梁の曲げ応力

図5-21 対称面とその変形

図5-22 対称面の変形 直角な升目は変形後も直角で、せん断変形が起きていない。

ここで、図5-22下の対称面の変形から、下部の凸側が伸びて、上部の凹側が縮んていること がわかり、これは、その中間に伸縮しない面が存在することを意味する。この伸縮しない面を 中立面と呼び、図 5-23 のように、軸線を含む xz 面である。中立面と横断面の交軸を中立軸と 呼ぶ。

x

y z

対称面 対称軸

軸線 横断面

横断面

軸線

図5-23 梁の中立面と中立軸・図心

次に、具体的に、幾何学的な変形を考える。図5-21下から微小長さ部分dxを図5-24(a)のよう に取り出す。ここで、中立面の曲率半径をρとするとdx=ρdθが成立する。ここで、中立面を 原点に取って、中立面からの距離を下向き正にyと置き、下面をy1、上面を y2 (<0)とする。

次に、qsとprがどれだけ伸縮しているかを考える。図5-24(b)のように、点bを通り、pqに

平行な線s"r"を引くと、qsはqs"へ、prはpr"へ伸縮することがわかる。よって、ひずみは下面

で、

" 0

"

_{1 1}

1

= = = >

ρ

ε θ ^y

dx d y qs ss

x 5-14 (5-14)

と、引張りになる。上面では、

" 0

"

_{2 2}

2

= = = <

ρ

ε θ ^y

dx d y pr rr

x 5-15 (5-15) と、圧縮になり、統一的に

ε

_x

= ρ

^{y 5-16} (5-16) と定義できる。

x

y z

横断面

軸線 中立面 中立軸

図心(重心)

図5-24 梁の微小長さ部分の変形

変形はx方向しか生じておらず、y, z方向は拘束がなく応力がゼロになるため、x方向の応力を 求めるためには、ひずみにヤング率Eをかけるだけで良い。ここで、中立面を原点に取って、

中立面からの距離を下向き正にyと置くと、以下のように表現できる。

σ

_x

= ^Ey ρ

5-17 (5-17)

図5-25のように、上面で圧縮、下面では引張、その間は線形に分布し、中立面でゼロになる。

これが曲げ変形の応力場の特徴である。

図5-25 梁の厚さ方向の応力分布

式(5-17)の応力を求めるためには、図心の位置と、曲率ρが必要となる。

以下、図心と曲率を求めるため、先ず、軸線方向には荷重が作用していないため、応力を合算 するとゼロになる必要がある。

q s

p r

dθ

ρ

y1

y2 (<0) 中立面

(a) (b)

q s

r p

dθ

r"

s"

a b

dθ

s" s y1

b pqの平行線

dx

y

中立面

= 0

= ∫

∫

A A

x

E ydA

dA ρ

σ

5-18 (5-18)

よって、

∫ = 0

A

ydA

となるy軸の原点が中立面（中立軸）の位置となり、断面がy軸に対称であ ると仮定したことにより、中立面（中立軸）は図心を通ることがわかる。

∫

A

ydA

は、断面の幾 何学的形状のみから定まる量で、断面一次モーメントと呼ぶ。

中立軸に関する断面一次モーメントがゼロになる位置として、中立軸を求めることができる。

具体的な図心位置の算出法を示す。

図5-26 図心位置の算出

はりの横断面を図5-26a)のように、y軸に対称な形状とし、対称軸上の任意点O を通る座標（y’,

z’）のz’軸から距離e離れたところに中立軸があるものとする．中立軸を通る座標（y, z）のz

軸から任意点Cまでの距維をyとする．任意点 Cの座標値は

e y y z

z ' = , ' = +

5-19 (5-19)

したがって，式(5-19)のy=y’-eを式(5-18)に代入して

0

' − ∫ =

∫

A A

edA dA

y

5-20 (5-20)

eが一定であることを考慮して上式を整理すると，中立軸の座標eが次式のように求まる．

A S dA

dA y

e

^z

A

A '

'

=

= ∫

∫

5-21 (5-21)

図5-26b)のように、領域の面積を面積を細かい領域に区分するときは、

∑

∑

∆

∆

=

i i i

i i

A A y

e

5-22 (5-22) z’

中立軸 O

e

y z

dy dA

y, y’

図心

z’

dAi

y

i

a)

b)

となる。

次にモーメントの釣り合いを考える。応力σ_xのz軸まわりのモーメントの総和が、断面の曲 げモーメントMに等しいことより、

∫

∫ ⁼

=

A A

x

E y dA

dA y

M

²

σ ρ

5-23 (5-23) 断面二次モーメント

⁼ ∫

A

z

y dA

I

² は、断面一次モーメントと同様に、断面の幾何学的形状のみか ら定まる。I_zを使って、式(5-24)が得られる。

EI

z

= M ρ

1

5-24 (5-24)

EIzを曲げ剛性と呼び、曲げに対する曲がりにくさの指標となる。

結局、式(5-17)の応力は、

I y M

z x

=

σ

5-25 (5-25)

で与えられる。この曲げによる応力（最大値を最大曲げ応力と呼ぶ）は、断面の曲げモーメン トに比例することがわかる。また、中立面からの距離が遠いほど大きく、つまり表面で最大に なる。

ここで、中立面からの距離を下向き正にyと置き、下面をy1、上面をy2 (<0)とし、図5-21の ような変形をする場合、下面は最大引張り応力σ₁が生じ、上面で最大圧縮応力σ₂が生じ、そ れぞれの値はで示される。

2 2

2 1 1

1

,

Z M I

My Z

M I

My

z z

−

=

−

=

=

= σ

σ

5-26 (5-26)

ここで、Z₁, Z2は中立軸に関する断面係数と呼ばれており、それぞれ次式のように定義される。

2 2 1

1

,

y Z I y

Z = I

^z

=

^z 5-27 (5-27)

ドキュメント内 Ⅶ　有限要素法解析のための破壊力学の基礎 (ページ 48-53)