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第4章 曲面と第一基本形式 49
例4．1．2（1）u，q≠0∈R3に対し，ベクトルqに垂直で点uを含むR3
の平面をrIu，qとする． U＝（te1，IL2，ZL3），q＝（ql，q2，q3）と表すことになる．
但し，q3≠0と仮定する． x：R2→R3を
x（r，s）＝（r，s，ll！t！L＝Z）！｛X！｛2一；Elt！Z2i−r）qii（iL2NS）q2＋ze3）
と定義すると，
a；（ZLI， Ze2） ＝ （IL17 ？L2） U3） ＝ Ul
（zLl 一 r）ql ＋ （zL2 一 s）q2
（x（r， s） 一 u） ・ q ＝＝ （r 一 ？Ll） × ql 十 （s 一 IL2） × q2 十
× q3 q3
＝o
を満たす．したがって，xはR2をHu，qに写像する． xはアフィン写像よ り微分可能である．Xの逆写像ガ1は， X−1（ω1，ω2，ω3）＝（ω1，ω2）で与え られ，連続である．xは全単射よりxは同相写像である．また，
一曲一岨b−2
＼万ア 五「ノ ＼一死 一1五ノ
よって，x：R2→Hu，qは定義4．1．1の3条件を満たすので， rIu，qは正則 曲面である．したがって，R3の任意の平面は正則曲面であることがわか
る．
（2）S2＝｛＠1，x2，x3）∈R3［＠1）2＋＠2）2＋＠3）2＝1｝をR3の単位球 とし，D＝｛（u，v）∈R21♂＋v2＜1｝をR2の開単位円板とする．写像
x：D→S2を
［1］ x（zL， v） ＝ （zL， v， Vl 一 u2 一 v2）
で定義する．Xは微分可能である． Xは全単射で逆写像xnt 1（ZL 1，2L2，ZL3）＝
（ze 1，u2）をもち，連続である．したがって， xはx：D→S2∩｛x3＞0｝と すると，同相写像である．xのヤコビ行列の階数は
−∩U
2 一 2 一
！
一
nk a
r
2
＝一 01
U 2 2 1一
第4章 曲面と第一基本形式
である．同様に，x：D→S2において
［2］ x：D一 S2 n ｛x3 〈 O｝， x（iL， v） ＝ （iL， v， 一vil 一 iL2 一 v 2）
［3］ x：D 一〉 S2 n ｛xi 〉 O｝， x（u， v） ＝ （Vl 一 zL2 一 v2， iL， v）
［4］ x：D 一〉 S2 n ｛xi 〈 O｝， x（u， v） ＝＝ （一Vl 一 iL2 一 v2， u， v）
［5］ x：D一 S2 n ｛x2 〉 O｝， x（u， v） ＝ （zL， vil ： iL2 一 v 2， v）
［6］ x ： D 一〉 S2 n ｛x2 〈 o｝， x（iL， v） ＝ （u， 一VIJ：一II2一：一IJi， v）
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も［1］と同様の条件を満たす．［1］〜［6］でS2上の任意の点を被覆したので，
S2は正則曲面である．
（3）！：σ→Rを開集合σ⊂R2上で定義されたなめらかな関数とする．
graph f＝ ｛（u， v，f（u，v）） 1 （iL， v） E U｝
とし，x：σ→graph！をx（ZL， v）＝（ZL， v，！（u， v））と定義する． xは微分可 能である．逆写像X一1（ω1，ω2，ω3）＝（ω1，ω2）が存在し，連続である．よっ て，xは全単射で同相写像である． svのヤコビ行列の階数は，
＿。Ag／一り …蟻劇一し
である．ゆえに，graphノは正則曲面である．
（4）g：（α，b）→Rをなめらかな関数で，任意のt∈（α，b）に対し， g（t）＞0 であるとする．
graph g＝ ｛（iL，g（iL）） 1 ？L E （a， b） c R× R｝
とし，graph g⊂R2＝R2×｛0｝⊂R3のx軸のまわりで回転して得られ
る曲面をSとする．x：（α，b）×（O， 2π）→R3を
x（zL， v） ＝ （u， g（7L） cos v， g（u） sin v）
と定義する．xは微分可能である．このとき， xのヤコビ行列は，
（ 1 0（…V）能一9（小i・v（sin v） gai｝． g（zL） cos v）
第4章 曲面と第一基本形式 51
である．
（一g（u） sin v）2 十 （g（LL） cos v）2 ＝ （g（zL））2（sin2 v 十 cos2 v） ＝＝ （g（ze））2 〉 o
より，一g（ze） sin v， g（u）cos・vのいずれかは必ず0ではないと分かる．し
たがって，xのヤコビ行列の階数は2である．それにより， xは単射で
ある．S＝x（（α，b）×（0，2π））より， x：（α， b）×（0，2π）→Sは全単射で ある．逆写像を構成するためx−1（α，b， c）＝（ze，v）とおくと， u＝α， b＝
g（u）cos・v， c＝g（u）sin v， b2＋c2＝g（u）2である．ゆえに， g（u）＞0より，
g（④＝〉／齋である．すると，b＝〉弾cos u， c＝P両 sin v
である．cは0＜v＜πのとき。＞0で，π＜v＜2πのとき。＜0である．したがって，
・一伊繍縞Ol〈。
となる．vは。＞0， c〈0で連続で，更に， c＝0即ちv＝πのときも連 続につながっている．よって，x−1は連続である．したがって， Sは正則
曲面である，
ここで，逆関数定理，陰関数定理を思い起こす．証明については，文
献［11］を参照のこと．
逆関数定理
一F＝（Fl，＿，Fn）：（U⊂Rn）→Rnを微分可能写像とする． u∈σでの ヤコビ行列」（F）（u）一（舞（u））とする・このとき・行列式d・t」（F）（u）≠
0ならば，u∈V⊂σとF（u）∈W⊂RnとなるRnの開集合V， Wで，
F：V→Wが微分可能な逆写像F−1：W→Vをもつものが存在する．
例4．1．3F＝（一F1，F2）．R2→R2を一Fi （x，y）＝ex cos Y， F2 （x，y）＝
eX sin yとする．
曲t恥）一由t儲1識）
＝ e2X （cos2 y十 sin2 y） ＝ e2X ； O
より，逆関数定理から，Fは至る所，局所的に微分同相写像となる．一
方，F（x， y）＝F（x， y＋2mπ）（mは整数）より， Fは大域的には単射でな
い，即ち，F：R2→R2は微分同相写像でない．
第4章 曲面と第一基本形式 52 陰関数定理
！：Rn×Rm→Rmを（u， v）を含むRn×Rmの開集合で微分可能で
！（u，v）一・とする・また・M一（∂蓋畿チ）），・≦乞∬≦mとする・d・・
M≠0ならば，u∈σとv∈VとなるRnの開集合σとRmの開集合V
で，任意のr∈Uに対し，！（r，s）＝0となる唯一のs∈Vが存在する．
さらに，g：U一＞Vをg（r）＝sで定義するとgは微分可能である．
定義4．1．4！：Rn→Rm， n≧m，は微分可能な関数で」（！）＝（舞）と する．u∈Rnが！の臨界点とは，ヤコビ行列Jf（u）で表現される線形写 像：Rn→Rmが上への写像でないときにいう．そのとき，！（u）∈Rmを fの臨界値という．v∈Rmがfの臨界値でないとき， vは！の正則値と 呼ぶ． □ 定理4．1．5！：（σ⊂R3）→Rは微分可能な関数でr∈！（σ）が正則値で あるとき，f−i（r）＝｛u∈Ulf（u）＝r｝はR3の正則曲面である．
証明p＝（Xo，yo，Zo）∈！一1（r）とする． rは！の正則値であるから，
傷（P），霧（P），塞（P））≠（・，・・，・）
である．このとき，霧（p）≠0と仮定してよい，F：σ→R3をF（x，y，z）＝
（x，y，！＠，y，z））と定義すると，
」（F）一縣）
である．9／÷（p）≠0より，det J（F）（p）≠0である．逆関数定理より， p
の近傍V，F（p）の近傍WでF：V→Wは可逆で，一F−1：W→Vは微
分可能となるものがある．ぴ＝W∩｛z＝r｝とし，Xlσ →V∩f−1（r）
をx（tt，？ノ）＝F−！（u，v，r）と定義すると， xは微分可能な同相写像でrank J（x）（u，v）＝2となる．よって，！一1（r）はR3の正則曲面である． □ 系4．1．6α，b，c≠0に対し，次の関数は0を正則値としてもつ．したがっ
第4章 曲面と第一基本形式 53 てf−1（0）はR3の正則曲面である．
楕円体，！（鯛÷多÷1；
一葉又は二借景iEi， f（姻一tl±多÷1・
0＜r＜αに対するトーラス，f（x，y，z）＝z2＋（〆＋y2一α一α）2−r2
証明 楕円体のときのみを示す．一葉又は二葉双曲面の場合も同様に示さ
れる・（蛋翌蛋ax， oy， oz）一（農，鈴）一（0，0，0）とおくと・＠，〃，・）一（0，0，0）
である．よって，（x，y，z）≠（0，0，0）ならば！の正則点となる．！（0，0，0）＝
一1≠0より，（0，0，0）￠！一1（0）となる．したがって，任意の（x，y，z）∈
！一1（0）は！の正則点である．すなわち，0は！の正則値である．定理4．1．5 より，！一1（0）はR3の正則曲面である． □ 正則曲面にならない例には，錐｛（ze，v，w）lu2＋v2＝lv2，ω≧0｝があ る．ω＝〜di ＋vは0∈R3で微分可能でない．
曲面上の関数！：S→R，曲面間の写像φ：Si→S2が微分可能である ことの概念を定義する．
定義4．1．7（1）曲面上の関数！：S→Rと各座標図x：σ→S，σ⊂R2
に対し，合成写像U9＞S1 Rが微分可能であるときに！：S→Rは微
分可能と定義する，
（2）曲面間の写像φ：Si→S2のときも同様である．各座標図Xl：Ui→
Si，σ1⊂R2に対し，合成写像σ1鞠Si広S2が微分可能であるとき
に，φ：Si→S2は微分可能と定義する． □命題4．1．8Sを正則曲面とし， x：σ→R3，σ⊂R2とy：V→
R3， y⊂R2を空でないW＝x（U）∩y（V）⊂Sをもつ座標図とする．そ のとき，座標変換ん＝ガ1。X：X−1（W）→y−1（W）は微分可能で全単射 である．さらに，h−1＝x−1。yも微分可能である．
第4章 曲面と第一基本形式 54 証明 hは同相写像の合成より，全単射で連続である．xとyに関するh−1
とhの対称性よりhの微分可能性を示せばよい．（ro，SO）∈X−1（W）とし，
p＝x（ro，80）とする．
y（ze， v） ＝ （fi（zL， v）， f2（iL，v）， f3（？L，v））
とすると，座標図の仮定より，
rank 」（y）一一麟）一2
である．（2Lo，Vo）；h（ro，So）＝y−1（p）で鴇｛募一筈篶≠0と仮定してよ