第 4 章 オーバーレイ誤差の評価方法の開発
4.3 最小二乗円法の提案
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(a) Debris on the pattern (b) Blurred edges Fig. 4-6 Examples of unclear SEM image
以上のように，これまで標準的に用いてきた方法，および他の 2 つの方法は，いずれも 一長一短があり，大量のオーバーレイ誤差計測には課題が多いことが明らかとなった．こ の課題の本質は，エッジ抽出のロバスト性と，誤差を含むエッジ座標からいかに繰返し性 良く中心座標を算出するかということに帰結される．
したがって，100 nm程度のオーバーレイ誤差を高い繰返し性で効率よく計測するには，
新たな手段が必要とされることが明らかとなった．
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から各円の複数のエッジ座標を人間の判断により抽出し，これから最小二乗法によって円 のパラメータを算出するものである．本方式を「最小二乗円法」と呼ぶことにする．
各層間の半径の差（アンダーサイズ量）は，想定される F-1 機のオーバーレイ誤差が
100 nm程度，また突発的に大きなオーバーレイ誤差が生じても同心円が接したり重なった
りしないよう，500 nmを標準とした．積層数は，積層動作の繰返し性を見るため10層と した．また円の半径は，できるだけ高倍率のSEM画像を取得したいので小さい方が望まし いが，アンダーサイズ量と積層数で決まる最上層の半径がリソグラフィーの解像度を下回 らないよう，第1層＝10 µmを標準とした．なお，評価の対象は円の中心座標なので，各 円の半径やアンダーサイズ量は，絶対値が保証されたものである必要はない．
このような構造体はFig. 4-7 (b) に示すようなセルを10層積層することによって同時に 複数個作製できる．複数個を同時に作製することにより，セル内の分布や繰返し性を確認 できる．第1層のセル内には半径が10 µmの円形パターンを複数配置し，第2層のセル内
には半径9.5 µmの円形パターンを配置する．セルの大きさは1 mm角としているので，各
円形パターンの中心間距離は，設計上正確に1 mmとなる．このような方法で第10層まで のセルをドナー基板上に用意する．
実際の設計図面をFig. 4-8に示す．Fig. 4-8 (a) に示すように，1 mm角のセル内には上
記第1層半径10 µmの円形パターンを複数配し，参考のため，大きさの異なる円錐状構造
体やピラミッド状構造体のためのパターンも含まれている．第2層以降のレイヤは，Fig. 4-8 (b) に色の塗り分けで示すように，第1層に隣接して1 mmピッチでアレイ状に配した．10 層分のアレイ（1セット）の面積は1×10 mm2である．そしてFig. 4-8 (c) に示すように，
Fig. 4-7 TEG patterns for the measurement r = 10 µm
(a) Truncated cone structure Layer 10
0.5 µm
Layer 1 1 mm
(b) Cell layout Layer 1
Layer 2 Layer 10
r = 10 µm r = 9.5 µm r = 5.5 µm
1 mm
1 mm
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このパターンを 6 インチウェハ上に複数配した．図中で黒い四角で囲んだ領域がこの領域
であり，10×10 mm2内に10セットのパターンが含まれている．このような領域を6イン
チウェハ上に8か所設けた．このマスクパターンをTEG6と称する．
(a) 1st Layer (b) Cell layout
(c) Wafer floor map Fig. 4-8 Layout of TEG patterns
1F10y(1)-(10) 1F10y(11)-(20)
1F10y(21)-(30) 1F10y(31)-(40)
1F10y(41)-(50)
1F10y(51)-(60) 1F10y(61)-(70)
1F10y(71)-(80)
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4.3.2 計測方法
円形パターンの中心座標の計測には最小二乗法を適用した．撮影されたSEM画像から各 円形パターンに付き n 点の円エッジ座標を抽出し，これらから中心と半径を次のように算 出する．
円の方程式を，次のように定義する．
2 2
2 ( )
)
(x−a + y−b =c ··· (4-1) ここで，a, bは円の中心，cは半径であり，これらが未知数である．x,yは抽出された円 周上の座標である．これは次式のように変形できる．
2 2 2 2
2 y 2xa 2yb c a b
x + = + + − − ··· (4-2) ここで次のような行列A, B, Cを導入する．
[ ]
[ ]
[ ]
−
−
=
−
−
=
= +
=
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2
b a c
b a b
a c b a
y x
y x
C T
B A
··· (4-3)
これを用いると，式 (4-2)は次のように簡単に表すことができる．
BC
A =
··· (4-4) 問題はCを求めることであり，最小二乗法を使うと次のように計算される[8]．A B B) (B
C =
T −1 T ··· (4-5) この計算は，マトリックス計算ソフトウェアを用いると非常に簡単に計算できる．すな わち，概略同一円周上にあるとみなされる複数のx, y計測座標（n点）を用いて，ベクトル AとBを次のように定義する．
+ + +
=
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
n
n
y
x y x
y x
A
··· (4-6)
=
1 2 2
1 2 2
1 2 2
2 2
1 1
n
n
y
x y x
y x
B
··· (4-7)このようにすれば，求める行列C は，式 (4-5) の計算だけで求められる．この計算を同 心円の数（今回は10個）だけ繰り返す．
この計算は行列計算ソフトウェアを用いて行った．プログラムの詳細は追補１に記した．
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