相対論的光ガイディング

相対論的光ガイディングの標準的な理論では、電子の横方向の振動運動 の効果のみがηr に含まれる。つまり、n=n_e、γ =γL(r) = (1+h~a²i)^{1/2 で} ある。しかし、この現象はプラズマ振動の時間スケールで起こるのでレー ザーパルスの長さがプラズマ波長よりも長い、つまり γLcτ ≥λp でなけれ ばこれは効果的ではない。

γ_L⁻¹ = (1+a²)^−1/2≃1−a²/2と近似できる場合、屈折率は ηr ≃1− ω_p²

2ω_L²(1−a²

2 ) (3.2)

となる [46]。屈折率分布による光ガイディングは ∂ηr/∂r <0 である必要 があり、これはレーザーの強度分布が Fig.3.2 ^のように ∂a²/∂r <0 ^のと き達成される。

Fig.3.2: 相対論的光ガイディング。∂a²/∂r<0^なので ∂ηr/∂r<0^とな りレーザーは中心軸に向かって集光する。

規格化されたスポット半径を R=r_s/r₀ とすると、レーザーパルスの強

度分布が

|~a|² = (a₀r₀

r_s )²exp(−2r²/r²_s) (3.3) のとき、式 3.2を使ってスポット半径の包絡線方程式は

d²R

dz² = 1

Z_R²R³(1− P

P_c) (3.4)

となる。この式の右辺第 1項は真空中での回折の効果を表しており、第 2 項は相対論的自己収束の効果を表している。ここで P_c は相対論的自己収 束が起こる臨界出力で

P_c = 2ce² r²_e

ω_L²

ω_p² (3.5)

または

P_c ≃17.4ω_L²

ω²_p[GW] (3.6)

となる。ここでr_e =e²/mc² は古典電子半径である。例えばレーザー波長 λL=0.8µm^{、プラズマ電子密度}n_e=1.0×10¹⁸cm^{−3 の場合は、}P_c≃30TW である。初期 (z=0)条件をdr_s/dz=0とすると式 (3.4) の解は

r_s²

r₀² =1+ (1− P P_c)z²

Z_R² (3.7)

となる。これは P<P_c のとき発散、P=P_c のときr_s =r₀ のまま、P>P_c のとき収束することを示している。実はこの解は”^{カタストロフィー}”^的 な収束を予言している。これは a² ≪1 の制限内における (1+a²)^−1/2 ≃ 1−a²/2の近似から来ている。実際には高次の非線形性によりレーザーの 収束は阻害される [46]。

γ_L⁻¹ = (1+a²)^−1/2 ≃1−a²/2と近似できない場合、スポット半径の方 程式は屈折率

ηr ≃1−ω_p²

ω_L²(1+a²)^−1/2 (3.8) を近似せずに扱う。規格化されたスポット半径X =r_s/a₀r₀ は方程式

d²X

dz² =−V₀∂V

∂X (3.9)

に従う。ここで

−∂V

∂X =X⁻³−16X P P_c[(p

1+x⁻²−1) +2 ln 2−2 ln(p

1+X⁻²+1)]

(3.10) であり、またV₀ = (a²₀Z_R)^{−2 である。式} (3.10) の右辺第 1 項は真空中の 回折を表している。一方、残りの項はプラズマの相対論的自己収束の効果 を表している。a₀ ≪1 (X ≫1) の極限では式 (3.9) は式 (3.4) になる。式 (3.9) は運動している有効ポテンシャルV(X,P/P_c) ^{内での粒子の位置を記} 述している。ポテンシャルV(x) ^{の形状はパラメーター} P/P_c に依存して いる。P/P_c >1 のとき、ポテンシャルV(X) ^は X =X_f で最小値をとり、

X(z) についての振動解を持つ。これは振動するスポット半径が r_s(z) ^のガ イディングされたレーザーパルスに相当する[46]。

3.1.2 ^{プラズマ密度チャネル}

プラズマ密度チャネルとはプラズマ電子の密度分布をコントロールする ことにより、光ガイディングに最適な屈折率分布を作り出す方法である。

先ず放物線型密度チャネル

n_e(r) =n₀+∆nr²

r₀² (3.11)

を考える。ここで∆n=n_e(r₀)−n₀ である。また、レーザー出力及び規格 化されたベクトルポテンシャルをそれぞれP≪P_c、a²₀ ≪1 とする。する とプラズマの屈折率分布はは式 (3.1) においてn_e0 =n₀ とすることにより 近似的に

ηr =1− ω²_p 2ωL

(1+∆n n₀

r²

r²₀) (3.12)

となる [46]。任意の位置でのガウス型レーザーパルスのスポット半径を r_s、強度分布を a² = (a₀r₀/r_s)²exp(−2r²/r²_s) とするとレーザーパルスの 包絡線方程式は

d²R

dz² = 1

Z_R²R³(1− ∆n

∆n_cR⁴) (3.13)

ここで R=r_s/r0 である。右辺第1 項は真空中での回折の効果であり、第 2項はチャネルによる収束効果を表す。これはガウス型レーザーパルスが 整合の取れたスポット半径 r_s =r₀ のとき、チャネルの深さが ∆n でガイ ディングされることを示している。ここでの ∆nは臨界チャネル深さに等 しく

∆n_c = 1

πr_er₀² (3.14)

または ∆n_c[cm⁻³]=1.13×10²⁰/r²_s[µm] である。ここで r_e =e²/mc² は古 典電子半径である。例えばr_s=20µm^の場合、∆n_c=2.8×10¹⁷cm^{−3 であ} る。式(3.13) の一般解は初期(z =0)条件をdr_s/dz=0、r_s =r_i とすると

2r_s²

r_i² =1+ ∆n_cr₀⁴

∆nr_i⁴ + (1−∆n_cr⁴₀

∆nr⁴_i )cos(k_osz) (3.15) である。ここで k_os = (2/Z_R)(∆n/∆n_c)^{1/2 であり、}r_i は入射時のスポット 半径である。この式から整合の取れたスポット半径は r_i =r₀、∆n=∆n_c であることが判る。もしレーザーパルスがチャネルと整合が取れていない 場合、スポットサイズはr_s =r_i とr_s² =∆n_cr₀⁴/∆nr²_i の間で振動し、その平 均値は

hr_s²i= (r_i²/2)(1+∆n_cr⁴₀/∆nr_i⁴) (3.16) 振動の周期は

λos =2π/k_os =πZ_R(∆n_c/∆n)^1/2 (3.17) である。実験と比較しやすくするために、チャネルの最大半径 r_ch 及び チャネルの端の密度 (最大密度)n_ch =n₀+∆n_ch を使って表現する。つま り、0<r <r_ch の範囲で

n_e(r) =n₀+∆n_ch r²

r_ch² (3.18)

である。n₀、∆n_ch 及びr_ch は実験によって決定される。この表記を使うと 式(3.13) ^は

d²r_s

dz² = 4

k²_Lr_s³(1− r⁴_s

r_M⁴ ) (3.19)

と書き直される。ここでr_M はマッチングスポット半径と呼ばれ r_M = ( r_ch²

πr_e∆n_ch)^1/4 (3.20) で与えられ Fig,3.3のようになる。

r n0

nch

∆ Plasma density channel(parabolic) Laser profile(Gaussian)

rch

rM

Fig.3.3: ^{マッチング半径}r_M ^{とチャネル半径}r_ch

式 (3.19) の解は初期 (z= 0) 条件を dr_s/dz =0、r_s =r_i としたとき式 (3.15) ^{で与えられ、このとき} ∆n_cr⁴₀/∆n=r_M⁴ 、k_os =2/Z_RM である。ここ でZ_RM =r_Lr_M² /2である。もしr_i 6=r_M ならば、スポット半径は r_s =r_i と r_s =r²_M/r_i の間で振動し、その平均値はhr²_si= (r_i²/2)(1+r_M⁴ /r_i⁴)^{、振動の周} 期は λos =2π/k_os =πZ_RM である。r_ch >r_s のときレーザーパルスはチャ ネル内に閉じ込められる。r_i >r_M のとき、r_ch >r_i ならば閉じ込められ、

r_i <r_M ^のときはr_ch >r²_M/ri ならば閉じ込められ、これは∆n_ch >1/πrer_i² を意味する。整合が取れている場合(r_i =r_M)、r_ch >r_M ならば閉じ込めら れる。これは

∆n_ch> 1

πr_er²_ch (3.21)

を意味する [46]^。