことができ る．α（αo）でuを変えるには，回転が必要である．その回転は他の解が T（s）＝ρθT（s）として現れるように微分方程式の中を通る．但し，
ρ・一（：甑勲
である．ZI（αo）をどのように選んだとしても平行移動によってα（αo）にと めておくようにできる．したがって，第2の解6i（s）は，ある角θとある
R2のベクトルwを用いて，
ZI（s） ＝ pea（s） ＋ wo
と表される．
D
例3．4．6R2の正則単位速度曲線が定曲率r2＞0をもっと仮定する． T（8）・
T （s）＝0で，T （s）＝ r2N（8）である． T（s）＝（x（s），y（8））とすると，
xx ＋ yy ＝ O， （x ， y ） ＝ r2（一y， x）
第3章平面曲線と空間曲線の曲率 35
である．このとき，X ＝・一r％となる．これは， X＝αCOS（r2S＋to）＋
b sin（r2s＋to）を解としてもつ．1つの解として， x（s）＝尭cos（r2s）を選 ぶ，このとき，x 2＋〆＝1よりy（s）＝義sin（r2s）である．
3．5 伸開線と詠歌線
最初に伸開線と縮閉線の定義を述べる．
定義3．5．1曲線α：（α，b）→R2が与えられたとき，曲線β：（α，b）→R2 で，β（t）はα（t）の接線に沿ったところにあり，β （t）とα （t）が垂直であ るものをαの伸画線と呼ぶ．また，αをβの縮閉線と呼ぶ．
命題3．5．2β（s）が単位速度曲線α：（α，b）→R2の伸回線であるための必 要十分条件はある定数。に対し，
6（s） ＝ or（s） ＋ （c 一 s）a （s）
と表せることである．
証明β（q）一α（5）＋（c−5）α （5）とする．このとき，βは各点においてα の接線に沿ったところにある．今，
5 （s） ＝ a （s） 一 cu （s） ＋ （c 一 s）of （s） ＝ （c 一 s）af （s）
となる．αは単位速度よりα ⊥α である．ゆえにβ ⊥α である，した がって，βはαの伸開線である．
逆に，βがαの伸開線であるとすると，
6（s） ＝ or（s） ＋ A（s）a （s）
と表せる．β（s）の導関数β （s）とα （s）の内積をとると，
，B （s） ： at （s） ＋ A （s）cM （s） ＋ A（s）cu （s）
，B （s） ・ ai （s） ＝ cu （s） ・ cu （s） ＋ A （s）or （s） ・ ai （s） ＋ A（s）ai （s） ・ cu （s）
＝1＋A （s） ＝O
よって，λ （s）＝一1である．このことより，λ（s）＝c−sとなり，β（s）＝
α（S）＋（c＿s）α （s）と表せる． □
第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 36 命題3．5．3単位速度曲線α（8）に付随した曲率中心0α（s）の曲線はαの縮
閉線である．
証明 （7α（s）の次の性質を思い起こそう：
1
（1） K（s）＝
llaf（s） 一 Ca（s）ll
（2） （cM（s） 一 C． （s）） ・ of （s） ＝ 一1．
直接的にパラメータ付けることなしに，0α（s）を単位速度曲線となるよう に再パラメータ付けることができない．しかしながら，伸開学となる性 質は曲線の点が縮閉線の接線上にあり，付随した点で接線が直交してい るという事実によって特徴付けられる．そのとき，この命題を証明する
ためには，
Ca（s） ± d（s）， cM（s） ＝z C．（s） ＋ pa（s）Ca（s）
を示せば十分である．α（8）は単位速度曲線よりT（8）＝α （s）で，［T（s），N（s）：
は標準的な向き付けである．定理3．2．1より，T （s）＝κ（s）N（s）であるが，
次のことも示される．
補題3．5．4N （s）＝一κ（8）T（8）
証明 N（s）・N（s）＝1よりN（s）・1＞ （s）＝0であるから，1V （s）⊥N （s）
である．したがって，1＞ （8）＝y（s）T（s）と表せる．N（s）⊥T（s）である から，
d
O ＝ t， （N（s） ・ T（s）） ＝ N （s） ・ T（s） ＋ A」 （s） ・ T （s）
＝ y（s）（T（s） ・ T（s）） ＋K（s）（N（s） ・ N（s）） ＝ u（s） ＋ rc（s）
である．ゆえにy（s）＝一κ（8）より，N （s）＝一κ（s）T（s）である． □ （α（s）一〇α（8））⊥α （s）からα（s）一〇α（8）＝μ（s）N（s）とかける．（2）
より，
一1 ＝ （a（s） 一 C．（s）） ・ or （s） ＝ pa（s）N（s） ・ K（s）N（s）
である．ゆえにμ（s）＝；油で，このことより，
N（s）
（3．1）
Ca（s） ＝ or（s） ＋ K（S）
第3章平面曲線と空間曲線の曲率
となる．導関数をとると，
K（s）N （s） 一 K （s）N（s）
Ca （s） 一 cv （s） ＋
（K（s））2
37
ネ甫題3．5．4より，
Ca（s） ＝＝ T（s） ＋ 一K（s）2T（s） Kt（s）
N（s）
（rc（s））2 （rc（s））2
＝一
狽堰Dfttggs，， 2gi，N（，）．
よって，C6 （s）⊥α （s）で，
1
N（s）a（s） ＝＝ Ca（s） 一
K（S）
K（S）
oム（s）
＝ Ca （s） ＋
Kt（S）
となる．よって，0α（s）はα（8）の縮閉線である．
D
すべてのsに対して，κ （s）≠0のとき0。（8）は正則曲線であることに 注意する．
次にサイクロイドに関するホイヘンスのある定理を証明する．そのため に，サイクロイドの定義を思い起こす．サイクロイドとは，直線に沿って 転がる円板上の固定された点によって描かれる曲線のことである（図3．3）．
U L
o
1。心／
N
u αo K
図3，3
直線の下を転がる円上の車輪とその円上に選ばれた点に対するサイク ロイドに関心を持つ。図3．3を参照しながら，一π＜θ〈πをとり，点0 から始まり転がった後，θラジアンとなる点0 を円上にとる．円の半径
をrと表示する．x軸に垂直な半径Lotとそれに付随した直径LKを考
える．σを原点と表示すると，肌は長さrθをもつ．弧0 Kもまた長さ第3章 平面曲線と空間曲線の曲率 38
rθをもっから，∠0 ctKは角θをもつ．点0 を直径LK上の点Nに投
射をすることによって，
0 ＝（x（θ），y（θ）），
x（θ）＝r（θ十sinθ）， ！ノ（θ）＝一r（1→一cosθ）
という等式を得る．ζ（θ）＝（∬（θ），〃（θ））によって，この特別なサイクロイ
ドを表示する，これの導関数をとると，
ζ （θ）＝γ・（1十cosθ， sinθ）
で，
llζ （θ）H＝γ・ 2十2cosθ となる．く（θ）は単位速度曲線でないことに注意しよう．
定理3．5．5サイクロイドはその縮三線として合同なサイクロイドをもつ．
証明 サイクロイドのパラメータ表示は単位速度でないが，曲率と曲率 中心の曲線を決定できる．生成する円の半径を1とする．任意の正則曲
線α（の＝＠（の，㌢（切の平面曲率の公式を適用すると，
ノ
κ士（t）一鞠剛樵．
（＠ ）2＋（y ）2）互
サイクロイドζ（θ）＝（θ＋sinθ，一1 一 cosθ）に対し，
κ±（t）一（1＋cosθ）（cosθ）一（一sinθ）！sinθ）
［（1一トcosθ）2一←（sinθ）2］7
1 4…（旦2）．
曲率中心の曲線を構成するために，
1
（ブζ（θ）＝ζ（θ）十
N（θ）
κ（θ）
但し，N（θ）はく（θ）での曲線の単位法ベクトル，であるように書く．今，
ζ （θ）＝（1→一cosθ，sinθ）