テンソル演算子

テンソル積(pp.324–326)

既約球面テンソルXq^(k₁¹⁾, Zq^(k₂²⁾から球面(既約)テンソル T_q^(k)= ∑

q1,q2

⟨k₁k₂;q₁q₂|k₁k₂;kq⟩X_q^(k1)

1 Z_q^(k2)

2

が作られる．

テンソル演算子の行列要素：ウィグナー・エッカルトの定理(pp.324–326)

テンソル演算子Tq^(k)の角運動量固有状態に関する行列要素⟨α^′, j^′m^′|Tq^(k)|α, jm⟩^は

⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, jm⟩=⟨jk;mq|jk;j^′m^′⟩⟨α^′j√^′||T^(k)||αj⟩ 2j+ 1 を満たす(Wigner-Eckartの定理)．

• ⟨jk;mq|jk;j^′m^′⟩^はClebsch-Gordan係数であり，

mやm^′,q(幾何学的関係)のみに依り，テンソル演算子Tq^(k)の固有の性質には依らない．

– Clebsch-Gordan係数に対するm-選択則と三角関係式|j−k| ≤j^′≤j+k

→ テンソル演算子の行列要素に対するm-選択則

⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, jm⟩= 0, (m^′̸=q+m) と三角関係式|j−k| ≤j^′ ≤j+k．

• ^{二重線の行列要素}⟨α^′j^′||T^(k)||αj⟩^はmやm^′,q(幾何学的関係)に依らず，ダイナミクスに依存する．

j=j^′の場合のWigner-Eckartの定理は，ベクトル演算子Vqと角運動量Jq に対する射影定理

⟨α^′, jm^′|Vq|α, jm⟩= ⟨α^′, jm|J·V|α, jm⟩

ℏ²j(j+ 1) ⟨jm^′|Jq|jm⟩, (q= 0,±1) を含んでいる．ここに

V_± ≡ ∓ 1

√2(V_x±V_y), V₀≡V_z.

3.10 について

■x,pがベクトル演算子であること 「[y, Lz] =iℏx,· · ·,[py, Lz] =iℏpx」(p.320，l.6,7)は正準交換関係を 用い

[xi, Lj] =εjklxk[xi, pl] =iℏεijkxk, [pi, Lj] =εjkl[pi, xk]pl=iℏεijlpl

と確かめられる．

■直交テンソルの定義式(3.10.11) 式(3.10.11)では共変成分・反変成分が区別されていない．これは直交座 標系の間の変換に関する限り，変換行列は直交行列になり，共変成分と反変成分を区別する必要がなくなるか らである．実際，直交変換

ei′=∑

j

(ei′·ej)ej =∑

j

aijej, x=∑

j

xjej =∑

i,j

xj(ej·ei′)ei′, ∴x^′i=∑

j

(ej·ei′)xj=∑

j

aijxj

において

ei′·ek =aik=∑

j

aijδjk=∂x^′i

∂x_k, ei·ej′= ∂xi

∂x^′_j なので

∂x^′_j

∂xi

=e_j^′·e_i= ∂x_i

∂x^′j

となる．これは

• ^変換係数a_ij が作る行列

O≡(aij) = (∂x^′i

∂xj

)

が直交行列であること

(O^T)_ij = (O⁻¹)_ij

• 反変ベクトル成分の変換則が，共変ベクトル成分の変換則に一致すること x^′i=∑

j

∂x^′i

∂xj

xj=∑

j

∂xj

∂x^′i

xj

を意味している．

■式(3.10.13)右辺最後の項 「最後は5個(= 6−1個，1はトレイスレスの条件に由来)の独立成分を持つ，

3×3対称トレイスレス・テンソルである」(p.321，l.3,4)について，全成分を3×3対称行列の形を借りて書 いたとき上三角の6成分が決まれば全成分が決まる．また，トレイスレスであるとはi, jについての縮約が消 えること

U_kV_k+U_kV_k

2 −U·V

3 δ_kk= 2×U·V

2 −U·V

3 ×3 = 0 を意味する．

■式(3.10.21) の訂正 式 (3.10.21) におけるDm^(l)′∗m(R) はユニタリー性 (3.5.47)を用いると，正しくは Dmm^(l)∗′(R)である．式(3.10.22a)ではそうなっている．

■式(3.10.22b) 式(3.10.22a)においてRをR⁻¹に置き換えて，D(R)のユニタリー性(その行列表現がユ ニタリーになること(3.5.47))を用いて得られる．

■式(3.10.24)における「nˆ を……( ˆx±iy)ˆ 方向にとったりして」(p.323下から8行目) これは( ˆn= ˆxとし た式) +i( ˆn= ˆyとした式)を作ることと考えれば良い．結果的にnˆ = ˆx±iyˆを代入した

[J_±, T_q^(k)] =

∑k q^′=−k

⟨k, q^′|J_±|k, q⟩T_q^(k)_′ が成り立つことから式(3.10.25b)を得られる．

■「ここでクレプシュ・ゴルダン級数の公式(3.7.69)を用いた」(p.325下から4 行目) 具体的には，式 (3.7.69)において

生きた添字： j1,2→k1,2, m1,2→q^′_1,2, m^′1,2→q1,2, ダミー添字： j→k^′′, m→q^′, m^′ →q^′′

およびR→R⁻¹の置き換えて，証明の第2の等号における変形をしたことを指す．

■「(3.7.41)を用いると」(p.325下から3行目) 正しくは式(3.7.42)より

∑

q1q2

⟨k₁k₂;q₁q₂|k₁k₂;kq⟩ ⟨k₁k₂;q₁q₂|k₁k₂;k^′′q^′′⟩=δ_kk′′δ_qq′′

となることを用いている．

■式(3.10.30) 式(3.10.29)右辺において DT_q^(k)D^† =

∑k q′=−k

D_q^(k)′q =

∑k q′=−k

⟨kq^′|e^−iJzϕ/ℏ|kq⟩T_q^(k)_′ =e^−iqϕT_q^(k), D|α, jm⟩=e^−iJzϕ/ℏ|α, jm⟩=e^−imϕ|α, jm⟩

であることから得られる．

■「これは|α^′, j^′m^′⟩^とq+m=m^′の場合を除いて直交する」(式(3.10.30)1行下) やや分かりにくい表現 だが，式(3.10.30)の両辺に左から⟨α^′, j^′m^′|^{をかけると}

e^−im′ϕ⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, jm⟩=e^−i(q+m)ϕ⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, jm⟩,

∴(e^{−i{m′−(q+m)}ϕ}−1)⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, jm⟩=0 となるからm-選択則が示される．

■式(3.10.34)の導出 J_±^†=J_∓に注意して式(3.5.39)，式(3.5.40)を用いると

⟨α^′, j^′m^′|[J_±, T_q^(k)]|α, jm⟩

=√

(j±m^′)(j∓m^′+ 1)ℏ⟨α^′, j^′, m^′∓1|T_q^(k)|α, jm⟩ −√

(j∓m^′)(j±m^′+ 1)ℏ⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)|α, j, m±1⟩ を得る．この右辺を式(3.10.33)右辺と等置すれば良い．

■Wigner-Eckartの定理(3.10.37)の導出について 式(3.10.34)を書き換える代わりに，Clebsch-Gordanの 漸化式(3.10.34)において

j→j^′, m→m^′, j1→j, m1→m, j2→k, m2→q と置き換え，さらに複号±^{の順番を入れ替えると}

√(j^′±m^′)(j^′∓m^′+ 1)⟨jk;mq|jk;j^′, m^′∓1⟩

=√

(j±m+ 1)(j∓m)⟨jk;m±1, q|jk;j^′m^′⟩+√

(k±q+ 1)(k∓q)⟨jk;m, q±1|jk;j^′m^′⟩ となる．これを式(3.10.34)と比較してWigner-Eckartの定理(3.10.37):

⟨α^′, j^′m^′|T_q^(k)_±1|α, jm⟩= (m, q, m^′に独立な共通比例定数)⟨jk;m, q±1|jk;j^′m^′⟩ を得る．

付録 A ^{恒等演算子は} Hermite ^演算子

複素数の値a+biに恒等演算子1をかけて演算子(a+bi)1にすると，そのHermite共役を考えることが できる．要請(1.2.10)より

(a+bi)1|⟩ DC←→ ⟨|(a−bi)1^†

である．ここで恒等演算子は1^† =1なるHermite演算子であると考える(恒等演算子の定義1|⟩= 1|⟩^より 恒等演算子は実数の固有値1を持つので，この仮定はp.22の定理に抵触しない)．以上より

((a+bi)1)^†= (a−bi)1.

付録 B ^可換な量 A, B ^{に対する指数法則} e

^A

e

^B

= e

^A+B

演算子Aの指数関数をe^A≡

∑∞ n=0

1

n!Aⁿで定義する．このときA, Bが演算子であるか否かに関わらず交換 する量であれば，指数法則e^Ae^B =e^A+Bが成り立つ．

■理由 まず，

e^Ae^B= (_∞

∑

n=0

1 n!Aⁿ

) ( _∞

∑

m=0

1 m!B^m

)

=

∑∞ n=0

∑∞ m=0

1 n!

1 m!AⁿB^m の最右辺において和をとられる項 _n!¹ _m!¹ AⁿB^mをいくつか書き出すと以下のようになる．

1 B ¹₂B² _3!¹B³ _N¹_!B^N

1 1 B ¹₂B² _3!¹B³ _N¹_!B^N

A A AB ¹₂AB² _(N−¹_1)!AB^N−1

1

2A^{2 1}₂A^{2 1}₂A²B . ..

1

3!A³ _3!¹A³ _(N−¹_1)!A^N−1B

1

N!A^N _N!¹ A^N n+m=N となる項の和

∑N n=0

1

n!(N−n)!AⁿB^N−nは上の図式で1列に並ぶ青い字で示した項の和であるこ とに注意すると，

e^Ae^B =

∑∞ N=0

∑N n=0

1

n!(N−n)!AⁿB^N−n =

∑∞ N=0

1 N!

∑N n=0

N!

n!(N−n)!AⁿB^N−n

となることが分かる(ただし上の図式はN = 4として書いている)．上式の最右辺はA, Bが交換すれば

∑∞ N=0

1

N!(A+B)^N =e^A+B に等しいから指数法則e^Ae^B =e^A+Bが成り立つ．

ドキュメント内 【PDF】J.J.サクライ『現代の量子力学(上)』 (ページ 105-110)