となる．したがって，線素は座標変換の下で保存される．
66
例4．3．4関数♂＋v2のグラフで与えられる曲面Sを考える（図4．3）．
図4．3 このとき，1つの座標図は
x ： R2 一〉 S， x（zL， v） ＝＝ （ze， v， zL2 十 v 2）
で与えられる．また，極座標で与えられる座標図
y： （O， oo） × （0， 2T） 一 S， y（r， e） ＝ （r cos e， r sin 0， r2）
をもつ．
第4章 曲面と第一基本形式 67 最初の座標では，xu＝（1，0，2④， xv＝（0，1，2v）より，E＝1＋4u2，一F＝
4uv G＝1＋4v2となる．よって，曲面は線素
，
ds2＝（1十41L2）du2十（82LV）dudv十（1十4v2）dv2 である．
極座標では，U＝r COS e， V＝r sin eとおける．そのとき，
dZL＝COSθdr−rSinθdθ， dV＝Sinθ（lr十rCOSθdθ である．u， v， du， dvを上の線素の式に代入すると，
ds2＝（1十4r2 cos2θ）（cosθdr−rsin edθ）2
十8γ2sinθcosθ（cos Odr−rsinθdθ）（sinθ（ir十rcosθdθ）
十（1十4r2 sin2θ）（sin Odr一トrcosθde）2 ＝（1十4r2）dr2十r2dθ2
を得る．
α：←c，c）→S，β：（一η，η）→Sをα（0）＝β（0）＝pを満たす微分可 能な曲線とする．このとき，点pでのαとβの間の角θを，点pでのαと
そつ ハせこ ノァ し ドモ ハロしヨわぬが
ρUノ可女V、ノ 1、ノレLノノ1目」㌦Vノ月
ち（α （o），β （o））
COSθ＝
ち（α （0），α （0））ち（β （0），β （0））
で定義する（図4．4）．
θ
o
」 図4．4
＼．
例えば，座標曲線Xu，xvの接ベクトルを考えると，座標方向の間の角は
θ一一・ i、p（漁（諾㊨）一一儀）
第4章 曲面と第一基本形式 68 によって与えられる．F＝0のときθ＝90。となる．ゆえに， x。，、Xvは直 交する．そのような座標図を直交的なパラメータ付けと呼ぶ，
例4．3．5例4．3．4と同様に，放物面を考える．このとき，直角座標は
F 4zev
vEa tw
を与える．一方，極座標では，yr＝（cosθ， sinθ，2r）， Ye ＝←r sin e，r cos e，0）
より，
F＝ yr ・ ye ＝ 一r sin O cos O十rsin O cos O＝O
となる．ゆえに，極座標は直交的なパラメータ付けである．
4．4 面積
定義4．4．1R3の曲面Sの領域Rが有界領域であるとは，それがR3の有
界な半径の球に含まれるときにいう． □ 定理4．4．2Sを正則曲面， x：（σ⊂R2）→R3を座標図とする． R⊂Sは有界領域でR⊂x（のとするなら，領域Rの面積は
a・ea（R）一／炉一力㌦1険…11d・dv
で与えられる． □
上の公式の証明については，例えば文献［12］，［15］を参照．
llcv。×xv112＝llxul1211xv112一（x。・xv）2なので，面積の局所表現は，積分 area（R） ＝＝ f／．一，（．） VEIiEI；U5Z；i（EII一 dudv
で与えられる．
命題4．4．3h：V→σをR2の開集合間の微分同相写像とし， y＝x。h
とすると，
f f，一，（．） llYii × YulldldT ＝ f ／．一，（．） 11xu × xvlldzLdv
である．
第4章 曲面と第一基本形式 69 証明変数ze， vを■，Tに変換するとき，式磁伽はldetJ（h）ld■dTに変 換される．また，1｝砺×yff11＝11cu×x。1［・1detJ（h）1より，
／ゐ1（R）1團1勲一／ゐ1（R）11−ll・麟）ld齋
ffx
ll cu × xvlldiLdv −i（R）
である． □ 例4．3．4の前で議論したように，
儒）一」（h）・（％）」（h）
である．両辺の行列式をとると，
IZiC；f 一 li72 ＝ det」（h）2（EG 一 F2）
となる．よって，
de一ア2−ld・t」（h）1雁
である．
例4．4．4S2の下半球の面積を計算する．
x ： （O，1） × （O，2T） 一 S2 c R3， x（r， 0） ＝ （r cos e， r sin e， 一Vi7一｝Ii）
によって，極座標をもつ単位円板から，下半球をパラメータ付けする．座 標曲線における接ベクトルは，
x， ＝ （cos e， sin e， k） ， xe ＝＝ （一r sin o， r cos e， o）
によって与えられるので，E＝毒，一F＝0， G＝r2となる．したがっ
て，半球の面積はル癖翻θ一／fR i−1−li2r、d・de
一ズ∠1＞τア翻θ
ズトVT：7］：dθ 2T
fo
de ＝ 2T
第4章 曲面と第一基本形式 70
である．
他の例として，Rを円柱上の限られた範囲si×［O， t］とし， x：（0，2π）×
R→R3を座標図x（θ， v）＝（cosθ，sinθ， v）とする．そのとき， E＝1，一F＝
0，G＝1から，
・・ea（R）一／五翻θ
ズか・4θ
fo 2 tdO
＝ 2Tt
となる．
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