ビジュアルな数学をめざして

授業では，(1) 定理・公式の証明，(2) 問題練習 その後は ルで「形式的理解」の定着をはかるという 流れで進 ことが い。 られた の では，「効 性」

が教 の工 の 心になってくる。「論理性」を 面に出 し，証明されたことは，生 も納得してくれたものと考 え，次のステッ に進 。生 の に立てば，しっくり

こない 面でも， り え ，形式的に納得させ，それ らを応用した問題練習を進める で理解が まることを めざすことになる。

このような， 論理的理解， 形式的習熟， ル，

という進め方では，もやもやした感じを っている 生 た も いように思う。

一方，数学では を実感的に 方法・理解を め る 具として， ー 図（ス ー 図）のようなビジ アルな表現も利用する。 ル は 標 面を 入する ことによって， 学と代数学を結びつけ， スの 入した 面によって， 数は を得たともい えよう。ベン図は，集 を なものとし，数学に ら ない い分 で使われるようになった。

数学教育においても，教材の視 化は く り入れら れており，理解を めるために， 用されているとこ である。 論では，このようなビジュアル化という視点 で理解を める みを示し，考 したいくつかの具体例 を したい。授業に で，「論理的理解」「形式的理 解」「ビジュアル的理解」を１ ッ として，提 で れ ば，生 の理解が，より実感的なものになるのではない かと考える。

ビジュアルな数学をめざして

明

一工業大学 共通教育 ン ー（ 899-4395 島 島 分 1-10-２）

E-mail：[email protected]

Approaches to improving visual mathematics

Akinori Nakano

When we teach mathematics, we sometimes use diagrams or figures to deepen the understanding of students. Though many examples of these have been known, some objects havenÿt yet. Iÿd like to suggest some new visual explanations for such objects.

Keywords : rational understanding, mechanical learning, visual understanding, visualization of expantion formuler, differentiation, circular functions , logarithmic function

第一工業大学研究報告 101 第27号（2015）pp.101－111

中　野　明　德

ビジュアルな数学をめざして

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２. 論理的・形式的・ビジアル的理解とは つの理解の意味について具体例で 明する。

例 2点Ａ(a), (b)に し，Ａ を ：２に 分する点

の ベク ルcについて， つの視点からの 明 を示す。

論理的理解

AC：CB＝ ：２ から，

2ACx3CB 2(cPa)x3(bPc )

cx2aO3b

5 形式的( 的)理解

公式の え方として， の の積と の積のイメ ージにからめて，形式的に く。

cx3bO2a

3O2 A B ２ 3b

2a

図１ ビジュアル的理解

A(a)

C

B(b) 3

2 3

5b 2

5a D

E

ＯＡ Ｏ kＯ

kＯＡ OEx3

5b, ODx2 5a Ｏ ＝Ｏ ＋Ｏ ＝3

5bO2 5a O

図２

実 の授業では， のような論理的 明をした後，

の形で公式を使う練習問題に り ませるが， のよう な解 に れることは ないように思う。 のような形 で， 行 辺形OECDが見えるようになると，ベク ル に する理解も まり，応用力も われるのではと思う とこ である。

教材のビジュアル化は，かなり工 されて ているが，

くの分 で開 の があるように思う。そのような から，これまでに思いついたものをいくつか して みたい。

. 式の展開公式のビジュアル化 積は面積や体積のイメージで

三 の教 書で めてお目にかかって，ビジュアル 化 の っかけを えてくれたものである。 は 学校 で利用されているようである。 は，これを 展さ せてみたものである。

(aOb)²xa²O2abOb²

教 書では，(aOb)²x(aOb)(aOb)として，

分 法 を用いて証明することになっている。

(aObOc)²xa²Ob²Oc²O2abO2bcO2ca

(aObOc)²xfaO(bOc)g² として， を利用 した展開で， し長い 算をさせられた後，結果を公 式として えることを求められる。

(aOb)³xa³O3a²bO3ab²Ob³ 立方体の体積を利用

(aObOc)³については，一辺がaObOcの立方体 を 高さの 方 からa, b, cの長さで， つに切り分 けた立体図形で示すことがで る。

a b

a²

b² ab

図

ab a

b

a b c

ab

ac

ab ac bc

bc a²

b²

c²

図４

a b

c

b b

b

a a

b b

a b

b

b

3ab²Ob³ a

a b

b a

a³O3a²b

a

a a a

b a a

図

102 第一工業大学研究報告　第27号（2015）

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O x y

a b

H£x¤ A

P£x,y¤

xPa B

b m(xPa)

図 一般的な式の展開

(2xO3)(x³O3x²O2xO5)

x³ 3x² 2x 5

2x 2x⁴ 6x³ 4x² 10x

3 3x³ 9x² 6x ₁₅

2x⁴ 9x³ 13x² 16x ₁₅

を めにまとめる。 図

(aObOc)(a²Ob²Oc²PabPbcPca) a² b² c² Pab Pbc Pca

図 いに される があって，

a³Ob³Oc³P3abc が得られる。

. 法の見方

算は，bPaをbからaを った りの数・・・(イ) という見方と， aを 点にしてbを見る・・・( ) と いう見方がある。ベク ルの 法を う ，bPa^は a^と bの 点を えたと ，aの 点から bの 点を見るベ ク ルという見方である。これは うど，180 160は 長160 の が 長 180 の を見 て， 分 より20 高いというようなものである。

. 関数と ラ

法の見方 ( )は，式の図形的な意味を ラ の で

考えると の基 である。

. １ 1次関数 yxm(xPa)Ob・・・

式 は，図 のように，BP＝mABが見えて，点

（２， ）を通る の直 は， yP3x3(xP2)と して しいのだが，生 は

yx3xOkに点を代入し て，kを定めることが い。

化 f(b)Pf(a)

bPa も ， 点

（a,f(a)）から，点(b,f(b) )を見た と見て しい。

. ２ ２次関数 yxa(xPp)²Oq

点が( p, q )ということは形式的に えているが，

BPxaAB²のような見方が，

なかなかで ない。

. ２次方程式の解の公式 ax²ObxOcx0の解 xxP b

2aE D

2a (ただし, Dxb²P4ac) は，図10のような

見方にも れたい。

. ラ の 行 は 点を すこと

高校では，yPqxf(xPp)は，yxf(x)を 行 し たものという見方を形式的に につけるが， 点から見 た yP0xf(xP0) の形を(p, q)を基点にしてかいた ものという見方もで るようにしたい。たとえば，図 は，f(x)xx^{2について，}yPqxf(xPp)を示しており，

ABxxPp, BPxf(xPp)となっている。

. 微分のビジュアル化

「微分」という用 は，「 関数」「微分 数」，「微分商」， あるいは， として，「 関数を求める」という意味で 使われるなど， な使われ方をしている。

数学 しかやってない学生に， ン ク に教えるに はどうするか。正 法でいくとすれば の話の後，

lim

x

f(xO x)Pf(x) x

を うことになるが，それなりの が 要となる。

そこで，この部分を いて， 明を 化するために，

「微 な 分」「 りなく になっていく量」としての「微 分」dy,dxを利用することを考えてみたい。 x, y や limx 0 を使わ に，い なり，dx, dyから めるの である。

a a³ ab² ac² Pa²b Pabc Pa²c b a²b b³ bc² Pab² Pb²c Pabc c ^{a2c b2c} c³ Pabc bc² ac²

O x

y

p q

H£x¤

xPp

a(xPp)² 図

A

B P

D 2a

P b 2a

d

ad²xD 4a

図１ PD

4a 中野：ビジュアルな数学をめざして 103

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図14

図12

yxx² x

dx

dx x

dy

図11 . １ (x²)ÿx2xのビジュアル的 出

１辺がxの正方形の面積yはyxx²であるから，x の微 な 分dxに する面積y の微 な 分は dyx2xdxO(dx)² （図の け部分）

この両辺をdxで って dy

dxx2xOdx dy dxx2x

（ dx のと ） となる。

辺xが微 すると ，面積は2x するという 感 である。

. ２ (x³)ÿx3x² のビジュアル的 出

yxx^{3を１辺が}xの立方体の体積yを表す関数と考 えると，xの微 な 分dxに して，体積は 方 に するから，体積yの微 な 分dyは図の つの正 方形の の部分に角（かど）の部分を わせて

dyx3x²dxO3x(dx)²O(dx)³ 両辺をdxで って

dy

dxx3x²O3xdxO(dx)²

dx のと ，後方の２ を 視して dy

dxx3x²

的に えば，正方形では，xは ・ ２方 に するから，面積も２方 に わせて2x し，

立方体では，xが 方 に するから，体積も 方 に わせて3x² する。

. 円の と面積 Sxÿr²との関

円の rの微 な 分に しては，円 の部分 が すると考えて，dsx2ÿr dr

すなわ ，ds drx2ÿr

. の と体積 Vx4

3ÿr³の関 の 化に して，体積の 化は表面積の部分 dV

dr x4ÿr²( の表面積)

. 「微分＝ の 」を実感させる 図のような ラ の目 を利用していくつか の点における の を，実 に，いくつか求 めさせ，(x²)ÿの と一 することを実感させる。

x²

x² x²

x

x

図13

O x

y

0.5 -1 -1.5 -2

- 0.5 1 1.5 2

0.5

-0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

104 第一工業大学研究報告　第27号（2015）

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x 2x

x 図１

x

2

u

v uÿ

uÿ・v

vÿ zxuv u・vÿ

図１

ux 1 g(x)

vxg(x)

uÿ uÿ・v

vÿ u・vÿ 図２

さらに， 図のように， ラ における図形的な意 味 けをすることがで る。

yxx²については，yÿx2xx2x² x xRQ

PR ， PR＝x，RQ=3x³，

TH＝1 2 OH

yxx³については，yÿx3x²xHQ THxRQ

PR PR＝xから，RQ=3x³，

TH＝1 3x，

一般に，x^ÿP1はx^ÿ÷xでもあるから，

(x^ÿ)ÿxÿx^ÿP1xÿ x^ÿ

x （ÿ：実数）

たとえば， (x^{3 5}x³)ÿ

=(3O3 5 )

x^{3 5} x³ x x18

5 x^{2 5} x³

例 理関数について ( x)ÿx 1

2 x x1

2 x x

＝ x 2x

結 ，xの の形の関数f(x)xx^{ÿについては}

. 積・商の微分の公式 uxf(x), vxg(x) のと ， u， vの長方形の

面積をzとすると，

zxuvであるから，

zの微分(微 な 分)を 角（かど）の微 部分は

視して， け部分と考えると， zÿxuÿvOuvÿ

（zÿ,uÿ,vÿ はdz, du, dv と し ，duxfÿ(x)dx ， dvxgÿ(x)dxとするとこ を 化）

商の微分は，面積１の長方形の をvxg(x) とすると， は ux1

v

vが するとuは するから， つの け部分 の を と見て，

uÿvOuvÿx0から uÿxPuvÿ

v xP1 v

vÿ

v xPvÿ

v² （by ）

O x

y

x² yxx²

H

P T

Q(x, x² )

2x²

x 図１6

R x²

O x

y

H

Q(x,x³)

x³ T

P

3x³

x 図１7

R x³ x³

ÿ x^ÿ

x x^ÿ 1

ÿO1 x^ÿ・x 微分はxで って 積分は

x

^{を けて}_ÿO1¹

中野：ビジュアルな数学をめざして 105

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O x y

p

q q

p

x y

図２

y x

yx x y²xx

O x

y

1

2y y

x 1

2 x

yx x y²xx

図２４ . 関数の微分

yx3uO1 ・・・ ux2xO3

5 ・・・

の 関数は yx3(2xO3

5 )O1x6 5xO14

5 ・・・・

から，_du^dyx3， から^du_dxx2 5 一方， から_dx^dyx6

5x3×2 5 dy

dxxdy du×du

dx に かせてから，

一般に，yxf(u), uxg(x) が微分 のと dyxfÿ(u)du，duxgÿ(x)dx は の図のようなイメージを利用して，

dyxfÿ(u)gÿ(x)dxxfÿ(g(x))gÿ(x)dx すなわ ，^dy_dxxfÿ(g(x))gÿ(x)

uxg(x) x yxf(u)

duxgÿ(x)dx dx dyxfÿ(u)du

図２１

2 つの関数の 関数 yxf(g(x))の 関数は yÿxdy

dxxdy du×du

dxxfÿ(g(x))gÿ(x) とまとめ，

このような図で，納得させる。

. 関数の微分 yx2

3xO1のと ，xx3 2 (yP1) dy

dxx2 3 ,

dx dyx3

2 から，_dx^dy・dx dyx１ すなわ ，

dy dxx 1

dx dy

このことを ラ で解 すると yxf(x) の点（x, y）において，

dy dxxq

p （xから見た の ）

dx dyxp

q （yから見た の ） dy

dxx 1 dx dy

・・・・・・・・・・・・・・・

ということを意味する。

例 ( x )ÿについて

( x)ÿxdy dxx 1

dx dy

x 1 (y²)ÿx 1

2yx 1 2 x

関数については，

f(f^P1(x))xx・・・

が り立つ。（「 ッ の法 」）

この両辺を微分すると， 関数の微分は 関数の 微分で 理で る。 を用いなくても 関数の微分が 求められる。

例 ( x )ÿを求める。

( x)²xx の両辺を微分して 2( x )・( x )ÿx1

∴ ^{( x )ÿx}₂₍ ¹_{x )} dy

dx

y u x

dy

du × du

dx

図２２

106 第一工業大学研究報告　第27号（2015）

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ÿ

ÿ 2

ÿ 6 ÿ 4

図 ２

O x

y

P 6

P 3

P 2

P²

3

P⁵

6

P

P⁷

6

P^3ÿ

4

P9

P^4ÿ

3 P^5ÿ

3

P^7ÿ

4

P³

2

P¹¹

6

1 2

1 P1 2

2

P1 P^5ÿ 2

4

P^ÿ

4

図 ２

30°

1

1

1 1 2 3 2

A C

B

1

1

45° 2

2 2

2 2 C B

A

D 1

60°

1

1 3 2

1 2

三角関数（円関数）

. １ 法

教 書では， と の長さの で 心角を表す という り いになり，その後， 数法と 法の 算公式という流れになる。ここは， 円を用い て， 数法とは 立に 入したい。

分 がないと ，回 量としての角の大 さを るにはどうするかという 定で， 円に を つけてその の長さで角を るという に かせるのである。一 したと の円 の長さ２ ，

は ， を 等分すると^ÿ₄ ， 等分すると^ÿ₆ ざみといった具 である。

. ２ 三角関数の

図25の角を表す円 の点は 図の基 三角形 を利用して， 円と直 xxE1

2 , yxE1 2 yxExとの 点になっていることがわかる。

図２

まとめると，0,ÿ 6 ,

ÿ 4 ,

ÿ 3 ,

ÿ

2 に する正 の は，

0,1 2 ,

2 2 ,

3 2 ,

4

2 x1と ^k

2 の になっ

ていて，直 xxE1

2 , yxE1

2 ，yxExと 円との 点でこれらの角の てが くされる。

tanÿについては 図のようになる。

三角関数が円関数とも われる である。

O x

y

1 3

3 3

0

P 3 3 P1

P 3 図２ 中野：ビジュアルな数学をめざして 107

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ÿ

dÿ P Q

dy

T R

O

ÿ

yxcosx yxsinx Pÿ

2 yxPsinx

図 応表を 記させる指 法もあるが，この 円がかけるようにしておけば，よく出てくる三角関 数の は て示すことがで る。

. 三角関数の微分のビジュアル的 出 .１ yxsinÿ , xxcosÿ の微分

角 の微 な 分dÿに するyの 分をdyとす る。 図の 円で，sin(ÿOdÿ)＝ であるから，

dy＝ Ｈ＝ ，また， 心角dÿは の長 さPQであるから，PQ＝dÿである。

dÿが 分 さいと （ 図）， PQが PQに

， Ｏ となるから ＝ とみな すと，

O x

y

dÿ ÿ

dÿ P Q dy

T H y R

図２

dy dÿxQR

PQ xcosÿ xxcosÿ （0tÿtÿ

2 ）について dxxcos(ÿOdÿ)Pcosÿ

＝Ｏ ＯＨ

＝ dx

dÿxPPR

QP xPsinÿ

sinxやcosxは微分すると， ラ がx 方 に，

Pÿ

2 行 し，積分は に に 行 する。

. ２ yxtanÿの微分 （0tÿtÿ 2 ）

ÿがÿOdÿまで すると ，図31でdÿは AB yの 分は，dyxtan(ÿOdÿ)PtanÿxRTPRS この部分を 大した図で， からx に した を Ｈとする。

dy

BCxOR

OHx 1

cos(ÿOdÿ) から

dyx 1

cos(ÿOdÿ)BC・・・・・・

dÿが 分 に いと ， Ａ Ａ ， Ａ ＝ÿ とみなして _BC^dÿ xcosÿからBCx dÿ

cosÿ ・・・

からdyx dÿ cos(ÿOdÿ) cosÿ

∴ dy

dÿx 1

cos(ÿOdÿ) cosÿx 1 cos²ÿ

（ dÿ のと ） これで とかビジュアルに 明で た。

なお，公式の論理的 出は，

tanxcosxxsinxの両辺を微分して (tanx)ÿcosxOtanx(Psinx)xcosx 両辺をcosxで って

(tanx)ÿPtanxtanxx1 (tanx)ÿx1Otan²xx 1

cos²x とする方法もある。

O x

y

A

B T

S

ÿ dÿ

dy

1

O x

y

C A

T

S

ÿ

dÿ dy B

H R

dÿ

図 １

1

108 第一工業大学研究報告　第27号（2015）

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ドキュメント内 第一工業大学研究報告: 第27号 (ページ 103-114)