7 基底・次元 - 東京理科大学

７ . ^{基底・次元}

科目： 線形代数学IB及び演習（１‐１組）

担当： 相木

K-ベクトル空間の基底と次元について解説する．そのために少し準備をする．

ベクトルの張る空間

V をK-ベクトル空間とし，a₁,a₂, . . . ,a_m ∈ V とする．これらm個のベクトルの一 次結合で表されるベクトル全体の集合をL(a₁,a₂, . . . ,a_m)で表す．つまり

L(a₁,a₂, . . . ,a_m) = {c₁a₁+c₂a₂+· · ·+c_ma_m | c₁, c₂, . . . , c_m ∈K}

である．L(a₁,a₂, . . . ,a_m)を{a₁,a₂, . . . ,a_m}の張る空間，あるいは{a₁,a₂, . . . ,a_m} によって生成される空間という．L(a1,a2, . . . ,am)のことをSpan{a1,a2, . . . ,am} と 書く書物もある．

L(a₁,a₂, . . . ,a_m)はV の部分ベクトル空間である．

{a1,a2, . . . ,am}をL(a1,a2, . . . ,am)の生成系という．

生成系の取り換え

V をK-ベクトル空間とし，a₁,a₂, . . . ,a_m ∈V とする．b₁, . . . ,b_r ∈L(a₁,a₂, . . . ,a_m)

（ただし，r≤m）が一次独立であるとき，

∃i_r+1, . . . , i_m s.t.L(a₁,a₂, . . . ,a_m) =L(b₁, . . . ,b_r,a_ir+1, . . . ,a_im) が成り立つ．

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基底・次元

K-ベクトル空間の基底および次元

V をK-ベクトル空間とし，a₁,a₂, . . . ,a_n ∈ V とする．以下の２つが成り立つとき，

{a₁,a₂, . . . ,a_n} をV の基底という．

(i) a₁,a₂, . . . ,a_n は一次独立 (ii) V =L(a₁,a₂, . . . ,a_n)

このとき，V は有限次元ベクトル空間であるといい，nをV の次元という．V の次元 がnであることを

dim_KV =n

と表す．

また，有限次元でないベクトル空間V は無限次元ベクトル空間であるといい，このこ とを

dim_KV =∞ と表す．

K-ベクトル空間V に対して基底は１つとは限らない（むしろ一般にはたくさん存在する）．

しかし，V の次元は基底の選び方によらずに定まる値である．

注意：同じ集合V でもスカラーを変えればベクトル空間として別なものであるので，次    元は変わり得る．つまり，K₁, K₂をスカラーとし，V がK₁-ベクトル空間であり，

   かつK₂-ベクトル空間であったとする．このとき，dim_K1V とdim_K2V は一般には    等しくない．

例えば，複素数全体CはR-ベクトル空間であるし，C-ベクトル空間でもあり，dim_RC̸= dim_CCである（演習問題）．このような事情からV の次元を表すためにdim_KV のよう にスカラーKが何であるか分かるような記号を用いている．

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予約制問題

(7-1) V をK-ベクトル空間とし，a₁, . . . ,a_m ∈ V とする．このとき，L(a₁, . . . ,a_m)は    V の部分空間であることを示せ．

(7-2) V をK-ベクトル空間とし，a₁, . . . ,a_m ∈ V とする．また，c∈ K, c ̸= 0のとき，

   以下を示せ．

L(a₁, . . . ,a_i, . . . ,a_m) =L(a₁, . . . , ca_i, . . . ,a_m)

(7-3) V をK-ベクトル空間とし，a₁, . . . ,a_n ∈V は一次独立であるとする．b₁, . . . ,b_m ∈V    に対して

L(a1, . . . ,an) =L(b1, . . . ,bm)    が成り立つとき，n≤mであることを示せ．

(7-4) R-ベクトル空間M_2×2(R)の基底を１つ求めよ．

早いもの勝ち制問題

(7-5) V をK-ベクトル空間とし，x,a₁, . . .a_n ∈V とする．x∈L(a₁, . . . ,a_n)ならば 

   x,a₁, . . .a_nは一次従属であることを示せ．

(7-6) V をK-ベクトル空間とし，x,a₁, . . .a_n ∈V とする．x̸∈L(a₁, . . . ,a_n)ならば 

   x,a1, . . .anは一次独立であることを示せ．

(7-7) V をK-ベクトル空間とし，a₁, . . . ,a_n,b₁, . . . ,b_m ∈V とする．

∀i∈ {1,2, . . . , m}, b_i ∈L(a₁, . . . ,a_n)

   が成り立つとき，L(b₁, . . . ,b_m)はL(a₁, . . . ,a_n)の部分ベクトル空間であることを    示せ．

裏面に続く

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(7-8) V をK-ベクトル空間とし，a₁, . . . ,a_m ∈V とする．また，c∈K, c̸= 0のとき，

   以下を示せ．

L(a₁, . . . ,a_i, . . . ,a_j, . . . ,a_m) =L(a₁, . . . ,a_i+ca_j, . . . ,a_j, . . . ,a_m)

(7-9) (7-3)の結果を用いてK-ベクトル空間の次元は基底によらず，一定であることを     示せ．

(7-10) R-ベクトル空間CとC-ベクトル空間Cは次元が違うことを示せ．

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