国際単位系 (SI)

いろんな単位を無秩序に併用すると混乱する。そこ で,それぞれの次元に対応する単位をひとつずつ定めて, 統一的に使うと便利だ。そのように定めた単位のセッ トのことを 単位系 と呼ぶ。科学の世界では,一般的に, 国際単位系 と呼ばれる,国際的に合意決定された単位系 を優先的に使う。国際単位系の正式名称はフランス語で Le Syst`eme International d’Unit´esという。これを略 してSIともいう。

国際単位系は,まず,以下の7つの単位が骨格である:

• ^{長さの単位}: m (メートル)

• ^{質量の単位}: kg (キログラム)

• ^{時間の単位}: s (秒)

• ^{電流の単位}: A (アンペア)

• ^{温度の単位}: K (ケルビン)

• ^物質量(個数)の単位: mol (モル)

• ^{光量 の単位}: cd (カンデラ)

↑これらの7つの単位をSI基本単位 と呼ぶ。SI基本単

2.6 国際単位系(SI) 23 位の基本単位の積や商を考えることで, 様々な量の単位

を作ることができる。そういうのをSI組み立て単位 と 呼ぶ。例えば面積の単位であるm²とか,速さの単位で あるm s⁻¹ などである。国際単位系は, SI基本単位と SI組み立て単位, そしてそれらの記法や用法に関する ルールからなる。

● 問27 国際単位系とは何か? SI基本単位とは何か? m s⁻¹はm/sと表記してもよい。ただし, /を使う記 法では, /の右側(つまり分母) に複数の単位が来る場合 には注意! 例えば, kg/m² sという書き方は, sは分母な のか,分子なのか, はっきりしなので, ダメ。kg/(m² s) とか, _m^kg2sとか, kg m⁻²s⁻¹と書くルールだ。kg/m²/s と書く人もいるが,これも紛らわしいのでやめよう。

SI組み立て単位で, 積の順序は任意である。例えば, kg m s⁻² をm kg s⁻²と書いてもOK。ということは, s⁻² kg mと書いてもOKなのだが, 「マイナス乗」を する単位 (分母に来る単位)は後ろの方に書くのが慣習 的なので, そういう書き方は滅多にしない(間違いでは 無いが, 見た人は多分,驚く)。

さて, 以下のような単位は, 国際単位系の単位ではな いが,慣習的によく使われる:

• min (minute,つまり,分)。1 min = 60 s。

• h (hour,つまり,時間)。1 h = 60 min = 3600 s。

• a (アール)。1 a = 100 m²。

• Lまたはℓ (リットル)。1 L = 10⁻³ m³。

• cc (cubic centimeter)。1 cc = 1 cm³= 10⁻⁶m³。

• t (トン)。1 t = 10³ kg。

リットルは,小文字のエル(l)でも書くが,数字の1と紛 らわしいので,筆記体(ℓ)か大文字(L)で書く。

● 問28 以下の単位を,数値とSI基本単位の積や商の 組み合わせで表わせ。

(1) min (2) h (3) a

(4) L (5) cc (6) t

巨大な数値や微小な(0に近い)数値は,位取りのため の0がたくさん必要なので, 煩雑である。そこで,位取 りの記号を使う。例えば1000 mを1 kmと書いたり, 0.01 mを1 cmと書くのだ。10³をk, 10⁻²をcで表す のだ。こういうのを, 接頭辞 という。国際単位系は, 以 下のような接頭辞(SI接頭辞)を定めている。Pとp, M とmが紛らわしいが,「大文字は巨大な数を表す」と覚

えればよい。

10¹⁵ ペタ P 10⁻¹⁵ フェムト f

10¹² テラ T 10⁻¹² ピコ p

10⁹ ギガ G 10⁻⁹ ナノ n

10⁶ メガ M 10⁻⁶ マイクロ µ

10³ キロ k 10⁻³ ミリ m

10² ヘクト h 10⁻² センチ c

10⁻¹ デシ d

例2.11  µmはマイクロメートルと読む(昔はミクロ ンとも呼ばれていたが, その呼び方は廃止された)。ps はピコ秒と読む。 (例おわり)

接頭辞は,単体では単位にはならない。よく「50 kg」

や「時速50 km」を「50キロ」と言うが,そういうのは

ダメである。2 cmを「2センチ」, 5 mmを「5ミリ」と 言うのもダメ。私的・口語的に使うのはまあ許せるが, 科学的・公的な記録・連絡・発表などの中では慎もう。

注意: hは「ヘクト」と「時間」(hour)でかぶってるし, m は「ミリ」と「メートル」でかぶっている。しかし,ヘクトや ミリのような接頭辞は, hPaやmgのように必ず何らかの単位 を伴って,最初の文字として現れる。このことを意識すれば, これらを混同することはない。

● 問29 以下のSI接頭辞は10の何乗を表すか?

(1) G (2) M (3) k (4) h

(5) d (6) c (7) m (8) µ

よくある質問24 質量のSI基本単位ってg (グラム)じゃダ メなんですか? kgはgに接頭辞kがついているので, kgより もgの方が基本的な気がしますが... わかります。kg以外の SI基本単位(mやs等)は接頭辞の無い,単体での単位だから, kgが基本単位といわれると違和感ありますよね。でもこれだ けは例外です。接頭辞kのついた”kg”が基本単位です。でも, mg (ミリグラム)のように,質量の単位に接頭辞がつくときは 基本単位(kg)でない単位(g)に接頭辞がつくことになって気 持ち悪いですね。でも決まりなので仕方ありません。

2乗や3乗のある単位の中に接頭辞があるときは要注 意である。接頭辞は直後に来る単位とまず結びつく。そ して, 単位の2乗や3乗は, その「接頭辞つきの単位」

についてかかる。例えば, km²は, (km)²であり, k(m²) ではない!

例2.12

1 km²= 1 (km)²= (10³ m)²= 10⁶m² (2.14) 1 dm³= 1 (dm)³= (10⁻¹ m)³= 10⁻³ m³ (2.15) 1 cm²= 1 (cm)²= (10⁻² m)²= 10⁻⁴m² (2.16) 0.03 km²= 0.03 (km)²= 0.03×(10³ m)²

= 0.03×10⁶ m²= 3×10⁴m² (2.17) よくある間違い5 1 km²=1000 m², 1 cm³=0.01 m³等と 誤解...これは, kやcが, m²やm³にかかるものと勘違いす ることによって発生する,大変危険なミスです。

よくある質問25 なぜですか? 普通,ab²と書いたらa×(b²) ですよね。ならkm² はk×(m²)の方が合理的じゃないです か?... そう言われても,どうしようもありません。国際的に合 意された社会的慣習でkm²は(km)² と決まっているのです。

よくある質問26 そう言われても, すぐに忘れそうです...

km²は「平方キロメートル」と読むでしょ? 「メートル」の すぐ隣にあるのは「キロ」だから,「キロメートル」を「平方」

する,という実体を,言葉がきちんと表現しています。英語で も, km² はsquare kilometerと言います。こちらも「kmの 2乗(square)」ですね。kiloとmeterの間にスペースが無い ことに注意。kilometerで1語です。

よくある質問27 なるほど。他にも手がかりはありません か?... 単位はわかりやすい量を使うのが普通です。1 km²は1 辺が1 kmの正方形の面積。わかりやすいですね。もしこれが 1000 m²だとしたら, 1辺の長さが√

1000 m²= 31.62· · · m の正方形です。中途半端でわかりにくいでしょ?

1 haは, 100 aである。これはふつうにaにヘクト, つまり100をかければよい（変な気をきかせて100を 2乗したりしてはいけない）。1 a=100 m²だから, 1 ha

= 100 a=100×100 m²=10000 m²である。

よくある質問28 haはよく聞きますが, ka (キロアール)と か da (デシアール) とかもあるのですか?... 原理的にはあ り得ますが, まず使いませんね。1 kaの正方形の1 辺は,

√1000×100 m²=√

10⁵m = 316.2· · · mとなって,めんど くさい値になります。だから好まれないのでしょう。

図2.1に面積の単位(m²からkm²まで)を図解した。

● 問30 以下の量を書き換えよ:

(1) 1 mをkmで。 (2) 1 kmをmで。

(3) 1 cmをmで。 (4) 1 m²をkm²で。

(5) 1 km²をm²で。 (6) 1 cm²をm²で。

図2.1 いろいろな大きさの正方形の面積

(7) 1 m³をkm³で。 (8) 1 km³をm³で。

(9) 1 cm³をm³で。 (10) 1 dm³をm³で。

(11) 1 dLをm³で。 (12) 1 µmをmで。

(13) 1µmをnmで。 (14) 1 mgをkgで。

(15) 1 km²をhaで。

注: dLは,小学校以外ではほとんど使われない。これは, 1 dLの立方体の1辺が, (0.0001 m³)^1/3 = 0.0464· · · mとい う中途半端な数値になるからだろう。

● 問31 以下の量を書き換えよ(導出過程も書け):

(1) 0.009 km²をm²で。 (2) 0.00003 km³をm³で。

● 問32 以下の各小問内で, 挙げられた2つの単位が 互いに等しいことを示せ:

(1) mLとcm³。 (2) Lとdm³。 (3) kLとm³。 (4) GtとPg。

注: もともとLは「質量1 kgの水の体積」と定義されてい たが,水は温度や圧力によって体積を微妙に変えるので,体積 の単位としてふさわしくない。現在は, Lは10⁻³ m³のこと であると再定義され,なおかつ,古い定義(水1 kgの体積)と 紛らわしいので, Lはなるべく使わず,かわりにdm³ (立方デ シメートル)と言おう,というのが国際単位系の立場である。

国際単位系では他にもいろいろな約束が決まってい る。特に,以下を覚えておこう:

• 変数や定数を表すアルファベットは斜体表記せよ。

例: x= 5はOK, x= 5はダメ。

• 特定の関数を表すアルファベットは立体表記せよ。

例: sinxはOK, sin xはダメ。

• 単位を表すアルファベットは立体表記せよ。

例: 面積を表す5 m²はOK, 5m²はダメ。

• 数値と単位の間には半角スペースをあけよ。

例: 5 m²はOK, 5m²はダメ。

• ^{組み立て単位は}, 単位どうしの間に半角スペースを あけよ。

2.7 単位の換算 25